《小学数学研究》读书笔记

                  阳光组合    中山大学附属小学    陈 婷

    在学校领导的支持下，我参加了2013年广州市民办学校骨干教师培训班，在暑假期间，我认真研读了张奠宙教授的《小学数学研究》。这本书从一个较高的角度对小学数学的内容进行阐述、拓展和提高，为小学数学的教学内容的构建提供了一个相对严密的框架，为小学数学教师的教学提供了理论支撑，是一个数学教师必读的一本好书。我主要从第三章《数的整除》来谈谈我对这本书的一些理解。

《数的整除》这一章的内容包括四个小节——自然数的整除性、公因数和公倍数、整数的非整除性、余数与检验码以及附录梅森质数、费马数与哥德巴赫猜想。由于作者是从一种居高临下的角度来阐述这部分内容的，如果能将作者的观点和小学数学教学实际结合起来，也许可以为我们的教学提供一种新的思路。

一、自然数的整除性

（一）整除、倍数和因数

1、整除概念的定义：对于整数a和整数b，如果存在一个整数k，使得a=bk，那么就说a能被b整除，记作b∣a。它的意义是a恰好能被b除尽，且商是整数。

2、倍数和因数的定义：如果整数a能被自然数b整除，商为k，那么称a是b的倍数，也称为b的k倍；b叫做a的因数（有时也叫做a的约数）。

例如，15能被3整除，15是3的倍数，3是15的因数。18能被3整除，而不能被4整除。

这里，我们要做出以下的说明：

（1）整除和除尽的区别。在整数范围内，整除和除尽是一样的，但是在有理数范围内乃至实数范围内，二者就不同了。

18÷4=4.5 ①               18÷3=6  ②           18÷1.8=10 ③

以上三个式子的除法都是“除尽”了的，因为它们的余数都为0.但是①式中商不是整数，因而不是整除，③式中除数不是整数，尽管商是整数，也不是整除。

考虑到学生的接受能力，在我们的小学数学教材里面没有出现“整除”和“除尽”两个概念，但是学生必须学会判断一个除法算式是否整除。在教学中我们这样对学生进行说明：在小学范围内，整除只在整数范围内考虑，要求除法算式的被除数、除数、商都是整数，这样的除法算式才是整除。

整除时，我们说余数是0.口头上有时把“余数是0”说成“没有余数”，那是不准确的说法，因为“0”是数，当然也可以是余数。

（2）倍和倍数的概念，可以推广到有理数和实数范围内。

值得注意的是，在小学范围内，教学因数和倍数只在整数范围内讨论，学生可以说“18是3和6的倍数”，但是不能说“18是4的倍数”。这是受小学生知识水平的限制，在教学时将讨论的范围缩小了。

但是实际上，倍和倍数的概念，是可以推广到有理数和实数范围内的。例如18÷4=4.5 ，我们可以说18是4的4.5倍。我们也可以说是的3倍，以及是3的倍。

为避免概念混淆，我们在说到“倍数”时，指的是二者间有倍数关系，而不提多少倍。例如，我们可以说18是4的倍数，也可以说“18是4的4.5倍”，但是不会说“18是4的4.5倍数”。

（3）因数的概念也可以推广到有理数和实数范围内。

跟上述倍数的概念可以推广到有理数和实数范围内的道理一样，因数的概念也可以推广到有理数和实数范围内。例如，如果a=×，那么1，和都是a的因数。

3、 因数的求法。

关于因数和倍数的求法，教材是这样来进行说明的：

教材在介绍因数和倍数的时候也是根据乘法算式中各个部分的关系来得出的。如1×12=12，2×6=12，3×4=12，那么1,12,2,6,3，4都是12的因数，12是1,12,2,6,3,4的倍数。

在求因数的时候，也是采用把一个数写成两个数相乘的形式，从而得出这个数的因数。

如18=1×18， 18=2×9， 18=3×6，那么18的因数就有1,2,3,6,9,18。

当然也可以用除法来表述，如18÷1=18,18÷2=9,18÷3=6，那么18的因数有1,2,3,6,9,18。

一个自然数有多少个因数，有哪些因数，没有一般的规律可循。正由于寻求自然数的因数需要研究其特殊规律，才使得它成为“数论”领域的一个研究重点。

4、倍数的求法

求一个数的倍数可以用这个数分别去乘1,2,3,4，…（非0的自然数）所得的积即是这个数的倍数。

5、关于0和1的规定。

“0”与“1”是两个特殊的数。“0”是任何自然数的倍数，但它本身没有倍数；1是任何自然数的最小因数。

（二）数的奇偶性

自然数分类可以分为奇数和偶数两类，现在通行的偶数和奇数的定义是：

偶数： 能够被2整除的数，如0，2,4,6，……。记作2n（n为整数）。

奇数：不能被2整除的数（即余数为1），如1,3,5,7，……。记作2n+1（n为整数）。

每个整数不是偶数，就是奇数，二者必居其一。奇数和偶数是数学专业名词。普通名词称为“单数”和“双数”，意思是一样的。习惯上只在正数时使用单数和双数的说法。因此，单（双）数一定是奇（偶）数，反之则不然，如不能把﹣2称为双数。

