数学学习规律简析

                     育人是一个极为复杂的课题，我们简直还没有开始理解。[]

不知不觉间，学习现代数学已经有十年多的时间，其间，我总结、提炼了一些肤浅、有限的心得体会；在这里，我就简要地阐述若干我较为受益的学习规律，陈述一下我对某些问题的粗浅理解。

（一）天赋与勤奋。天赋在数学中的高度重要性是一个我们都很熟悉的基本事实，诸如Poincare、Von Neumann和Grothendieck等，都具有强大的技术能力，此点自然不需详述。以网球来说，费德勒之所以能够取得灿烂夺目的丰富成就，最核心的原因当然在于他良好的手感和全面的天赋；再以足球为例，梅西之所以能够在过人、助攻与射门三个基本的方面都技艺精湛，本质原因自然也在于他优秀出众的球感；数学中天赋的作用也是类似的。有如我们所熟知，不同个人在数学天赋上存在着很大的差别，我们都遇到过一些每天只学3、4个小时即能将所学知识掌握极佳的学生，天赋高超的学生与普通学生在学习效率上往往能够相差数十倍。但是，在这里，我想指出另外一点：要成为真正的数学家仅仅拥有一般的天分恐怕是不够充分的，禀赋深厚的学生其实并不少见，但是，最后真正能够成材的却为数不多；每年，我们周围也有一些负笈Harvard、Princeton、 MIT等著名学府的好学生，然而，他们的天赋与大数学家相比差距也是较大的，对于这些有一定禀赋的优秀学生来说，他们之中的绝大部分，可能也只是能够在美国的普通大学获得一份教职，即使获得在ICM上做45分钟报告的荣誉也面临着较大的障碍。与此同时，在数学研究的广阔领域之中，天赋也并不是唯一重要的基本因素，当代分析学大师、调和分析的领袖级数学家Carleson，谈及自己的学术经验时，认为自己直到三十岁才入门，才写出了一些有意思的文章；而另外一些从事调和分析研究的学者天生的禀赋可能要比Carleson 更高一些，但是，最终的成就则没有后者来的大。（从这个例子中我们也可以体会到，一个人的天赋、思维能力也处在不断增强、迅速变化的过程中）概言之，天赋与最终的数学成就之间是一个很复杂的问题，并非简单的线性正比关系。

勤奋的益处是显而易见的，因为，勤能补拙，日积月累的不断投入能够带给我们的思想深度、研究视野以本质性的变化；举例来说，数论大师Siegel教授课程时从来不看课本，无论如何繁难的公式都记在自己的脑子里，他所以能够做到这种程度，是因为，为了一个小时的授课，他在下面往往要准备六个小时。我见过太多天赋丰厚的学生，由于应付考试较为轻松，因而，每天只花3、4个小时的时间进行学习，不去阅读富有价值的课外书籍，也不花大量的时间去思考各种有趣、重要的问题；简言之，不严格地要求自己，缺乏刻苦求进的精神，最终自己身上宝贵的天资没有充分开发出来，这样的情况较为普遍，令人颇感失望。数学研究的过程很艰难曲折，并没有捷径，要学好每门课程都需要深厚宽广的功底，都需要付出大量的心血；比较显然的是，如果一个人不是每天至少投入十个小时不断地思考数学，就难以做出优质的结果（我尚未听说过有某位著名的数学家不是高度勤奋的）。在数学研究的过程中，方法的总结是一个方面，投入大量的时间是不可分割的另一基本方面，无论方法总结的如何精到、深入，如果投入的时间不够充足，那么也很难取得实质性的成果。但是，需要补充的是，勤奋也并不是一根筋埋头看书做题、刻苦用功那么简单，当年代数学家范德瓦尔登常常夜以继日地在办公室里演练技巧、推导公式，草稿纸练了几麻袋；而另一位几何学家科福桑却是每天游玩养花、散步聊天，最后，两个人取得的成就都很大；因为，科福桑在散步、聊天的时候脑子里也在不停地思考着种类多样的问题。 [2] 所以，勤奋也要讲究方法，既要苦干，也要巧干，二者要结合起来，相辅相成。

（二）与人交流与独立思考。众多情况下，当我们自己一个人独自思考的时候，我们都会主观上认为自己的知识结构已经很完善，思想、见识也已非常成熟；只有与其他人进行广泛活跃的智力交流以后，才会发现自己在思想、意识、观念与知识等各方各面都存在着很多的严重缺陷。我自己的体验是，对同一个领域、相同的某些问题，同两个以上程度很好的学生进行深入交流会得益巨大——同他们交流能够令我们发现自身思维上的某些盲点，能够使我们从一些新颖的视角重新审视很多问题，同时，他们的深刻认识、熟练技巧与渊博知识能够带给我们多方面的思想启迪，而且，许多晦涩深奥的知识因为交流也变得富有生趣[] 。一个人的智力总是较为有限的，几个人加在一起的智慧在很多情境里能够发生剧烈的化学反应，其间能够产生很多深刻的洞见，所以广泛、深入、长期的互相交流对于我们思想的深化与扩展会有巨大的良好影响。[] 如所熟知，同其他人交流的学习方式要比自己单独学习效率高出很多。杨振宁曾经说过，当年在西南联大时期，他们常常是上午聊，下午聊，晚上聊，终日都在讨论各种类型的问题；一次，他曾经与另外两位同学一起热烈地讨论量子力学中的哥本哈根精神，在一起从下午到晚上，持续讨论了5,6个小时才搞懂了其中的主要细节，杨先生曾说过：博士阶段学习上的很多深远进步不是来自课堂，也不是来自阅读书籍，而是来自同学之间频密深入的相互讨论。数学史上也有很多著名的合作者，诸如Hardy与Littlewood， Atiyah与Singer、Hirzebruch，Cayley与Sylvester等。

