将已知微分方程和定解条件（初始条件和边界条件）求方程的解的问题作为正问题，那么，已知方程的解（部分解）或解的某种函数反求定解条件或者方程的一些未知项的问题被称之为微分方程的反问题。四维变分同化也是一类微分方程的反问题。求反问题的解的过程称之为反演。我们可将观测y近似看作预报模式（方程）的解的某种函数，那么四维变分同化就是由观测反演初值的问题。四维变分同化的一个显著特点是利用了过去时间的观测资料，而且同化后的场是模式的一个预报场。

三维变分中，假定观测资料y与模式的控制变量（x0)都是在同一时间的。四维变分中，不同时间的观测资料可以同时影响初始时间的模式控制变量（何为控制变量？控制变量（目标函数对该变量求极小）是模式的初始态x0，而时间区间上终止时刻的分析由模式的积分给出）。

这里先来说明一下四维同化的基本步骤：

（1）在同化时间窗的起始时刻以上次预报为初始场积分预报模式到同化时间窗的终点，并将预报变量（可以称为背景预报）记录下来以备后边计算使用。

（2）按照时隙的划分来组织观测资料并进行预处理使之成为适于同化使用的格式。

（3）利用与观测同时的背景预报计算所有有效观测的模式观测相当量以及与实际观测值得差，即新息量。

（4）从同化时间窗的终点时刻开始，反向积分伴随模式，并在每个观测时隙增加相应的观测资料的贡献，直至同化时间窗的起点。

（5）计算目标函数及其梯度，用适当的最优化算法估计状态变量的修正值。

（6）返回到（1），开始下一轮的优化循环，直至达到预期的精度。

说明：（1）目标函数与梯度的计算是为了利用最优化方法来求使目标函数取极小值的模式初试状态值。这种大规模的最优化问题一般都是迭代求解的。（2）从步骤中可以看出，单次计算即涉及预报模式及其切线性的正向积分与伴随模式的反向积分，计算量已经很大，再多次迭代其计算量又要大幅度增长。因此四维变分同化的实施严重地受到计算量的制约。（3）与三维变分分析相比，四维变分同化的主要优势在于考虑了背景误差的分布随着环流变化的特点并更合理地使用了多时刻观测资料。
与四维变分同化相比，三维变分同化的略处在哪里？

下图为三维变分同化示意图：

从此图可以看出：（三维变分同化的缺点）

（1）分析结果时间上时不连续的。

（2）后边时刻的观测资料没有用来获得当前的分析场（正如图中所示：第一个时刻的分析场，只是加入了第一时刻的观测资料，并没有加入第二和第三两个时刻的观测资料）

（3）无法运用模式的预报信息来压制模式的预报误差的增长。（这点图中是看不出来的）

所谓动力模式就是 dx/dt=F(x)

这就是四维变分同化要解决的问题！

解释：给定一个观测同化时间窗口（t0,tn)（如果一次同化考虑时间区间[t0,tn]的观测资料，我们将这一时间区间称之为时间窗，并将其进一步划分为若干个相等长度的小时间段，并称之为观测间隙，对于同一个时隙内的观测资料我们认为它们是同时观测的，例如认为它们都是在该时隙的中间瞬间或起始瞬间进行观测，使得计算较容易实施）,求在t0时刻模式的初始场x0,使得代价函数最小，即使得模式在该窗口内最小地拟合观测和背景场。

问题：如果已经求出了最优解,那么在这个时间窗口内的分析场是什么？

解答：分析场就是模式以为初值的解：

但是这里隐含了一个假设，那就是模式是无误差的，也就是完美模式的假设（4DVAR中假设模式是完美的，这是一个缺点，因为，它将给予初始时刻旧的观测和终止时刻新的观测同样的信任）。这就是为什么叫做叫做强约束四维变分方法的原因。