“0”是偶数。由于0能被一切自然数整除，当然也能被2整除，因而符合偶数的定义。从自然数列：0、1、2、3、4、5、6、……中奇数、偶数的排列关系来看，“0”的位置恰好是第一个偶数。

数的奇偶性它关注的重点并不是奇数与偶数值得大小、多少，而是他们本身具有的特性。也正因为数的奇偶性只是自然数内部的一种数学属性，教学时不必刻意地将其“生活化”或“情境化”。纯粹数学地阐述，小学生能够理解掌握。所有偶数都可以由2生成（2n），而所有的奇数都由2n+1生成。

（三）质数和合数

自然数还可以作另一种分类：质数和合数。质数和合数是根据因数个数的不同来定义的。在大于1的自然数中，如果只有两个因数——即1和该数本身，这样的自然数叫做质数（或素数）。如果有两个以上的因数——即1和该数本身外，还有其它因数，这样的自然数叫做合数。如，2,3,5,7,11,17都是质数；4,6,8,9,10,15都是合数。

在讨论自然数的质数和合数时，我们把0和1排除在外。

1既不是质数也不是合数。在后面讨论因数分解时，1不作为质数，就可以保证一个合数分解质因数是唯一的。

0既不是质数，也不是合数。因为0=0×1×2×3×…×n，有无限多个因数，不便于讨论。

于是，自然数可以按其因数有1个、2个、有限多个和无数个，划分为1、质数、合数和0四类。

关于质数的定理：大于1的任何整数，至少有一个因数是质数。

质数有无数多个。（证明略）

我们所使用的人教版教材中是根据因数的个数来定义质数和合数的：

在大于1的自然数中，如果只有两个因数——即1和该数本身，这样的自然数叫做质数（或素数）。如果有两个以上的因数——即1和该数本身外，还有其它因数，这样的自然数叫做合数。如，

2,3,5,7,11,17都是质数；

4,6,8,9,10,15都是合数。

这样，就给出了自然数的另一种分类方法：根据因数的个数分为4类：

（四）质数的判断

关于判断一个自然数是否为质数，至今还没发现有一般的方法。现在常用的判断方法有：

（1）查表法

数学家经过研究，确定了一部分的质数，并将它列成表。1000以内的质数表是希腊学者埃拉斯托尼（Eratosthenes公元前276—前195）首先创立的。因此，要判断一个数是否是质数，可以查相应的质数表。如果该数小于表内的数，并且列在表内，它就是质数；如果没有，它就是合数。但是，质数是无限多的，质数表只能列出其中的一部分。

（2）试除法

如果没有质数表，可以用试除法判断。

例如，判断197是否质数，可以用2、3、5、7、11等小于的质数去试除。

（3）筛法

教材中呈现的方法是筛法。给出一个100以内的数表。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

然后指导学生按照如下方法操作：

（1）划掉1；

（2）划掉除2外所有2的倍数；

（3）划掉除5、3、7外所有5、3、7的倍数，如此做下去，剩下的就是质数。

     通过上述三步操作，学生可以找出100以内的质数。但是教材中并没有说明用筛法找质数的原理，教师可以适时说明：如果一个数是2、3、5、7等质数的倍数（它本身除外），它就含有两个以上的因数，也就是合数。把合数都剔除，剩下的就都是质数。所以我们在判断一个数是不是质数的时候，可以用2、3、5、7......等质数去试除，如果它都不是它们的倍数，那这个数就是质数。从而将教材跟试除法结合起来，让学生既明白试除法的原理，也能明确用试除法判断质数的具体方法。

（五）分解质因数

若一个数的某一个因数是质数，这个因数叫叫做这个数的质因数。把一个数用若干个质因数的乘积的形式来表示叫做质因数分解。

如3是18的质因数，而6虽然是18的因数但不是18的质因数；但18可以分解成质因数乘积2×3×3。

作为特例，一个质数的质因数分解就是这个质数本身。所以“只有合数才能分解质因数”的说法是错误的。

例如，把2310分解质因数。

解：2310=2×3×5×7×11

分解质因数的关键是对质数的判断，对于不大的合数进行分解质因数时，可以随时查阅质数表。

如果容易看出要分解的数是某些数的乘积，那么可以先把它写成某些数的乘积的形式。再把乘积中的数分别进行分解，最后把所得的全部质因数连乘起来。

例如，把21600分解质因数。

解：21600=216×100

         =9×24×100

         =9×3×8×4×25

         =3²×3×2³×2²×5²

         =2五次方×3³×5²

教材中对分解质因数这部分内容的介绍是通过课外阅读的方式呈现的，如下图

 