与此同时，独立思考在科学研究的复杂过程中也是高度重要的，因为科学探究最本质的特征即是创新，这就注定了我们必须要有经由独立思考得出来的全新观念。可能我们每天都需要阅读大量的文献，也需要同很多人不断地进行思想交流，但是，所有这些都只能通过我们自己的方式去消化、吸收，整理出自己内在的思想体系，一些冗长、乏味的证明也需要我们用自己的方式去创造性的领悟，只有这样才能使我们的思想真正进步、成熟。况且，如果缺乏全面、深厚的功底，只是与其他人进行交流也很难交流出深层次的实质内容。进一步来说，自己独立思考、做研究与被动的读书、读文献是两种性质很不相同的脑力活动，前者的要求要高出很多。我的个人看法是，在学习基础课程的过程中，我们即需要积累大量自身的独特观点；否则，自己开始独立研究的时候就会人云亦云，缺乏自身的独立判断。巴菲特说过：“任何一次成功的投资本质上都是独立思考的结果，在投资中一个人必须独立思考，在其他人的谈话中，你得不到任何有价值的思想，那么多高智商的人所以没有赚到大钱就是因为他们只知道模仿”，学习自然也是类似的。治学关键是要有自得，正如Whitney所说：“古今皆知，仅在你有自己的想法时才有真正的学习”[] 。概言之，我们必须建立对数学独道、深刻的丰富理解，需要形成自己独特的研究风格、观念、方式、步调、节奏与品位，否则，便难以在数学研究中登峰造极。即使身处通信技术发达的现代社会，数学研究本质上仍然是一种个人行为，我们必须自出机杼地得到一些本质性、关键性的思想突破，很需要有一些自己安静独处、苦思冥想的宝贵时间[] 。

（三）宏观框架、思想实质与知识细节。数学的众多精华、真正的生命力往往在于技术细节，学习数学的过程是一个不断地实际操作的复杂过程，只是看课本则是远远不够的，大量的计算与证明过程中都包含了许多令人回味无穷的具体细节，繁复的计算中大多蕴含了很多诀窍，这些只有自己亲自算才能有深刻的体验；同时，这些细节信息可能也是一些问题的精华；因而，学数学需要手很勤快，要随时随地不断地计算。对数学知识掌握程度的一个重要检验标准是：当我们丢开课本以后，能不能把它们熟练自如地写下来；很多数学计算貌似简单，但是，其实我们自己并没有真正掌握、理解它们，某些颇有天资的学生可能很迅速地吸收了很多新技术，然而这些知识都似是而非，让他们在纸上清楚地写出来，他们其实无法做到，这种浅尝辄止的学习方式造成的最终恶果自然是读不下去。（这一思想来源于萧荫堂）“看似寻常最奇崛”，很多情势下，一些表面平淡无奇的细节实则蕴涵了深刻的思想与灵活的技巧，它们并不像表面看来的那么直接简单，里面实则涵有深入、复杂的内容，对这些技术细节的深刻领悟往往取决于我们的实际计算经验。伴随着重要细节的不断积累，我们对于某一门课程的整体认识会逐渐清晰、深化。概括言之，数学中有两类重要的知识，一种具有很显然的重要性，诸如抽象代数中的理想、素理想，数学分析中的傅里叶积分以及泛函分析中的Hahn-Banach延拓定理等内容，我们第一次接触到这些知识，即意识到它们的用途极为广泛，即知道必须牢固地掌握它们；一种则是隐性的一些枝节问题，它们中蕴涵的思想、方法与技巧可能会在我们日后证明一些重要问题的过程中发挥本质性的作用，或者其中潜藏着一些宝贵的新思路与新方法的萌芽；许多情形下，正是我们无意识中积累起来的大量细节知识最后被证明是分外重要的；由于我们在解决未知问题时用到的工具、思想很难事先预料，因而，我们必须积累无数鸡零狗碎的细节知识，需要对众多枝节问题加以精心推敲，进而仔细掌握，这样才能为日后的重大突破做好充分坚实的准备。每门数学课程都具有一个基本的特征：主要思想、理论框架可能是比较清楚、简单的，但却包涵极多的细节知识，这是造成数学知识（其实是所有的理工科知识）难以掌握的一个重要原因。数学是一门非常精细的学问，每门课程中都包含了成千上万的细致信息；因而，对于每门课程，只有当我们透彻理解了其中的所有细节之后，才能够真正地掌握它。[]

    但是，数学又并不只是这些技术细节的简单叠加，它背后无疑蕴涵着清晰、深刻的思想实质；以复变函数来说，它处理的中心主题主要是畸形积分的求解、双全纯映射、全纯函数的良好性质、黎曼映射定理等四五个核心知识点；而泛函分析的研究对象是函数的函数，在其中引入了一系列的崭新思想，譬如，广义函数理论构成了现代偏微分方程的思想基础，压缩映照原理、里斯表示定理等在偏微分方程中具有重大意义，与此同时，希尔伯特空间里的逼近论也有着广泛的应用；代数拓扑则是通过同伦群、同调群等代数工具反映出几何现象的一些定性的本质信息。一方面，学习需要吸收成千上万的技术细节，但它们自然不是最终目的，学习的终极目标是为了领悟其中的思想实质，就像在吃龙虾的过程中，去掉龙虾外面的硬壳是为了品尝到里面鲜嫩可口的美味。与此同时，对于创造性发明来说，见林比见树更为关键，完整的知识体系是创新最为重要的基础；因而，我们需要形成大量的宏观观点，对每门课程我们都需要从整体上进行把握而不能陷入复杂琐碎的枝节问题无法自拔。[] 容易明白的是，任何数学知识都不是孤立存在的，我们可以举一个简单的例子，关于傅里叶级数的相关内容，如果我们只是知道傅里叶级数的计算，而不知道最佳平方逼近性质、逐项积分、Bessel不等式以及傅里叶级数的两个收敛判别法等相关知识，那么我们对傅里叶级数的特定认识就是肤浅而单薄的；因而，在所有情况下，我们都需要思考数学知识的来龙去脉、前因后果，把握住它们的内在思想脉络；每门数学课程的整体性都较强，中间任何一个环节的缺失都有可能导致理解上的严重缺陷，这一点我们需要切记。显然，具体知识与思维方式之间也是互相强化的，学习的最终目的也是掌握每门课程中大量的思维方式。总之，数学家的心灵一方面需要宏大，一方面需要细腻，是二者的有机融合。整体框架、思想实质与技术细节两者都是很重要的，而且较为明显的是，它们也相互促进——技术细节的积累需要明确思想的引导，而思想实质、宏观观点也离不开成千上万的细节经验基础。概言之，数学学习始终需要点面结合。

