圆 锥 曲 线 的 光 学   性 质 及 其 应 用

圆不是圆锥曲线，圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线
椭圆的第一定义:
       平面内与两定点F、F'的距离的和等于常数2a(2a>|FF'|)的动点P的轨迹叫做椭圆。
椭圆的第二定义
  平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率，e=c/a)的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数
双曲线定义1：   
    平面内，到两给定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹称为双曲线。  
双曲线定义2：
    平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线。
抛物线只有一个定义：
  平面内,到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。另外 , F 称为"抛物线的焦点", l 称为"抛物线的准线"。

圆锥曲线的光学性质有大致有三点，即椭圆的光学性质、双曲线的光学性质和抛物线的光学性质。
     1：椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线或声波在经过椭圆周上反射后，反射都经过椭圆的另一个焦点。
在圆锥曲线的定义中的定点，之所以称作为焦点，是源于它们的光学上聚焦性质．设一个镜面的轴截面的廓线是椭圆，那么当你把一个射线源置于定点F1处，所有射线通过椭圆反射后，都会集中到另一个定点F2；反过来也是一样(见图7-78)．射线集中现象在光学上称为聚焦，因此自然称这两个定点F1,F2为焦点了．椭圆的这种光线特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．

设椭圆x2/m+1+y2=1的两个焦点是F1(-c,0)与F2(c,0),(c>0),设E是直线Y＝X＋2与椭圆的一个公共点，求使得｜EF1｜+｜EF2｜取得最小值时椭圆的方程 .

由题意，m+1＞1（因为焦点在x轴上，故x轴为长轴）即m＞0
由于短轴长已知，故当直线y=x+2与椭圆相切时，长轴取最小值，即｜EF1｜+｜EF2｜最小
设E（x0，y0），其中x0＜0，y0＞0，因为显然切点在第二象限
由焦半径公式EF1=a+ex0，EF2=a﹣ex0
由椭圆的光学性质，直线y=x+2是∠F1EF2的外角平分线
设G为切线与x轴的交点，则G（﹣2，0），∴F1G=2﹣c，F2G=2+c
由三角形外角平分线定理，F1G：F1E=F2G：F2G
即（2﹣c）（a﹣ex0）=（2+c）（a+ex0）
得2ac+4ex0=0，∴a²=﹣2x0，即m+1=﹣2x0
又x0²/(m+1)+y0²=1，即﹣½x0+（x0+2）²=1
化简得x0²+7/2 x0+3=0，于是（x+2）（2x+3）=0
因此x0=﹣3/2（舍去﹣2），∴m+1=3
所以椭圆方程x²/3+y²=1

2：双曲线的光学性质：如果光源或声源放在双曲线的一个焦点F2处，光线或声波射到双曲线靠近F2的一支上，经过反射以后，就从另一个焦点F1处射出来一样。（如图2所示）
双曲线的光学性质同样也有聚焦性质，但它是反向虚聚焦，即置于双曲线一个焦点处的射线源，被双曲线反射后，其反射线的反向延长线，必定经过另一个焦点双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用

  双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线。

3：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴。（如图3所示）
把抛物线看作为一个焦点在无穷远处的“椭圆”，椭圆从一个焦点处发出的射线，聚焦到另一个焦点的椭圆的光学特性，表现在抛物线上，形式就与椭圆大不相同了：设想射线源在位于无穷远处的那个焦点处，无穷远处出发的射线，经抛物线反射后，到达位于有限位置的另一个焦点，但无穷远处出发的射线，在处于有限位置的你看来，只能是平行于对称轴的射线束(例如太阳虽然离开地球很遥远，但毕竟还没有在无穷远处，就这样，我们都已经觉得太阳光线是平行的，而不是像灯泡那样是散射的光线．)因此平行于对称轴的射线经抛物线反射，必定聚焦于焦点(见图7-80)．反之把射线源置于抛物线的焦点(它在有限位置处)，经抛物线反射后，所有的射线也要聚到在无穷远处的那个焦点去，因此反射射线也只能是平行于对称轴的，即从焦点发出的射线，经抛物线反射后成为平行于对称轴的射线束．
 抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样的接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．

这三个圆锥曲线的光学性质在生活中有着很广泛的应用。
一只小灯泡（图4）发出的光，会分散地射向各方，但把它装在手电筒（图5）里，经适当的调节，就能射出一束比较强的平行光，这是为什么呢？
原因就是手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，它的形状是抛物面，而它的作用就是能把由焦点发出的光线，以平行光（平行抛物面的轴）射出。探照灯（图6）也是利用这个原理做的。

再根据光的可逆性，可以设计出用于加热水和食物的太阳灶（图7、图8）。在太阳灶上装有一个可旋转抛物面形的反光镜，当它的轴与太阳光线平行时，太阳光线经反射后集中于焦点处，这一点的温度就会很高。其他如聚光灯、雷达天线、卫星天线、射电望远镜等也都是利用抛物线的光学性质原理制成的。

还有，电影放映机的聚光灯有一个反射镜，它的形状是旋转椭圆面。为了使片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，聚光灯泡与片门应分别对应于椭圆的两个焦点处，如下图所示：

由于水波、声波和光波都是波的一种形式，因此有很多类似的性质。如对水波遇到椭圆面、双曲线线面及抛物面的反射情况进行分析：

为了使在展览厅走动的游客们都能听清讲解员的解说，根据圆锥曲线的光学性质及声波的相关原理， 展览厅常设计为椭圆形。

圆锥曲线因其方程简单，线型多变美观，且
具有某些很好的力学性质，因此在建筑方面也不
乏应用；特别是流行于当前的大型薄壳顶棚建筑，
其纵剖线很多就是圆锥曲线．