从“百发百中的台球桌”出发

------一堂高三椭圆复习课的设计与思考

高三数学一轮复习既是对知识的系统梳理，也是对学生数学思维能力的进一步提升。在“圆锥曲线”这一重要章节中，椭圆的定义与性质既是基础，也是高考中的常见考点。如何让学生不仅记住公式，更能理解其几何本质与应用背景？我们设计了一节以“椭圆台球桌”为情境的复习课，以下是对本节课的教学梳理与反思。

一、情境驱动：当椭圆遇上台球

以“百发百中的台球桌”作为引入，提出两个问题：

桌上的两个标记点是椭圆的什么点？

球从一个焦点出发，经椭圆边界反射后是否必过另一焦点？

这一设计源于椭圆的光学性质：从一焦点发出的光线（或运动轨迹）经椭圆反射后必经过另一焦点。学生通过生活化的台球情境，直观感受到椭圆的几何特性，也为后续的数学证明与应用埋下伏笔。

二、知识梳理：从定义到方程，从形到数

在情境激发兴趣后，我们引导学生回归椭圆的数学定义：

平面内到两定点F₁,F₂的距离之和为常数 2a（且2a>F₁F₂）的点的轨迹。

接着通过“如何用刻度尺找到椭圆桌的两个标记点（焦点）”的实操问题，推动学生自主推导椭圆的标准方程、焦点坐标、离心率等核心内容，并对比焦点在x轴与y轴上的不同情形。

三、例题探究：从计算到推理，从静态到动态

设计了一道贯穿始终的例题：

已知椭圆桌长轴长为 36，短轴长为 24。

（1）建立坐标系，求椭圆方程与焦点坐标；

（2）小球从一焦点击出，经一次反射能否击中另一焦点？路径多长？

（3）若经两次反射，能否回到出发点？路径多长？

此题融合了：

椭圆方程的建立、光学性质的数学化表达、焦点三角形与路径长的计算、对称性与运动规律的推理

学生在解题过程中，不仅巩固了椭圆的基本量关系a²=b²+c²，更体会到“数学建模—推理—验证”的完整思维链条。

四、能力提升：从做题到探究，从数学到跨学科

在课后设置了分层练习：

基础巩固：完成《白本》考点练习，强化定义与标准方程；

拓展提升：通过豆包等平台完成动态几何与路径优化问题；

跨学科延伸：引导学生借助 DeepSeek 等工具，探究椭圆在天文（行星轨道）、医疗（椭圆反射镜、超声波聚焦）等领域的应用。

这一设计旨在打破“数学是孤立的学科”认知，让学生体会数学作为基础学科的工具性与美学价值。

五、教学反思：复习课如何“活”起来？

情境的真实性：台球桌、光学路径等生活实例，让抽象的椭圆“看得见、摸得着”；

问题的层次性：从基础定义到动态路径，从一次反射到多次反射，循序渐进，激发思维挑战；

工具的融合性：鼓励学生使用刻度尺、动态几何软件、AI工具等，增强直观与探索能力；

应用的开放性：引导学生从数学走向物理、工程、天文等领域，拓展学科视野。

结语

复习课不仅是知识的重复，更是思维的升华。我们希望通过这样的教学设计，让学生感受到：

椭圆不止是试卷上的方程，更是生活中隐藏的规律、宇宙中运行的轨迹、科技中运用的原理。

在今后的教学中，将继续探索“情境—问题—探究—应用”的教学模式，让数学课堂既有严谨的逻辑，也有生动的灵魂。