（四）少而精与开阔的视野。现代数学的宏大精深远远超出一般人的想象，它的范围十分广阔深刻，浩瀚壮美；同时，科学前沿也非常活跃，注意力的焦点也在不断地迅速变换着；因而，遵循“少而精”这一基本原则即显得尤为重要。无论任何知识都需要反复重复，直到它们在我们的经验世界里真正扎根，直到它们的思想实质以清晰透彻的形式被我们完全掌握，直到它们进入我们的无意识层面、内化成为我们的思想本能。自古练兵贵精不贵多，年轻人不需要一下子学习太多的知识，先掌握几门看家本领是很必要和有益的，要学一样，精一样，十鸟在林不如一鸟在手，如果能够将几门核心课程真正掌握深透，会使我们受益终生。相应地，在自己思想干涸之前不宜阅读新的材料，否则，如果吸收了很多没有经过自己的头脑消化的知识，接触到大量驳杂芜乱的信息，这些信息尚未来得及仔细消化便急切地研习新知识，自己的思想就会越前进越糊涂，常常导致较为严重的后果。的确，为了要做优秀的研究，我们的知识结构需要很宽广，但广度必须以精度作为坚实的基础；如我们所熟知，要浮泛地掌握一门课程并不是很困难，但是要真正学精学深，使得该课程能够有机地融入自己的整体思想体系，将它彻底掌握（以能够自主解决这门课程的绝大部分习题为基本的标志），难度则会有较大的增加。我的个人观点是，数学学习需要掌握精确、透彻的知识，所有知识只有到了清澈明了、驾轻就熟、举重若轻、深入浅出的程度才可以认为掌握得较为到位；任何时候知识的吸收都不可能太快，都需要脚踏实地；总之，少而精是我们自我发展的强大基石。学习需要少而精，研究也需要少而精，发表文章、编写教材等最好都以少而精为基本准则；尽管研究需要宽阔的视野，但还是应该以少而精为基础。知识的精炼、纯化往往需要经历一个漫长的过程，况且我们每个人的精力又较为有限，因而，更应该自觉地限制自己的注意力。[]

    但是，与此同时，为了做出高质量的研究工作，一个人在数学上的涉猎也必须非常广博，开阔的视野也是做高品质的数学研究所必不可缺的基本前提。广阔的知识结构至少有两个方面的基本意义：（1）一个人的数学视野越开阔，对相关结论的意义就会认识更加深刻，如果知识结构过于专狭，即很难做出真正重要的原创性贡献。（2）在数学的范围极其广大的21世纪，很多研究都是来自于不同学科之间的交叉，在科学研究史上，新思想常常是在边沿地带生长起来的，而不是在中心区域[] （在数学发展史中，这一规律的很好例子是多复变理论受到微分几何等学科的强烈影响）；因而，一个人的数学视野越宽广，那么，他的不同知识储备之间不断地互相杂交而产生新思想的可能性就越大。因而，尽管我们需要坚持少而精的基本原则，但是，如果某一部分的数学知识已经被我们真正掌握，则不宜继续在上面投入时间；否则，会导致精力的虚耗与浪费；此时，我们应该多阅读些其他书籍或与其他人进行思想交流，扩大视野。总之，做优质的研究往往取决于深度与广度的有机结合。

（五）反复重复、熟练。一句广为人知的谚语曾说道：重复是学习之母。我们都有类似的一种基本体会：一门学问只有反复了许多遍，其中的知识才被我们真正理解和掌握；任何一门知识都是每多重复一遍，都会有新的发现与新的体会；只有重复足够多的遍数，混乱的知识才能够逐渐展现出清晰、透彻的整体轮廓，就像在一个雾气弥漫的区域逐渐辨识出了一条清楚的道路。每门数学课程的内容都是很丰富的，都涵盖了众多的思想主题，都包含了成千上万的方法、技巧、思想与题型等，因而，都是众多概念与观念组成的重奏；很多情况下，当我们第一遍学习一些新知识的时候，会感觉像是在新思想组成的茂密丛林里艰难前行，痛苦不堪；但多读几遍之后即会越学越轻松，并且逐渐感受到其中丰富的内在乐趣，而且也会越学越快。对一些具体的知识要点、问题来说，也只有反复若干次以后才能被我们真正理解，这是大家共有的简单体验。任何东西都是孰能生巧，只有多加重复，反复运用，对其中的奥秘、诀窍有了体会，才能够熟练；理解和熟练是很不同的，知识只是到了理解层面则不会有太大意义，只有熟练了才能够精，才能够灵活运用，才能够发展创新。如果一个人对某部分知识的掌握只是到了理解的程度，而没有达到高度熟练的境界，那么在具体的问题中他就很难灵活地运用这些学到的知识、工具。巴菲特常常提及的一句话是生意不熟不做，数学亦是很类似的：Hilbert说过，即使最简单的概念知识，也要重复很多遍；Von Neumann说道：“我们都不是理解数学，我们只是适应了它”；崔琦也说过：实验物理需要一遍遍地反复看论文。总之，学习是一个不断渗透的过程，书读百遍，其义自现；多看几遍特定的内容，深入的思想就会自然地浮现出来。很多情况下，我们所以无法解决题目，所以对知识体系的梳理不够条理、透彻与深刻，最主要的原因即在于重复的遍数不够。对于我个人来说，要学好一门课程我可能需要重复四五十遍（当然，伴随着思维能力的迅速提升，需要重复的遍数也在相应地大幅度下降）；而且重复的遍数越多，得到的越是精华；进一步而言，不仅阅读教材需要大量重复，做题也需要不断重复。丘成桐曾说过，学习数学有四种境界：不懂，懂，真懂，真真懂，而如果想达到真真懂的境界，需要的恐怕就不止是一般的熟练，而是应当特别熟练、极其熟练。学习每门课程的最后境界是融会贯通，各种思想、方法与技巧都熟练以后即能达到这种美妙的总体境界，这门课程就会成为我们自身能量的一部分。[11] 很多理工科工作者都有相似的一种普遍感受，随着重复遍数的增加，才发现原来自己并没有真正掌握很多最简单的知识细节，并且也遗漏了许多重要的思想，同时，课程体系的整体脉络也逐渐浮现。总之，只有重复足够的遍数，才能够进入一门学科的思想深层；只有进入思想深层，才能够把握一个领域的精神实质；只有把握了一门课程的精神实质，才能够在各种场合中对相关知识加以很灵活的运用。概括地说，反复重复至少具有以下五个方面的基本价值：1捕捉到更多细节，许多重要的思想、技术枝节不断涌现；2对问题的认识更加深刻；3对章节、问题的整体框架认识更加清楚、更加稳定，各种思想逐渐融合成为一个兼具深度与广度的有机体系；4对思想、概念、方法与技巧的掌握更加熟练；5在解决与这门课程相关的很多具体问题中的创造力也在不断提升。简言之，在细节、深度、整体框架、熟练度和创造力这五个学习的核心方面，反复重复都有很大的意义。值得指出的是，熟练也是解题时产生直觉的必要基础，只有对一门课程的所有重要方面都很熟练了，只有对一个问题相关的知识（这些知识通常是大量的、整块的）有了足够透彻的理解，才能在解决未知问题的时候产生正确的直觉。

