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角动量和磁矩

(2019-01-21 21:48:03)
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分类: 量子.光子

角动量和磁矩

1.电子的磁矩

玻尔磁子

电子因轨道运动而具有磁矩:

\mu = I S = - \frac{e}{T} \pi r^2

T = \frac{2\pi}{\omega}

\mu = - \frac{e}{2 \pi} \omega \pi r^2 = - \frac{e}{2m} mr^2 \omega

考虑到:

L = r \times p = mr^2 \omega

\mu = - \frac{e}{2m} L

改写为:

\vec \mu = - g \frac{e}{2m} \vec J

这里引入了因子(朗德因子)https://math.jianshu.com/math?formula=g,

对轨道运动而言,

https://math.jianshu.com/math?formula=g_L%20=%201

因为电子还具有自旋运动, 自旋也会导致电子具有磁矩,

https://math.jianshu.com/math?formula=g_S%20=%202

回到电子的轨道磁矩,

\vec \mu_L = - g_L \frac{e}{2m} \vec L

角动量https://math.jianshu.com/math?formula=L_z,

https://math.jianshu.com/math?formula=L_z%20=%20m%20/hbar,%20m%20=%200,%20/pm%201,%20...%20,%20/pm%20l

https://math.jianshu.com/math?formula=z方向上的取值为,

-\frac{e}{2m_e} m \hbar = - m \frac{e \hbar}{2 m_e} = - m \mu_B

这里https://math.jianshu.com/math?formula=/mu_B是玻尔磁子(Bohr magneton), 即磁矩也是量子化的, 对电子而言, 其最小单位是玻尔磁子,

\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m_e} = 9.27400968(20) \times 10^{-24} \text{J} \cdot \text{T}^{-1}

类似地,还可以定义核磁子(Nuclear magneton)

\mu_N = \frac{e \hbar}{2 m_p} = 5.05078353(11) \times 10^{-27} \text{J} \cdot \text{T}^{-1}

拉莫频率

Direction of precession for a negatively-charged particle. The large arrow indicates the external magnetic field, the small arrow the spin angular momentum of the particle.

磁矩https://math.jianshu.com/math?formula=B中, 能量是:

https://math.jianshu.com/math?formula=U%20=%20-%20B%20/cdot%20/mu%20=%20-%20B%20/mu%20/cos%20/theta

磁矩https://math.jianshu.com/math?formula=/tau,

\tau = \mu \times B = \frac{d J}{ dt }

利用

\mu = - g \frac{e}{2m_e} J

- g \frac{e}{2m_e} \frac{d J }{d t} = \frac{d \mu}{dt} = - g \frac{e}{2m_e} \mu \times B = \omega \times \mu

i.e.,

g \frac{e }{2 m_e} B \times \mu = \omega \times \mu

解出:

\omega = g \frac{e}{2 m_e} B = g \frac{ \mu_B B}{\hbar}

对轨道运动而言, https://math.jianshu.com/math?formula=g_L%20=1,

\omega_L = \frac{\mu_B B}{\hbar}

https://math.jianshu.com/math?formula=/omega_L是电子做轨道运动时的进动频率, 也叫拉莫频率(Larmor frequency)。

更一般地,可写为:

https://math.jianshu.com/math?formula=/omega%20=%20g%20/omega_L

比如,对自旋运动,

https://math.jianshu.com/math?formula=/omega_S%20=%202%20/omega_L

旋磁比

回到公式,

\vec \mu = - g \frac{e}{2m} \vec J

可改写为,

https://math.jianshu.com/math?formula=/vec%20/mu%20=%20/gamma%20/vec%20J

这里的因子https://math.jianshu.com/math?formula=/gamma叫旋磁比(Gyromagnetic ratio),

\gamma = \frac{\mu}{J} = - g \frac{e}{2m} = - g \frac{\mu_B}{\hbar}

对电子而言, 自旋朗德因子, 使用量子电动力学计算:

g_S = 2\left( 1 + \frac{\alpha}{2 \pi} + ... \right)