 

 

 

 

 

 

 

 

并且呈现方式比较多样化：有树形图，短除法，算式法等。丰富学生对分解质因数的认识。

 

二   公因数和公倍数

（一）公因数的概念

从上面的叙述我们知道自然数a的因数集合是有限集合。例如，

12的因数集合A={1,2，3,4,6,12}

28的因数集合B={1,2,4,7,14,28}，

那么，A∩B={1,2,4}. A∩B中的元素1,2,4都是12与28的公有的因数，我们就说它们是12与28的公因数。一般地，我们对公因数有如下定义

如果，，…，和d是自然数（n≥2），且d∣, d∣,…, d∣,那么d叫作，，…，的公因数。

由于自然数a的公因数的个数是有限的，因而，几个自然数的公因数的个数也必定是有限的。有限的公因数中必定有最大和最小的。但是，几个自然数的最小公因数必定是1，我们需要研究的是寻求几个自然数的最大公因数。关于最大公因数是这样定义的：

如果d是自然数，，…，的公因数中最大的，那么d叫作自然数，，…，的最大公因数。记作d=（，，…，）。

如（12,28）=4；（168,120,264）=24。

教材在介绍公因数和最大公因数的时候，以实际问题引入，让学生理解公因数和最大公因数的意义和在实际生活中的作用。如：

如果几个自然数的最大公因数是1，即（，，…，）=1，，，…，就叫作互质的数，简称，，…，互质。如（2,3）=1；（7,12）=1；（8,15）=1；（6,7,13）=1，（9,15,22）=1。

要注意的是，几个互质的数未必是质数，如8与15互质，但8与15都是合数；此外，两个以上的数互质时，其中每两个也未必互质。如（9,15,22）=1，其中（9,15）≠1。

教材中“互质数”的概念是以“你知道吗”的形式呈现的。但没有出现“两两互质”的定义，这一点需要教师在实际教学的过程中加以补充。

关于两两互质有如下定义：

如果自然数，，…，（n≥2）中每两个的最大公因数都是1，，，…，叫作两两互质的数，简称两两互质。

思考：若自然数，，…，（n≥2）两两互质，则，，…，是否互质？答案显然是肯定的。

　　如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。 

　　（8）两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是较小数的约数，这两个数是互质数。如85和78。85－78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。 

　　（9）两个数都是合数，较大数除以较小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是较小数的约数，这两个数是互质数。如 462与 221， 462÷221=2……20， 20=2×2×5。 

2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。

（二）最大公因数的求法

1、列举法

为了降低学生的学习难度，为了加深学生对最大公因数实际含义的理解，教材在编写时设置具体情境，让学生找出两个数的最大公因数。如人教版五年级下册第79-81页，教材首先设置了一个铺地砖的情境，要求用边长为整分米数的正方形地砖铺满长16dm，宽12dm的长方形地面。学生会发现，要求正方形的边长，实际上就是求长方形长和宽的公因数。从而引出公因数和最大公因数的概念。

在例2教学“怎样求18和27的最大公因数”时，教材列举法，从而降低学生掌握求最大公因数方法的难度。

2、分解质因数法

这是求最大公因数最直接的方法。一个自然数的因数（1除外）是由它的若干个质因数的乘积组成，那么几个自然数的公因数必定是由它们共有的质因数的乘积组成，因此几个自然数的最大公因数就是它们所有公有的质因数的乘积。如果几个自然数没有公有的质因数，那么最大公因数为1，即它们互质。

例如，求24，36的最大公因数。

先用短除法将24,36分别分解质因数，再找出它们公有的质因数2,2,3，再求出公有质因数的乘积，即是24和36的最大公因数。

因为我们所需要的只是几个数公有的质因数，为方便，一般不采取用短除法分别对各个自然数进行质因数分解，而采取如下的短除法同时对各个自然数进行质因数分解。

例如  求2700,7560,3960的最大公因数。

所以，（2700,7560,3960）=2²×3²×5=180.

利用这种方法求最大公因数时，不是必须用公有的质因数去除，如果很容易看出较大的公因数，也可以用公因数去除。如上面的例子，也可以先用10去除，再用9除，最后用2除。

所以，（2700,7560,3960）=10×9×2=180.