（六）整体思维境界的升华与细节积累。

但是，正如上文所说，细节积累仍然是必不可少的，它是思维境界不断升华的知识基础；至少对于我自己来说，我从对细节的精雕细琢中体会到的丰富乐趣，要比宏观整体思考得到的乐趣更大。数学学习的主要途径是一点一滴的长期积累，因而只能脚踏实地，正如怀特海的精辟论断：“企图通过一种虚幻的方法做出高明的概括，学习上绝无此种捷径。”[12]

当然，整体境界与细节积累之间也是互相促进、互相增强的——思维境界的升华能够使得我们吸收具体的思想、方法与技巧变得更为轻松、自如，而细节知识的持续积累则能够加快我们整体境界不断升华的速度。做学问正是如此，“问渠哪得清如许，唯有源头活水来”，只有每天不断提升到新的高度，同时不断吸收新鲜多样的大量信息，才能始终保持思维的丰富活力。

（七）打牢基础与接近前沿。本科、研究生的基础课程对于我们以后的研究具有深厚的启发性，因为，这些基础课程中的知识都是千锤百炼的结晶，它们能够帮助我们逐渐产生一种深刻的鉴赏力，哪些思想、方法、技巧与概念能够经历时间的淘洗而成为主流数学，这是一种最佳的判断力的训练。同时，基础知识中包含了很多对数学本源性的理解，包含了现代数学中最为核心和本质的基本思想，所以基础知识、基础技能与基础理论都很重要，没有能忽略的内容。基础课程中包含了一门学科中最原始的思想、问题，这一基本作用是前沿论文所无法替代的。就像在足球运动里，最重要的始终是停球、控球与传球等基本功；巴塞罗那、西班牙等球队的进攻之所以行云流水，原因自然在于它们队员坚实的基本功。大家都在讲需要提高整体能力，综合能力的提高当然是很多渠道共同作用的结果，其中，打好基础可能是必不可少的中间一环；具体知识的积累与整体能力的提高是同步的过程，高层次的能力是在坚实基本功的基础上自然生长、发育的整体结果；基本功越坚实，后续课程掌握起来即会越发轻松、顺畅。缺乏扎实的基本功，日后即不太可能做出有意义的创新；反过来，任何领域都是先模仿、再创造，基本功打扎实了，推导过程高度熟练了，基础课程中的一切精华都吸收了，创新即是较为自然、水到渠成的结果。泛函分析、表示论大师Gelfand说过：“每当我进入一个新领域的时候，我进入的其实都是旧领域。”这自然是功底极其坚实、深厚的整体效应，做任何事情都已然触类旁通。如所周知，数学分析奠定了整个分析学的研究主题、风格、理论框架和问题意识，从数学分析对复变函数、实变函数、偏微分方程、微分几何、泛函分析与计算数学等课程无孔不入、极其强烈的直接渗透、影响中，我们可以感受到基本功的高度重要性；类似地，代数拓扑、黎曼几何、现代偏微分方程等基础课程，也必定会对我们未来的研究产生全方位的深远影响。另外，当我们读书的时候，应该去反复思考概念、思想、方法与技巧的引入过程；我们显然无需等到科研开始的时候才能对研究规律、经验进行思考、提炼与积累，本科、研究生基础课的学习过程本身即能让我们对数学中新思想、新方法、新技巧与新概念的建立过程有比较直接而深刻的体会；这一要点是值得特别强调的，即我们打好基本功的过程也应当是创造性掌握的一种过程，而不应仅仅是简单、机械的模仿。另外，如所周知，数学研究中的主要方法是类比；举例来说，偏微分方程的一般理论即是把本科时调和方程、波动方程、热方程中的均值定理、最大值原理、系数介值性与Harnack不等式等基本性质推广到高维的一般椭圆、抛物、双曲方程，而调和方程的很多性质也源于与全纯函数的类比。作为数学中最常用的一种基本思想，类比只能建立在坚实的整体功底基础之上；因此，可以说，基本功是创新的基础，是创新最重要的保障。Hilbert 拥有一种能够将两个距离遥远的领域联系起来的神奇能力，这自然来源于他广博精深的知识功底。数学中可能有很多新潮、时髦的前沿理论，但是，最终数学的真正进步主要还是来自于原始问题；杨振宁曾总结了两条成功的治学经验，其中一条即是要面向原始的物理问题（另外一条是广泛的应用数学，不回避复杂的数学运算）。[13] 至于哪些问题是原始的数学问题，基础课程中蕴涵的知识应当是一个较为良好的向导。

    当然，数学要向前看，打下坚实的知识基础本身肯定不是最终目的，终极目标还是为了日后更好的创新；因而，我们需要随时思考新的研究方向[14] ；譬如，1940年代，Weyl预见到代数几何在不久的将来会有极大发展，后来的数学发展进程也证实了他的深刻预见。[15] 另外，Weinberg 在《给科学家的四条黄金忠告》这篇短文里写道，一位工作者并没有必要在学完全部所需的知识以后再开始研究，这自然是一条很合理的经验之谈；很多情况下，研究某个具体的问题需要的相关知识其实并不多，边做边学可能要比纯粹打基础的学习方式效率更高。创新无疑是科研的本质特征，就像艺术一样，我想没有真正的艺术家只想欣赏其他人的作品而不想创作出属于自己的精美的艺术品，数学自然也是较为类似的，只有新思想、新观点、新方法与新技巧才能真正打动我们的心灵。基础深厚只是第一步，只有进入前沿领域、从事创造性的研究活动，才能真正振奋人心。总结来说，高质量的研究一定是坚实的基础与强烈的创新意识这两个基本方面的完美融合。

