《数学课程标准》指出：在数学课程中，应当注重发展学生的模型思想。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。如何将发展模型思想在教学中落到实处呢？本文将围绕之前讲授的《鸡兔同笼》一课展开思考。

一、案例回放

《鸡兔同笼》一课的目标定位于让学生独立探索、尝试运用多种方法解决“鸡兔同笼”问题，培养学生的推理能力。让学生在列表法、画图法的基础上，逐步掌握假设法、方程法，尊重学生的个性体现算法多样化，在多样化的基础上通过对比让学生自己选择最优的解题方法。可是，在学完之后，用列表法解题的同学还是用列表法，用画图法解题的同学还是用画图法，老师推荐假设法、方程法可他们还是觉得自己的方法最优，用假设法、方程法解题的同学也经常计算完得数后，搞不清求的是兔还是求的鸡。学习的过程也是就题论题，学生学得困难，教师教的困难，学生也认识不到学习这部分知识的作用是什么，教师也不知道所教内容的真正价值。造成这种结果的原因是什么？课后专家的指导，使我认识到根本原因在于学生没有在在头脑里建立起解决这类问题的数学模型，没有体会到“鸡兔同笼”这个问题的数学魅力，在思维上没有得到飞跃。

二、提出问题

针对课堂教学中学生的表现和原因分析，将问题聚焦为：

如何帮助学生实现数学建模，使其感受到数学的魅力？

三、诠释和分析

（一）数学建模的内涵和价值

关于“数学建模”，有着较为确定的含义，即“把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模。”

“建模”、“模型”对于数学、对于数学学习的重要价值。郑毓信教授在《数学教育哲学》一书谈到：“就数学在古埃及、古巴比伦等地的早期发展而言，人们主要是通过观察或实验、并依靠对于经验事实的归纳获得了关于真实事物或者现象量性属性的某些认识；但是，从现今的观点看，这些只能说是一种经验的知识而不能被看成真正的数学知识，因为，真正的数学知识应当是关于抽象对象的研究”、“原始意义上的七桥问题，即能否一次且无重复地通过哥尼斯堡的七座桥的问题，显然只能说是一个游戏，而不被看成一个真正的数学问题；与此相反，这一问题由于欧拉的合理抽象被变形成了一般的‘一笔画’问题，并通过‘奇点’、‘偶点’等概念的引进得到了十分一般的处理，从而获得了真正的数学意义”。

由此可以看出，数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”、“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”

（二）课堂中帮助学生实现数学建模的策略

如何实现数学建模，让学生感受到数学的魅力？结合我对《鸡兔同笼》这节课的再认识和再调整，谈谈自己的看法。

1．教师要有建模的意识

“鸡兔同笼”问题的数学模型是二元一次整数方程，虽然在小学里学生并不学习二元一次整数方程，可是，“鸡兔同笼”却被广泛地运用到小学教材中占据着重要的位置。教学这些内容时，如果仅是就题讲题，就课本讲课本，难免显得过于简单和浅薄。那么，对小学生的数学学习而言，“鸡兔同笼”是否还隐藏着其他的“模型”因素呢？许卫兵老师认为至少有三方面是值得关注的：一是内容层面的，即“鸡兔同笼”这类题本身的题型结构特征（告知两个未知量的和以及两个未知量之间一定的量值关系，求未知量）；二是方法层面的，即“假设法”的一般解题思路（画图、列举、替换等在某种意义上都是“假设”）；三是思想层面的，即从一个具体的“鸡兔同笼”数学问题出发，在经历了对其解答的过程之后，能将解决它的方法和思路进行扩展运用（学习“鸡兔同笼”，最终的目标并不仅仅是会解答一道“鸡兔同笼”，更有其他）。有了这样的理解，在教学中，我们就会引导学生在关注教材中所编排内容的同时，注意把握题目的类型、结构和类比运用，用系统的眼光来看待它的教学价值。这些，恰恰是学生到了中学后真正建立二元一次整数方程数学模型的基础。

教师首先要思考每一具体的教学内容中隐藏着怎样的“模”？需要帮助学生建立怎样的“模”？如何来建“模”？在多大的程度上来建“模”？所建的“模”和建模的过程对于儿童的数学学习具有怎样的影响？……在基于建模思想的数学教学中，这些问题都是一些本原性的问题。一个老师如果从来不曾在这些方面作过思考的话，可以肯定，他的数学课堂上数学知识概念、命题、问题和方法等很难见到“数学模型”的影子，他的学生也可能从未感受过“数学模型”的力量。