\alpha = \frac{1}{137}

得到,

https://math.jianshu.com/math?formula=g_S%20=%202.00231930436153

斯特恩-盖拉赫实验

斯特恩-盖拉赫实验示意

已知炉温600K,非均匀磁场强度https://math.jianshu.com/math?formula=1m, 估算银原子在屏上的分裂https://math.jianshu.com/math?formula=P_2%20P_3

首先估算银原子的速度,

K = \frac{M v^2}{2} = \frac{3 k_B T}{2}

v = \sqrt{\frac{3 k_B T}{M} }

银原子质量数https://math.jianshu.com/math?formula=107.9,

M = 107.9 u = 107.9 \times 931.494 \text{MeV} \cdot c^{-2}

k_B = 8.617 \times 10^{-5 } eV \cdot K^{-1}

3 k_B T = 3 \times 8.617 \times 10^{-5 } eV \cdot K^{-1} \times 600 K

https://math.jianshu.com/math?formula=3%20k_B%20T%20=%200.155%20eV

v = \sqrt{ \frac{ 0.155 }{10^{11} } } c = \sqrt{\frac{1.55 }{10^{12} }} c

v = \frac{1.245}{ 10^6} \times 3 \times 10^8 m \cdot s^{-1} = 374 m\cdot s^{-1}

银原子飞跃磁铁的时间:

\Delta t = \frac{0.1}{374} = 2.67 \times 10^{-4} s

银原子磁矩,

\mu = - 2 \frac{e}{2m_e} S

磁矩在https://math.jianshu.com/math?formula=z轴的投影,

https://math.jianshu.com/math?formula=/mu_z%20=%20-2%20/mu_B%20m_S

这里m_S = \pm \frac{1}{2},

https://math.jianshu.com/math?formula=/mu_z%20=%20/mp%20/mu_B

在非均匀磁场中的受力,

F_z = - \frac{\partial U_m}{\partial z} = \frac{ \partial \left( \mu_z B_z \right) }{\partial z} = \mp \mu_B \frac{\partial B_z}{\partial z}

银原子在垂直方向的加速度,

a = \frac{F_z}{M} = \mp \frac{ 9.274 \times 10^{-24} J \cdot T^{-1} \times 10^3 T \cdot m^{-1} }{107.9 \times 1.66 \times 10^{-27} kg } = \frac{9.274 \times 10^{-21} }{1.79 \times 10^{-25 } } = 5.18 \times 10^4 m \cdot s^{-2}

在垂直方向获得的速度,

\Delta v = a \Delta t = 5.18 \times 10^4 \times 2.67 \times 10^{-4} = 13.83 m \cdot s^{-1}

张角,

\Delta \theta = \frac{\Delta v }{v}=\frac{13.83}{374}

银原子偏转,

https://math.jianshu.com/math?formula=/Delta%20=%20/tan%20/theta%20/times%201%20=%200.037%20m

考虑到银原子对称地向上、向下偏转,条纹间距为:

https://math.jianshu.com/math?formula=2%20/Delta%20=%200.074%20m

2.角动量相加和朗德因子

由于电子自旋运动朗德因子g_S=2和电子轨道运动朗德因子https://math.jianshu.com/math?formula=g_L%20=%201不同, 导致电子总角动量https://math.jianshu.com/math?formula=J和电子总磁矩\mu不共线。

https://math.jianshu.com/math?formula=J%20=%20L%20+%20S

这个求和首先是向量求和,其次它们都是量子力学算符,应在量子力学意义下予以研究。由于知识的欠缺,我们先半经典地研究角动量的相加。

角动量相加

https://math.jianshu.com/math?formula=J, https://math.jianshu.com/math?formula=L, https://math.jianshu.com/math?formula=S三个向量一起构成一个三角形, 根据三角形的性质(两边之和大于第三边, 两边只差小于第三边), 应满足:

https://math.jianshu.com/math?formula=/left

这里l是与轨道角动量https://math.jianshu.com/math?formula=L对应的量子数, s是与自旋角动量https://math.jianshu.com/math?formula=S对应的量子数, j是与总角动量https://math.jianshu.com/math?formula=J对应的量子数。