（九）功底、直觉与偶然性、灵感。整体功底、直觉在数学中的作用是容易明白的，我们掌握的所有知识、思想、方法、意识、直觉与经验等基本要素融为一体构成了我们的总体功底。大多数情况下，我们解题时靠的正是在整体功底的基础上涌现出的清晰直觉。直觉在数学中的重要性是无可替代的，不仅解题需要直觉，开创崭新的领域，提炼崭新的概念最需要的也是直觉，Klein即说过：“应力求一个数学主题变成直观上显然，才可以透彻研究”。关于整体功底的基本价值，Grothendieck曾有一个精彩而恰当的说明；他将某些正面强攻的数学研究比喻为拿着锤子和凿子去敲核桃，而他则宁愿将核桃放在水里将核泡软，或者将它放在阳光和雨水中，等待核桃自然爆裂的恰当时机；他认为：只有当我们的整体功底深厚到看出一个问题是显然成立的时候，我们才真正理解了这些问题，一个问题的证明必须可以分解成为一系列细小而自然的步骤，问题的答案涌现出来的时候应该是完全直接的。大数学家与我们的差别本质上即是整体功底的差别，他们懂得更广，更深，因为具有极其深厚、宽广坚实的基本功底，自然能够做出重大的贡献。总之，每个人最终的数学贡献其实是自身数学功底的自然体现，做好的理工科研究并没有多少秘密可言；进一步而言，一个人对数学的整体理解，其在数学上的整体视野，都会在他研究的每一个特定问题上自然地体现出来。

另外，我想强调一条自己很钟爱的基本思想——数学是一个发育的整体，分析、代数、几何、拓扑与计算数学等之间的相互联系都很紧密，它们并不是互相割裂、支离破碎的知识门类；相反地，它们的方法、技巧、思想与概念都有着强烈的相互启发性。主流数学一直以来都是解方程、函数等相关问题，抽象代数、代数拓扑等现代学科的产生是数学“对于问题的日趋困难与复杂所做出的自然反应”[17] 。每门数学课程都是一个有机的整体，其中的大量思想、方法、概念与技巧交织成了一幅美丽的整体图画，而所有的数学课程融为一体组合成了一个更为宏大的有机体系，其中的相互交叉、渗透是无处不在的；因此，我们的数学研究需要以整体数学作为思想背景，我们的整体功底也需要覆盖数学的各个分支。对此，Alain Connes曾论述道：“数学的主体犹如一个完整的生命体，只有在结为一体的情况下才能生存，如果被分割成若干不相连的部分则就会消亡。”[18]

但是，与此同时，我们也不能忽略灵感在数学创造过程中的巨大重要性。我们都较为了解，在研究的复杂过程中，一些最好的想法往往不可规划、不可预料，它们来自于一些思想上幸运的突变；在一些时刻，一些崭新的思想、观念会突然闪现在脑海中，使我们对某些题目、理论的理解发生本质性的突变。Poincare、Atiyah、杨振宁、Heisenberg、Hayek等都提到过偶然性的重要意义。[19] 我们共有的一种简单经验是，一些好的idea可能在公交车上、在Walmart超市购物的过程中、在去九寨沟、杭州、芝加哥旅行的途中忽然出现，这是做研究最大的乐趣之一；进一步来说，数学学习、研究的很大一部分乐趣即来自于长时间绞尽脑汁、苦思冥想以后灵感忽然爆发时心理上的愉快感。因而，每天，我们都需要敏锐地捕捉突然而至的各种灵感；简言之，数学研究需要跳跃性思维。

需要指出的是，没有深厚的总体功底，也很难有出色的idea，好的idea必然来源于对数学整体的深刻理解。数学研究的过程，从某种程度上说，即是在深厚功底的基础上追逐有意义的、重要的灵感的思想旅程。

（十）人文修养。我读到过的所有伟大的数学家，他们的文笔都非常生动优美，诸如Weyl、Weil、Atiyah、E Cartan、Poincare、Grothendieck、Gauss、Cayley、Serre等[20] ，这并不是偶然的；因为，理科与工科有着显著的差异，理科追求的是理论体系，是思想的优美、深刻与简洁，而不仅仅是实用，因而，就需要相当程度的艺术修养；同时，许多微妙、高级的思维能力也需要建筑在高雅的文化修养的基础上才能产生，如同幼芽长在绿枝上一样（歌德语）。譬如，Dyson曾经写道：“Weyl最核心的性格特点是一种审美感，这主导了他对一切事物的观点”[21] ，“杨振宁对数学美的品味照耀了他的一切作品”。概括地说，深厚的人文修养能够渗透到我们学习、生活的一切方面。在推理的过程中对数学内在美感的体会是一种很真实的力量，它能够强有力地指引我们走向正确的思想道路。数学在相当程度上是一门艺术，虽然是一门高度复杂的艺术，我们的学习过程也是在接受一种高雅艺术的精神熏陶。现代数学有一幅宽阔美丽的总体图景，从局部到整体，从微观层面、中观层面到宏观层面都非常精美，闪耀着高度的美感，它兼具优美与壮美两重气质；其中大量的细节刻画精致，令人流连忘返；而整体框架则恢宏壮阔，令人叹为观止。举例来说，复变函数中的Cauchy 积分公式即较为优美简洁，它也是整个复变函数理论的一块基石，全纯函数的幂级数展开、导数介值性、均值定理与留数定理等基本性质都可以从它简捷地推出；偏微分方程的Lax-Milgram 定理也是一个很好的例子，它的形式很简单，但是却能够解决一大类椭圆形偏微分方程弱解的存在唯一性问题；微分几何中的Gauss-Bonnet定理也较为类似，它涵盖了如此众多的特殊情形，而定理却又高度simple，不能不给人留下强烈而恒久的印象。这些定理都清晰透彻、优雅深刻，令人心荡神驰，难以忘怀。Maxwell说过：“Fourier 分析是一首数学的优美的诗篇”，诸如Galois理论基本定理、Gauss绝妙定理等极端重要的定理都有一种令人永难忘怀的动人的美感；很多情况下，数学中那惊心动魄的美、思想的巨大光辉都使我深受触动。对我个人来说，对美的追求，对数学中优雅宏远意境的追寻，是我研究数学的主要思想动机之一。正像数学中的技巧无处不在一样，数学中的美也是无处不在的，平时的学习中我们也有很多类似的心理经验，一个丑陋、呆板、复杂的证明与一个优雅、灵活、简洁的证明之间的强烈对比，足以使我们体会到数学里深刻思想的威力，以及数学中那难以言传、销魂荡魄的丰富美感。一个简单的基本事实是，我国学生的文化修养是有所不足的，这也是我们的一大内在缺陷；因而，我们需要强化这一基本方面的训练和熏陶，希望对数学美感的直觉欣赏和不懈追求能够照亮我们未来的研究道路。[22]

