谈谈“复数”教学中应该注意的几个问题

                                            迁安一中  李刚

    数学以其高度的抽象、严谨的逻辑、艰深的证明、繁难的运算令人望而生畏，即使是爱好数学的学生，也常常产生畏难情绪。作为一名数学教师，能否在教学中突破有关难点，帮助学生进行有效地复习归纳，往往是教师课堂教学成败的关键。反之，在讲课时不能击中难点问题的要害，教学中的难点会变成学生知识的死角。本人长期的教学实践，对如何上好“复数”教学这一中学知识重点，曾作了一些探讨，现以三个方面来探讨，供大家参考。

一．复数中的二元性和整体性

1.       二元性.

由于复数代数模型中有两种形式Z=x+yi,x,y R,其中x,y是两个变元以及z=r(cos  +isin ),其中r, 是两个变元。当x,y或r, 一旦被确定，则复数z就已确定。从这个意义上说，复数z具有二元性，即复数是一个具有二自由度的量，在复数的教学中，运用它处理许多复数方面的问题时，许多的优势，易被同学接受，也是学生学习复数后处理复数问题最常用的方法。现举例如下：

例1.设 =1 ,且 z≠±i,z C,求证 R  

证法1.用二元性得代数形式z=x+yi,(x,y R)

则 =  = = R  

证法2.用二元性得三角形式z= r(cos +isin ),

其中r=1, 代入得( ≠kπ+π/2)

= = = R

在处理有些复数问题时,要灵活运用二元性的代数形式和三角形式,否则将陷入误区不能自拔.

例2.已知 =1,z( +1)=1,求z.

错解: ,∵ =1-z ∴ ∴ 设z=x+yi (x,y R)并注意到

解方程组得: 1/2+i /2,

错误分析,由于 是 =1-z 成立得必要条件但不充分条件，对等式两边同时取模长并用复数形式z=x+yi。扩大了解集，这时可用二元性的设z=cos +isin , ,

代入 得：    

则有：

   由 ①,②得cos3 ≠0,且sin4 =0∴4 =K ,得cos3 ≠0,K Z

 ∴ =0,± ± ,± ± ,……将 代入①式,皆不满足①，故方程无解。

在解本题及类似本题得问题时，尽量避免运用取模法及二元性得代数形式，根据复数相等的条件及三角形式来解比较好，即使有时麻烦一些，但总是可行的。

2.整体性

复数的整体性是指复数就其整体而言是一个数，在处理复数问题时，可把它作为一个整体来看待，这样可大大简化计算过程，使问题得以解决。

例1．设 ,且 ,求z的值。

解:由平行四边形等式

有： 

即 ，所以    

上述解法显然利用整体性要比利用二元性把z=x+yi代入计算要直接，简炼。

例2．求复数z使之满足 .

解：由于 ，两边取模：  

∴ ∴    解方程得：  

二．复数的多样性和复数的一致性

复数的多样性是指复数就其表现形式而言具有多种表现形式，从大的分可分为代数模型（代数式，三角式，指数形式等），几何模型（点模型，矢量模型等）两大类。尽管复数从不同的角度表现出多样性，但也正是从不同的侧面表现出事物的共同本质，从这个意义上说，复数又具有一致性。故在处理每一个复数问题时，要引导学生运用复数的多样性从不同的角度考虑问题，从多方面寻求问题的答案，培养和训练学生思维的灵活性，提高解题能力。

例1．已知 且 , 求 z

解法一.利用代数模型，设z=  有

 

∴           ①

        ②

        由①,②式得:

∴

以上解法利用复数三角形式，其优点就在于根据隶莫佛定理处理高层次问题，可达到降次的目的。利用复数的几何性质又可找到以下解法。

y

x

解法二.利用复数的几何模型

如图：∵ =1

o

∴o, A, 为平行四边形的四个顶点，又

∴

∴△OZA为等边三角形，易求得： 当x 在实轴下方的时候，    

本题注意到 , 利用公式   又可以得到以下解法：

解法三.

∵ ,∴zz=

 

y

例2.若  ,且 ;求:

解法一.利用代数法:

∵ ∴

又

∴

解法二:利用几何模型

y

x

本题的几何意义是  和 是以 ,为邻边的平行四边形的两条对角线的长度,又 且   

∴平行四边形为正方形

O

另外一条对角线的长为:

 

另外,若设 对应的向量为 对应的向量为 ,以 ,

为边作一个平行四边形如图,由平面几何定理:

平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和,即得

o

 

综上所述,在复数的教学中,注意复数的多样性和一致性的统一,代数模型和几何模型的联系,引导学生不依常规,寻求变异,从多方面寻求问题的答案,使他们养成观察、分析、探索的好习惯,无疑是很有益处的.

三.与实数的相似形和自身的特殊性

实数集是复数集的子集,因此,实数具有的许多性质是复数所不具有的,表现其特有的特殊性,学生在学完实数后进入复数学习时,往往在这些方面盲目地用实数集中的性质,法则及解题方法解决复数问题,因而不自觉地陷入不可自拔的误区.再加之复数还有自身的一些特性,解题时稍有疏忽也会导致谬误,下面举例谈谈复数在运算中容易与实数混淆的一些性质错误.

例1.解方程

错解:由复数相等的条件可知

解方程组得:x=2

错解忽略了x∈R这一条件,这是由于复数自身的特性所决定的,应注意到若          a+bi=c+di a=c且b=d ,当且仅当a,b,c,d∈R时,才有a=c且b=d成立.

正确解法: 将原方程化为

由求根公式得:

另外解法:将原方程整理得:

解方程组得

例2.若a,b,c,d为实数,试求关于x的方程 有实根的充要条件.

错解:由判别式: △=

当 △≥0 时 方程有实解.

错误分析:由于此题二次方程中的系数有虚数,不能用根的判别式来判别根时实根根.

正确解法:必要条件,若方程有实根x ,则

 

②

①

 

若b=0 ,由②得d=0 ,而x R ,由 ① 必须 ≥0;若b≠0 ,由 ② 得  ,代入 ① ,整理得:

充分条件:反之,若b=d=0 , ≥0,显然方程有实根,若b≠0 ,  ,则C=ad/b 代入原方程得

即原方程有实根   .x= .