角动量和磁矩_陀螺---上帝掷出的骰子

Direction of precession for a negatively-charged particle. The large arrow indicates the external magnetic field, the small arrow the spin angular momentum of the particle.

磁矩https://math.jianshu.com/math?formula=B中, 能量是：

https://math.jianshu.com/math?formula=U%20=%20-%20B%20/cdot%20/mu%20=%20-%20B%20/mu%20/cos%20/theta

磁矩https://math.jianshu.com/math?formula=/tau,

$\tau = \mu \times B = \frac{d J}{ dt }$

利用

$\mu = - g \frac{e}{2m_e} J$

$- g \frac{e}{2m_e} \frac{d J }{d t} = \frac{d \mu}{dt} = - g \frac{e}{2m_e} \mu \times B = \omega \times \mu$

i.e.,

$g \frac{e }{2 m_e} B \times \mu = \omega \times \mu$

解出:

$\omega = g \frac{e}{2 m_e} B = g \frac{ \mu_B B}{\hbar}$

对轨道运动而言, https://math.jianshu.com/math?formula=g_L%20=1,

$\omega_L = \frac{\mu_B B}{\hbar}$

https://math.jianshu.com/math?formula=/omega_L是电子做轨道运动时的进动频率, 也叫拉莫频率(Larmor frequency)。

更一般地，可写为:

https://math.jianshu.com/math?formula=/omega%20=%20g%20/omega_L

比如，对自旋运动,

https://math.jianshu.com/math?formula=/omega_S%20=%202%20/omega_L

旋磁比

回到公式,

$\vec \mu = - g \frac{e}{2m} \vec J$

可改写为,

https://math.jianshu.com/math?formula=/vec%20/mu%20=%20/gamma%20/vec%20J

这里的因子https://math.jianshu.com/math?formula=/gamma叫旋磁比(Gyromagnetic ratio),

$\gamma = \frac{\mu}{J} = - g \frac{e}{2m} = - g \frac{\mu_B}{\hbar}$

对电子而言, 自旋朗德因子, 使用量子电动力学计算:

$g_S = 2\left( 1 + \frac{\alpha}{2 \pi} + ... \right)$

$\alpha = \frac{1}{137}$

得到,

https://math.jianshu.com/math?formula=g_S%20=%202.00231930436153

斯特恩-盖拉赫实验

http://static.zybuluo.com/jiyanjiang/2d8sr62ll44k9ua5rn531f0z/s2586_stern-gerlach-experiment.gif

s2586_stern-gerlach-experiment.gif-10.5kB

斯特恩-盖拉赫实验示意

已知炉温600K，非均匀磁场强度https://math.jianshu.com/math?formula=1m, 估算银原子在屏上的分裂https://math.jianshu.com/math?formula=P_2%20P_3。

首先估算银原子的速度,

$K = \frac{M v^2}{2} = \frac{3 k_B T}{2}$

$v = \sqrt{\frac{3 k_B T}{M} }$

银原子质量数https://math.jianshu.com/math?formula=107.9,

$M = 107.9 u = 107.9 \times 931.494 \text{MeV} \cdot c^{-2}$

$k_B = 8.617 \times 10^{-5 } eV \cdot K^{-1}$

$3 k_B T = 3 \times 8.617 \times 10^{-5 } eV \cdot K^{-1} \times 600 K$

https://math.jianshu.com/math?formula=3%20k_B%20T%20=%200.155%20eV

$v = \sqrt{ \frac{ 0.155 }{10^{11} } } c = \sqrt{\frac{1.55 }{10^{12} }} c$

$v = \frac{1.245}{ 10^6} \times 3 \times 10^8 m \cdot s^{-1} = 374 m\cdot s^{-1}$

银原子飞跃磁铁的时间:

$\Delta t = \frac{0.1}{374} = 2.67 \times 10^{-4} s$

银原子磁矩,

$\mu = - 2 \frac{e}{2m_e} S$

磁矩在https://math.jianshu.com/math?formula=z轴的投影,

https://math.jianshu.com/math?formula=/mu_z%20=%20-2%20/mu_B%20m_S

这里 $m_S = \pm \frac{1}{2}$ ,

https://math.jianshu.com/math?formula=/mu_z%20=%20/mp%20/mu_B

在非均匀磁场中的受力，

$F_z = - \frac{\partial U_m}{\partial z} = \frac{ \partial \left( \mu_z B_z \right) }{\partial z} = \mp \mu_B \frac{\partial B_z}{\partial z}$

银原子在垂直方向的加速度,

$a = \frac{F_z}{M} = \mp \frac{ 9.274 \times 10^{-24} J \cdot T^{-1} \times 10^3 T \cdot m^{-1} }{107.9 \times 1.66 \times 10^{-27} kg } = \frac{9.274 \times 10^{-21} }{1.79 \times 10^{-25 } } = 5.18 \times 10^4 m \cdot s^{-2}$