(十一)回忆学习。大家都有一种基本体会，一部分知识当我们第一次读到的时候，其实并没有被我们真正吸收；只有在丢下课本，在我们的头脑中重新过一遍，自然地融入我们有机的思想体系以后，它们才能被我们逐渐掌握。对于每门课程来说，知识和材料本身是一方面，对它们的反思、整理则是更为重要的另一基本的方面。我的个人经验是，很多定理的证明细节只有在离开课本，在我的头脑中重复一遍的时候，它们才能被我真正领悟。与此同时，回忆学习也是检验我们有没有理解到位的一个很好的方式：考试来临之际，我们抛开课本，回忆一下众多细节问题，看看它们究竟有没有被自己彻底掌握了，能不能熟练地回忆起来，这是一个很好的检验方式，它能够帮助我们更加明确地定位自己的薄弱环节，对于这一条学习经验，我受益匪浅。因而，每天我都会强迫自己留下一定的空余时间，去回忆一下实变函数、偏微分方程、泛函分析与抽象代数等全部所学课程的整个理论框架、重要细节，所以，我对这些学科从未遗忘过，而是对它们的整体领悟一直在不断深化，历久弥新。另外，在每学了一个小时的时间以后，我总是停下来，进行一定的总结，梳理其中相关知识的整体脉络与技术关键，有时也到外面去散散步，这个过程中也总会有一些好的idea不断产生（尼采说过，只有在散步的过程中产生的思想才是有价值的）；我不太喜欢一天到晚闷在自修室里不停地学习，适当的中断、反思，可能更提高了工作效率。同时，漫步在欣欣向荣的春天的林荫道上，本身也放松了身心，舒缓了各方面的压力，在开阔的环境中人的思想也容易变得宽广明朗，有一举多得的基本价值。总之，我们做数学的需要一定的室外活动。

（十二）学习与生活。作为一个成年人，学习与生活是我们思想体系中的两个主轴。生活在当代中国这个经济状况不甚理想的时代，我们每个人身上的生活压力都比较大；如何在艰辛的生活中突出重围，获得较好的经济基础，这是一个很困难的基本问题；同时，中国人在复杂的人际关系上也耗费了太多的宝贵时间、精力，学习需要一种平静的心态，需要摆脱各种杂乱信息的侵扰，当代中国生活上的艰难确实加大了集中精力学习、研究的整体难度。集中精力研究自然是较为重要的，但我们的学习、研究过程也会受到诸如搬家、世界杯（我至今记忆犹新的一个场景是：2010年6月底，我们在进行大学夏季学期的期末考试，与此同时，也在进行着激动人心的世界杯的比赛，很多学生在二者之间有些难以取舍）以及欧洲冠军杯、浏览Facebook、人人网等社交网站、同学聚餐、观看《新三国演义》等连续剧、到美国中西部或者云南旅游（比如，在繁忙紧张的学习中间，2008年4月时，我所在的班级曾经到杭州的一个景点旅游）等纷纭复杂的日常生活事件的不断干扰，这些事件也并非只是对学习有负面影响；因为，我们也需要不断地吸收很多必要的基本生活经验。保持学习与生活的有机平衡并不容易，这是一个比较微妙的问题，需要很高的智慧。比较可能的是，每天我们在这两大基本方面上都发现自己有大量不懂的地方，有很多需要吸收、消化、整合的新信息与新思想。显然，生活上的成熟是内在心智成熟的一个有机组成部分。只有处理好每天生活中发生的各种事件，将生活梳理得井井有条，不遗留下没有解决的生活中的繁琐问题，才能为全身心地投入到学习、研究过程中打下坚实、良好的整体基础。当然，学习和生活经验的积累也并非是水火不容的，在众多情形下，二者其实完全可以相互启发、相互促进，它们是我们的思想体系中水乳交融的两大基本的组成部分；大部分情况下，我们关于学习和生活经验的思考在我们的头脑中是混合在一起的，这种混合状态能够增加我们思想的丰富多彩性，使我们的思考效率得到进一步的增强。

进一步而言，如果我们将视野放宽，数学其实是整个人类的科学文化乃至整个人类社会的一个有机组成部分，我们不能搞一些太脱离实际的纯理论，这样没有意义的纯理论最终都会被修剪掉；几十年前，Weyl和Von Neumann等就担心数学成为一门只追求美感的、脱离经验背景的纯理论，这种忧虑在今天仍然具有较高的价值；数学工作者容易脱离社会，闭门造车，这个基本问题应该引起我们的重视和反思。[23]

生活在今天的中国可能是较为艰辛的，所以无论学习也好，生活也好，都需要较高的智慧，都需要分秒必争；只有自立自强，才能够在剧烈竞争的市场经济中站稳脚跟。现代社会往往较为混乱，所以更加需要明确思想的整体引导，每天，我们都需要竭尽全力开阔自身的思想视野，又需要注意少而精，形成稳定的思想内核；简言之，需要广度与精度的有机结合。我们每天都会卷入生活中的一些事件，在其中也能不断地积累许多宝贵的人生经验；同时，每天在学习上也能接触到众多的崭新思想，这两个基本过程是交织在一起的。最重要的是应当永远不要停止工作和思考。