眼界决定境界。一个老师是否具有“模型”眼光和“模型”意识，往往会决定着他的教学深刻性和数学课堂的品质。

2．合理展开数学建模的过程

（1）精选问题情境，激发建模兴趣。

课初，利用我国古代数学名著中的数学趣题直接导入新课学习，让学生感受到了数学文化的悠久与魅力，激发了探究的兴趣和动机，明确了本节课学习的目的与要求。

数学课堂教学中，问题要以情境的方式在课堂上展示给学生，描述数学问题产生的背景。让学生感到真实、新奇、有趣、可操作，满足学生好奇好动的心理要求。这样很容易激发学生的兴趣，并在学生的头脑中激活已有的生活经验，也容易使学生用积累的经验来感受其中隐含的数学问题，从而促使学生将生活问题抽象成数学问题，感知数学模型的存在。

（2）建立数学模型的思维方法，构建数学模型

本课，在学生交流列表、画图、列式、代数四种方法之后，我引导学生对这四种方法进行了对比，让学生抽象概况出几种方法的共同点：

列表法：先假设一种动物有几只，再根据总头数算出另一种动物的只数，然后计算总腿数与题意是否相符？

图示法：先假设全是某一种动物，再把多画或少画的腿数去掉或添上，得出结论。

列式：也先假设全是某一种动物，并用算式把画图的过程表示出来。

方程：假设某一种动物有x只，运用等量关系列方程解决问题。

总结出这四种方法都蕴含了同一种思考方法——假设。此环节通过对各种方法的联系比较，提炼出假设的思想。帮助学生实现“全部想成鸡或兔”的思维飞跃，发展学生的推理能力。并为建立“鸡兔同笼”模型奠定了坚实的基础。

具体生动的情境及肤浅的生活经验是学生构建数学模型的基础，数学模型构造过程的本质是数学思维的活动，分析与综合、比较与分类、抽象与概括、猜想与验证等既是思维的重要方法，同样是构建数学模型的重要方法。

（3）应用数学模型，解决实际问题

从具体的问题经历抽象提炼的过程，初步构建起相应的数学模型，还要组织学生将数学模型还原为具体的数学直观或可感的数学现实，使已经构建的数学模型不断得以扩充和提升。

（三）“鸡兔同笼”的再设计

基于对以上策略的思考，在改进课中，我设计了以下的几个环节，帮助学生完成了“鸡兔同笼”问题的建模。

1，解决问题

师：“鸡兔同笼”问题传到日本，日本人称它为“龟鹤问题”。

（出示）动物园里有龟和鹤共10只，共有24条腿。龟和鹤各有几只？

师：大家想一想日本人说的“龟鹤”与中国的“鸡兔”有没有内在联系？

学生思考，交流汇报。

师：除了“龟鹤问题”与“鸡兔同笼”问题类似以外，我们在实际生活中还有很多类似的问题。比如：（出示）学校举行乒乓球比赛，有单打和双打。12张乒乓球台上共有34人同时在打球。正在进行单打和双打的台子各有几张？

师：这题是否属于“鸡兔同笼”问题

学生思考，交流汇报。

出示：每年3月12日是我国的植树节。参加植树活动的学生人数共13人。女生每人种3棵，男生每人种4棵，一共植树43棵。参加植树活动的男、女生各有多少人？

师：你能找到这道题与“鸡兔同笼”问题相似的地方吗？

学生思考，交流汇报

小结：看来“鸡兔同笼”问题并不只解决鸡和兔，还可以是“龟鹤”、“单打、双打”、“男、女生植树”问题，鸡兔只是这类问题中的一个典型例子。

在刚才的练习中选择任意一题完成。

让学生再编一些类似的题目。

通过独立解决问题建构了“鸡兔同笼”问题的数学模型，运用学到的解题策略解决生活中的实际问题。

2．拓展外延

请同学们想一想，在日常生活中还有哪些情况类似于鸡兔同笼问题？举出实例，编同类题目。

生1：买了一些苹果和梨子，告诉苹果和梨子的单价和总数量，还有总的价钱，求苹果和梨分别买了多少千克。

生2：自行车和汽车一共有几辆，一共有多少个轮子，求汽车和自行车分别有几辆。

……

师：请同学们谈谈“鸡兔同笼”问题有什么魅力？

放手让学生对生活中类似于鸡兔同笼问题的列举，谈感受，让学生体会到了此类问题在现实中的广泛存在，进而凸显了本节课的学习价值。

四、结束语

日本数学家米山国藏所说：“作为知识的数学出校门不到两年就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地地发生作用，使人终身受益”。众多教学实践证明，构建数学模型是促进学生的数学理解，培养学生创新精神和实践能力的有效手段。儿童数学教学的终极目标，应该是让学生都懂数学、爱数学，对数学怀有敬畏之心和热爱之情。要实现这样的目标，数学教学就不能只停留在知识和方法层面，而是要深入到数学的“腹地”，用数学自身的魅力来吸引学生。