3、辗转相除法与更相减损术

如果求两个较大的自然数的最大公因数时，其中较小的不能整除其中较大的，而且这两个自然数分解质因数也较困难，那么，可以利用下面的性质进行转化，直到求出最大公因数。这就是辗转相除法。

如果第一个数除以第二个数，余数不等于0，那么这两个数的最大公因数就是第二个数与这个余数的最大公因数。

即，如果a÷b=q（余r），（r≠0），那么（a,b）=（b,r）

例如，527÷102=5（余17），因为（527,102）=（102,17），又因为17︱102，因此（527,102）=17。

利用辗转相除法求两个自然数a、b的最大公因数的基本过程是这样的：

设a＞b，当b︱a时，（a，b）=b；

当b﹨(｜)a时，有余数，那么（a，b）=（b, ）。

当b﹨(｜)时，那么（b，）=，（a，b）= 。

当﹨(｜)b时，有余数，那么（b，）=（，）=。

依次除下去，余数逐渐减小（b＞＞＞…＞），必定有一个=0，这时，︱

，得（，）=。

由此得出（a，b）=（b，）=（，）=…=（，）=。

例如，求391与299的最大公因数。

解：391÷299=1……92，

（391,299）=（299,92）

又299÷92=3……23，（299,92=92,23）

又92÷23=4

（92,23）=23

故（391,299）=23

辗转相除法对于我们的孩子而言难度较大，在教学时学生接受起来比较困难。我们可以采用数形结合的方式来帮助学生理解。如在上例中，“求391与299的最大公因数”可以转化为“一个长方形的长为391，宽为299，要把这个长方形剪成大小一样的正方形，这样的正方形的长最大是多少？”这样一个问题。

辗转相除法的计算过程也同样可以用图形来表示。

先将长方形切割成边长是299的正方形，剩下一个长为299，宽为92的长方形，再将这个长方形切割成3个边长是92的正方形，剩下一个长92，宽23的长方形，将剩下的长方形切割成4个边长为23的正方形。最后没有剩余，因此，要将原来的长方形切割成大小相同的正方形，边长最大是23。

（三）公倍数的概念

对于公倍数我们有如下定义：

如果，，…，和m是自然数（n≥2），且∣m，∣m，…，∣m，那么m叫作，，…，的公倍数。

几个自然数的公倍数集合是一个有始无终的无限集合，也就是说，几个自然数的公倍数中有最小的公倍数存在，而无最大的。虽然0是几个自然数的公倍数中最小的，但其作用和意义不大。因此，我们定义的最小公倍数是指非零的最小公倍数。最小公倍数的定义如下：

如果m是自然数，，…，的公倍数中除零外最小的，那么m叫作自然数，，…，的最小公倍数。记作m=[，，…，]。如：

[5,11]=55，[24,36]=72，[4,7,8]=56，[6,10,15]=30。

由上可以推出，如果b∣a，那么[a,b]=a。反之也成立。

同样的，如果（a,b）=1,那么[a,b]=a×b。

教材是这样来介绍公倍数和最小公倍数的：

（四）最小公倍数的求法

1、列举法

教材在教学求最小公倍数的方法时，采用的是列举法：

2、分解质因数法

求几个自然数的最小公倍数，与最大公约数求法一样，可以用分解质因数法。只是最小公倍数里应该含有每一个自然数里所有的质因数，并且每一个质因数的个数不能小于原来几个自然数里含该质因数的最多个数。

例如 求96,30和132的最小公倍数。

解：因为96=×3    

30=2×3×5     

132=2²×3×11

所以[96,30,132] ×3×5×11

       为了书写方便，可以用下面短除法来求几个自然数的最小公倍数。

需要注意的是，上面的短除法中除以公有的质因数3，得到16,5,22后，这三个数没有公因数2，为什么还要继续除以2？这种短除法求最小公倍数，用公有的质因数去除，要除到最后的商两两互质时才结束。而求最大公因数时是除到最后的商互质时结束。这是两者的区别。

因为[a,b]×（a,b）=ab，所以求两个数的最小公倍数，可以先求出这两个数的最大公因数，再除两个数的积。

例如  求91和49的最小公倍数。

解：因为（91,49）=7，且91×49=4459，所以[91,49]=4459÷7=637

最大公因数和最小公倍数这部分内容，对学生而言过于抽象，而且在实际生活中运用的机会不多，学生掌握起来比较困难，因此教材在处理的时候尽量采用一些实际生活实例来帮助学生理解。例如人教版教材呈现的素材有：

        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

苏教版教材呈现的素材有：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

通过这些跟实际生活衔接比较紧密的实际例子，学生比较容易将最大公因数和最小公倍数的意义和生活中的模型连接起来，降低认知难度。