(十三) 困难、深度与容易、简单。如所熟知，数学上学习具体课程可能不算困难，但是，要独立研究、取得创造性的突破就较为艰难了；即使对大师来说，如Langlands、Milnor等,他们也都说过做数学很难[24]。数学上的主要突破可以区分为两类。一类是困难的，譬如，微分几何中的Gauss 绝妙定理的发现过程即经过了大量复杂繁琐的计算,抽象代数中Galois理论基本定理中反映出的中间域与自同构群之间的深刻、和谐关联,代数拓扑的创立,以及实变函数中测度论的建立等，这些重大发现确实需要巨大的洞察力与坚实的基本功。但是，另外一些领域里划时代的突破则只是来自于很简单的观察和想法：譬如，留数定理能够解决广泛的问题，但它的基本思想并不复杂，可以说非常简单；偏微分方程中的分离变量法的idea 也较为简单；希尔伯特空间只是将高等代数中内积空间理论直接移植过来的结果，简单而有趣，Fredholm 交错原理也很直观；在纯理论、应用学科里影响极广的Fourier变换的基本思想更是显而易见的，所有这些里程碑式的突破在技术上都不太困难，关键是走出那决定性的的思想上的一步。因而，数学知识也并不是越困难才越重要，很多时候最基本的东西反而最重要；譬如，抽象代数中的同态、置换群、正规子群、群作用等就极端重要，因为，它们的影响面最大，在其他领域中使用的最多[25] 。事实上，数学中一些惊天动地的基本成就，如黎曼几何的创立等，原始思想都非常自然，朴实无华。概言之，我们不需要把数学想象的那么高深莫测、极其困难，一直以来，我们都把数学研究想象的过于困难了，要做高质量的数学研究当然很困难，但也并非就是那么遥不可及；上面列举的几个经典例子已经充分证明，数学研究并没有我们想象中的那么难乎其难；数学其实是一门很平实的学问，并不是很多人错误认为的那样高深莫测。爱因斯坦说过：“如果你不能用极其简单的方式向大街上的普通人解释清楚一个问题，那就说明，你还没有真正理解它”，JP Serre 也表达过类似的看法，即：常常是一些极其简单的思想打开了局面[26] ；总之，数学研究的这一重大基本特征值得我们的充分重视。我们的学习过程也是类似的，只有我们将一门课程学到十分显然、十分清晰、十分简单的总体境界，才表明真正学懂了这门课程。另外，困难与容易并非是固定不变的，而是往往处在相互转化的过程中，很多题目初看起来较为困难，但是被我们真正掌握以后，又会感觉它们很平实、自然和亲切。

与此同时，正如在段首所指出的，数学研究的进展无时无刻离不开有深度的新思想，很多情况下复杂、困难、有深度的思想才真正新颖而富于启发性，譬如，微分几何中的Gauss-Bonnet公式、测地线的Liouville公式等即需要繁复的计算和强韧的想象力。对此，怀特海曾说过富于教育经验的一句话：“我们必须提防在选择上避难就易的错误”，“这肯定会以失败告终，而失败的原因正说明教育艺术难乎其难。”[27] 总结而言，数学研究始终是深度与简单的辩证统一。

（十四）如何解题？这自然是数学学习、研究中的一个核心问题，解题与学习知识、理解课本很不相同，后者需要的只是被动地理解特定内容，而解题则需要创造性地发现思路，它的要求要高出不少；很多情况下，我们可能自以为自己阅读教材已经很透彻，但是做题的时候却发现无法解出相应的问题，这自然说明我们掌握的并不到位；显然，在自以为学懂一门课程和能够解决其中的习题之间，间隔着较长的距离。一般来说，很多思想、技巧与概念只有通过做题才能真正焕发出强大的生命力，我们也只有通过做题才能体会到它们真正精妙和灵活的地方。我以前听不少人说过解题不重要，理解更为重要，这种想法当然较为荒谬，不会做题自然是对课程的具体知识与深层思想理解不够深刻的直接标志；因而，我们不仅要做题，而且要做比较多的题，同时还需要做一定量的难题，只有做的题目多了，积累起大量的相关经验，遇到崭新的问题的时候才能够适时地涌现出正确的直觉和技巧；同时，只有对一门课程接受充分而严格的基本训练，在实际问题中使用它们时才能够感觉到熟悉和亲切。只有在做题的时候能够灵活运用某些概念、技巧与思想，在实际问题中深刻地运用它们，有了这样一重心理上的丰富体验之后，这些知识才会真正成为我们整体思想体系的一个有机组成部分。我们所以无法解答题目，原因自然较为复杂，概括地说，至少有三个方面的原因：其一，某个知识点我们根本就不知道，它完全不在我们的视域之内；其二，相应的知识点虽然我们知道，但熟练程度不够，理解的也不够深刻；其三，某道题目需要多个知识点的综合、交叉运用，我们意识不到这些知识点杂交而产生的整体解题思路。从深层次来讲，上述三种不同类型的不会解题的原因的根源都在于对课程的整体理解不够深刻。数学学习的成熟阶段的一个表征是执行力，是能不能灵活运用学到的具体知识，解题当然是执行力的基本体现，这只有在对相应的知识点有了整体把握、高度熟练、理解深刻的较高境界下才能达到。做题自然要比单纯阅览教材痛苦很多，但是，也正是通过解题中绞尽脑汁、痛苦思索的挣扎摸索过程，才让我们的内在能力产生实质性的提高；如果我们只是看课本，那么无论我们重复多少遍，这些知识都很难成为我们自己的；只有在做题的过程中，灵活地运用它们之后，这些知识才能够真正内化为我们自身思想本能的一部分。（数学学习在这里的特征和计算机编程是类似的，我们都比较了解，如果缺乏大量的实际上机编程经验，而只是看书，那么无论看多少遍，一个人也不太可能有较佳的编程能力）

创造性地解决问题的基本路径至少有以下几条：一，类比，通过对定理证明过程、具体例子的类比，我们能够解决很多问题；二，借助深厚的功底，敏锐的观察，丰富的想象，明确的直觉，进而解决某些问题；三，灵感，很多情况下，问题的关键性突破来自一些突然而至的灵感；四，与其他人交流碰撞出的思想火花。当然，以上四种情况并非相互独立，实际情况中的解题过程常常是多种方法的混合。值得强调的是，对每一门数学课程来说，会做题仅仅是必需的第一步，但这是远远不够的，能不能创造性地把握它们、使之成为自身思想体系的一个有机组成部分则重要得多。