总角动量https://math.jianshu.com/math?formula=J也是角动量,和https://math.jianshu.com/math?formula=L, https://math.jianshu.com/math?formula=S一样它也满足:

J^2 \left|j, m_j \right\rangle = j(j+1)\hbar^2 \left|j, m_j \right\rangle

https://math.jianshu.com/math?formula=J_z%20/left

https://math.jianshu.com/math?formula=2j%20+1种取值的可能性。

https://math.jianshu.com/math?formula=j%20=%20l+s,%20l+s-1,%20...%20,%20/left

(如果是两个一般的角动量https://math.jianshu.com/math?formula=l%20=%20l_1%20+%20l_2,%20l_1%20+%20l_2%20-1,%20...,%20/left

比如一个电子处在p轨道,它的总角动量就是:

https://math.jianshu.com/math?formula=j%20=%201-1/2%20=%201/2

总磁矩

\mu = \mu_S + \mu_L = -g_L \frac{e}{2m} L - g_S \frac{e}{2m} S \neq \gamma J

由于https://math.jianshu.com/math?formula=g_L%20=%201, g_S =2, \muhttps://math.jianshu.com/math?formula=J并不共线。

我们现在的做法是先将\mu投影到https://math.jianshu.com/math?formula=J方向, 得到https://math.jianshu.com/math?formula=/mu_J写为- g_J\frac{e}{2m} J的形式, 这样我们就得到了总角动量https://math.jianshu.com/math?formula=J的朗德因子g_J

https://math.jianshu.com/math?formula=/mu_J%20=%20/mu_S%20/cos%20(S,%20J)%20+%20/mu_L%20/cos%20(L,%20J)

\cos (S, J) = \frac{ J^2 + S^2 - L^2 }{ 2 \left|S\right| \cdot \left| J \right|}

\cos (L, J) = \frac{ J^2 + L^2 - S^2 }{ 2 \left|L \right| \cdot \left| J \right|}

\mu_J = \left( -g_S\frac{e}{2m}\left| S \right| \frac{ J^2 + S^2 - L^2 }{ 2 \left|S\right| \cdot \left| J \right|} - g_L \frac{e}{2m} \left| L \right| \frac{ J^2 + L^2 - S^2 }{ 2 \left|L \right| \cdot \left| J \right|} \right) \frac{J}{\left| J \right|}

化简可得:

\mu_J = \left( -g_S \frac{\mu_B}{\hbar} \frac{J^2 + S^2 - L^2}{2 J^2} - g_L \frac{\mu_B}{\hbar}\frac{J^2 + L^2 -S^2 }{2 J^2} \right) J = - g_J \frac{\mu_B}{\hbar} J

朗德因子

得到:

g_J = g_S \frac{J^2 + S^2 - L^2}{2 J^2} + g_L \frac{J^2 + L^2 - S^2}{2 J^2}

考虑到g_S =2, https://math.jianshu.com/math?formula=g_L%20=%201, 进一步可得,

g_J = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left( \frac{S^2 - L^2}{J^2} \right)

在磁场中的能量

在原子物理中, 我们实际关心的是磁矩https://math.jianshu.com/math?formula=B中的能量。

https://math.jianshu.com/math?formula=U%20=%20-%20/mu_J%20/cdot%20B

选磁场方向是https://math.jianshu.com/math?formula=z轴,

U = - \mu_J^z B = g_J \mu_B m_J B

即,

https://math.jianshu.com/math?formula=U%20=%20g_J%20m_J%20/mu_B%20B

这里,

https://math.jianshu.com/math?formula=m_J%20=%20J,%20J-1,%20...,%20-J

https://math.jianshu.com/math?formula=2J%20+1种取值的可能性。



作者:ianwest
链接:https://www.jianshu.com/p/286e84eed1c3
來源:简书
简书著作权归作者所有,任何形式的转载都请联系作者获得授权并注明出处。

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