在垂直方向获得的速度，

$\Delta v = a \Delta t = 5.18 \times 10^4 \times 2.67 \times 10^{-4} = 13.83 m \cdot s^{-1}$

张角,

$\Delta \theta = \frac{\Delta v }{v}=\frac{13.83}{374}$

银原子偏转,

https://math.jianshu.com/math?formula=/Delta%20=%20/tan%20/theta%20/times%201%20=%200.037%20m

考虑到银原子对称地向上、向下偏转，条纹间距为:

https://math.jianshu.com/math?formula=2%20/Delta%20=%200.074%20m

2.角动量相加和朗德因子

由于电子自旋运动朗德因子 g_S=2 和电子轨道运动朗德因子https://math.jianshu.com/math?formula=g_L%20=%201不同, 导致电子总角动量https://math.jianshu.com/math?formula=J和电子总磁矩 $\mu$ 不共线。

https://math.jianshu.com/math?formula=J%20=%20L%20+%20S

这个求和首先是向量求和，其次它们都是量子力学算符，应在量子力学意义下予以研究。由于知识的欠缺，我们先半经典地研究角动量的相加。

角动量相加

https://math.jianshu.com/math?formula=J, https://math.jianshu.com/math?formula=L, https://math.jianshu.com/math?formula=S三个向量一起构成一个三角形, 根据三角形的性质(两边之和大于第三边, 两边只差小于第三边), 应满足:

https://math.jianshu.com/math?formula=/left

这里是与轨道角动量https://math.jianshu.com/math?formula=L对应的量子数, 是与自旋角动量https://math.jianshu.com/math?formula=S对应的量子数, 是与总角动量https://math.jianshu.com/math?formula=J对应的量子数。

总角动量https://math.jianshu.com/math?formula=J也是角动量，和https://math.jianshu.com/math?formula=L, https://math.jianshu.com/math?formula=S一样它也满足:

$J^2 \left|j, m_j \right\rangle = j(j+1)\hbar^2 \left|j, m_j \right\rangle$

https://math.jianshu.com/math?formula=J_z%20/left

https://math.jianshu.com/math?formula=2j%20+1种取值的可能性。

https://math.jianshu.com/math?formula=j%20=%20l+s,%20l+s-1,%20...%20,%20/left

（如果是两个一般的角动量https://math.jianshu.com/math?formula=l%20=%20l_1%20+%20l_2,%20l_1%20+%20l_2%20-1,%20...,%20/left ）

比如一个电子处在p轨道，它的总角动量就是:

https://math.jianshu.com/math?formula=j%20=%201-1/2%20=%201/2

总磁矩

$\mu = \mu_S + \mu_L = -g_L \frac{e}{2m} L - g_S \frac{e}{2m} S \neq \gamma J$

由于https://math.jianshu.com/math?formula=g_L%20=%201, g_S =2 , $\mu$ 与https://math.jianshu.com/math?formula=J并不共线。

//upload-images.jianshu.io/upload_images/32620-470a0bef58625b47.png

角动量相加和磁矩相加

我们现在的做法是先将 $\mu$ 投影到https://math.jianshu.com/math?formula=J方向, 得到https://math.jianshu.com/math?formula=/mu_J写为 $- g_J\frac{e}{2m} J$ 的形式, 这样我们就得到了总角动量https://math.jianshu.com/math?formula=J的朗德因子 g_J 。

https://math.jianshu.com/math?formula=/mu_J%20=%20/mu_S%20/cos%20(S,%20J)%20+%20/mu_L%20/cos%20(L,%20J)

$\cos (S, J) = \frac{ J^2 + S^2 - L^2 }{ 2 \left|S\right| \cdot \left| J \right|}$

$\cos (L, J) = \frac{ J^2 + L^2 - S^2 }{ 2 \left|L \right| \cdot \left| J \right|}$

$\mu_J = \left( -g_S\frac{e}{2m}\left| S \right| \frac{ J^2 + S^2 - L^2 }{ 2 \left|S\right| \cdot \left| J \right|} - g_L \frac{e}{2m} \left| L \right| \frac{ J^2 + L^2 - S^2 }{ 2 \left|L \right| \cdot \left| J \right|} \right) \frac{J}{\left| J \right|}$

化简可得:

$\mu_J = \left( -g_S \frac{\mu_B}{\hbar} \frac{J^2 + S^2 - L^2}{2 J^2} - g_L \frac{\mu_B}{\hbar}\frac{J^2 + L^2 -S^2 }{2 J^2} \right) J = - g_J \frac{\mu_B}{\hbar} J$