（十五）一般与具体。在数学里，最好的理论一定是抽象与具体的有机、完美融合。譬如，希尔伯特空间虽然较为抽象，但是，它最重要的应用实例始终是Fourier series；抽象代数的整体理论也始终没有脱离有理数域Q、整数环Z、矩阵环以及多项式理论等丰富的具体例子；这些学科里，抽象观念与具体实例浑然一体、高度统一。抽象、推广当然是数学的一大生命力所在，但我们抽象、推广得到的理论必须能够解决很多的实际问题，必须有大量明确的实例，否则，就不太可能是好的理论。譬如，抽象代数如果只有群、环、模、域这些空洞的一般概念，没有置换群、可解群、PID、素理想、自由模、射影模等这些具体生动的丰富特例，即不太可能有旺盛长远的生命力。另外一个简单的例子是点集拓扑与代数拓扑的基本差别，如所周知，点集拓扑来自对数学分析的抽象，对连通性、紧性、连续性与分离性等基本分析性质作了一般的讨论，但这个过程并没有引入多么深刻的思想；反观代数拓扑，它使用的是代数手段研究大范围的几何性质，无论同伦论还是同调论，都运用了全新的思想，因而，它的威力要比点集拓扑大得多。数学分析中的Stokes公式也是一个较佳的例子，如果我们只有用外微分表示的Stokes公式，没有联系曲线、曲面积分的Green公式、Gauss公式与Stokes公式，那么该部分理论也不会具有很大的影响力。总之，众多情形下如果只是进行一般的抽象，则意义不会很显著，关键是要在这个过程中引入崭新的思想。平时我们的学习过程也是抽象理论与具体知识的有机融合，课本上的一般理论是抽象的部分，而课后的习题则是抽象知识的具体化，正是这些大量的习题才使得整门课程成为了有血有肉的一个有机整体（自然而然地，课程中的一般、抽象理论应用在习题中的具体问题时，往往需要具体、特定的技巧）。

显然，抽象推广与具体特例对数学研究来说都是极为重要的；Atiyah 和Whitney都一再强调过，在抽象理论中，我们需要对其中某些具体特例非常熟悉，反复玩味，通过这些有代表性的特例我们才能形成对理论更完善的整体认识[28] 。在数学（其实是所有的自然科学）中，理论的抽象总是需要建筑在大量唯象理论的基础之上，比如隐函数定理、Fourier分析、李群等知识之所以很重要，是因为这些基本现象在自然界中普遍存在；因而，没有坚实经验基础的抽象、推广不太可能有很大的意义。对于代数几何这个具体的研究领域而言，Deligne在一次访谈中说过，和Grothendieck一起卷入一般性中是很危险的，他需要去听Serre的讲课（里面充满了很多优美的特例）以便让自己脚踏实地。

需要说明的是，以上所有的学习规律并不是相互割裂的，在实际学习、研究的过程中，它们都强烈地依赖着其他规律。学习是普遍规律与具体知识的有机融合，两大方面水乳交融，我们都需要高度留意。

附记：若干学习、科研规律小节：1复杂与简单。现代数学的复杂性与古典数学不可同日而语，现代数学的大量计算是难以避免的；譬如，偏微分方程理论中一般抛物、双曲方程的能量估计就有些复杂，几何分析也需要巨大的计算量；很多情况下，不做大量计算很难得到深入的结果，在数学中，算功是高度重要的，每门课程都是只有做了大量的计算才能领悟出其中的众多精萃，而且在这个过程之中，我们的计算能力也会有一个不断增长的过程。另外一些涉及到复杂计算的例子是：调和函数虽然与全纯函数性质上非常相似，但调和函数的导数介值性等性质要比全纯函数复杂很多；一般椭圆方程Harnack不等式的证明过程要比调和函数的证明复杂得多；同调代数的概念也远比抽象代数中的基本概念复杂；这种复杂性的增加是数学在深度与广度两个方向上不断发展必然会遇到的整体内在问题。但是数学的奇妙之处就在于，复杂的计算可以导出很简单的结果，指标定理等即是较佳的例证。概言之，数学是深刻思想与大量计算的交融，两者都极其重要，缺一不可。

2大问题与小问题。关于这个常见问题，我想Fermi的看法是很正确的：大部分时间做小问题，小部分时间做大问题；因为数学研究中无论是计算、证明，亦或是创造性思考的过程等，都需要积累大量的经验，这些珍贵的研究经验大部分时候都是通过不断做小问题才能逐渐地累积起来，陈省身也说过：“我不认为我能高瞻远瞩。我只是在做一些小问题。”[29] 当然，另一方面，我们也不能终日沉迷于解决一些琐碎的小问题，而从不去想好的大问题，这种面对困难问题的畏难情绪可能导致我们永远也做不出优秀的结果，丘成桐就曾经批评过这一浮薄的研究态度。

一直以来，我都强烈地认为，我们上几代老师的研究观点较为僵化一些，反复强调的主要是“耐得住寂寞”，“不好高骛远”，“一步一个脚印”,“严师出高徒”等道理，这些久经检验的治学经验自然都很正确；但是数学学习、研究远远没有这么简单，它的实际过程要比这种简化了的模式、图景复杂、深入得多，这是我阐述上面这些观点的其中的一个内在动机。总的说来，这些规律虽然带有个人特定经验和特定学科的印记，但我们认为对于大部分理工科工作人员都具有一定的适用性；当然，它们需要以创造性的方式进入具体理工科从业者的实际工作过程之中。理工科的范围自然极其广阔，但是背后竟然有些简单的普遍性规律，这一点是令人惊异的。与此同时，自觉地运用这些研究规律可以在一定程度上提高我们的工作效率，起到事半功倍的效果；但是，每个理工科专业包涵的信息量都浩瀚复杂，因而，我们自然还是需要长时间的点滴积累，理工科研究的路比较漫长，提炼尽可能多的学习规律只是能够加快我们行走的速度，但是路本身还是很绵长的。

当然，最后必须说明的是，以上的各种方法未必适合每个理工科学生；以数学家来说，不同的数学家的风格可能存在着巨大的差异（如Hilbert、Sylvester的记忆力很差，即使自己证过的定理都记得不是太清楚；而Cayley、Poincare的记忆力则特强）[30] ；显然，理工科从业人员的个人风格是千差万别的，每个人的丰富想象力都有着自己独特的工作方式，因而，在面对高度复杂的经验知识时，我们所概括的规律只能起到一般层面的指导意义；在复杂的实际工作过程中，我们需要发挥自身的想象力来赋予大量的具体知识以特定的形状和明艳的色彩。总之，不同人的治学方法是千门万户的，各具特色，关键是要找到适合自己的方法。