等差数列及其前n项和复习课教学案

 

1．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．

数学语言表示：               

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，那么它的通项公式是             .

3．等差中项

如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a_n＝a_m＋          (n，m∈N^*)．

(2)若{a_n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N^*)，则                .

(3)若{a_n}是等差数列，公差为d，则{a_2n}也是等差数列，公差为            .

(4)若{a_n}，{b_n}是等差数列，则{pa_n＋qb_n}也是等差数列．

(5)若{a_n}是等差数列，公差为d，则a_k，a_k＋m，a_k＋2m，…(k，m∈N^*)是公差为   的等差数列．

5．等差数列的前n项和公式

设等差数列{a_n}的公差为d，其前n项和S_n＝           或S_n＝              

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

S_n＝n²＋n.

数列{a_n}是等差数列⇔S_n＝An²＋Bn(A、B为常数)．

7．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{a_n}中，a₁>0，d<0，则S_n存在最___值；若a₁<0，d>0，则S_n存在最__ __值．

 

1．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁＝2，S₃＝12，则a₆等于(　　)

A．8  B．10  C．12  D．14

2．设{a_n}为等差数列，公差d＝－2，S_n为其前n项和，若S₁₀＝S₁₁，则a₁等于(　　)

A．18  B．20  C．22  D．24

3．在等差数列{a_n}中，已知a₄＋a₈＝16，则该数列前11项和S₁₁等于(　　)

A．58  B．88  C．143  D．176

 

题型一　等差数列基本量的运算

例1　(1)在数列{a_n}中，若a₁＝－2，且对任意的n∈N^*有2a_n＋1＝1＋2a_n，则数列{a_n}前10项的和为(　　)

A．2  B．10  C.  D.

(2)(2013·课标全国Ⅰ)设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S_m－1＝－2，S_m＝0，S_m＋1＝3，则m等于(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

思维升华　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a₁，a_n，d，n，S_n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a₁和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．

　(1)若等差数列{a_n}的前5项和S₅＝25，且a₂＝3，则a₇等于(　　)

A．12  B．13  C．14  D．15

(2)记等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁＝，S₄＝20，则S₆等于(　　)

A．16  B．24  C．36  D．48

题型二　等差数列的性质及应用

例2　(1)设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₃＝9，S₆＝36，则a₇＋a₈＋a₉等于(　　)

A．63  B．45  C．36  D．27

(2)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为(　　)

A．13  B．12  C．11  D．10

思维升华　在等差数列{a_n}中，数列S_m，S_2m－S_m，S_3m－S_2m也成等差数列；{}也是等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．

　(1)设数列{a_n}是等差数列，若a₃＋a₄＋a₅＝12，则a₁＋a₂＋…＋a₇等于(　　)

A．14  B．21  C．28  D．35

(2)已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₁₀＝10，S₂₀＝30，则S₃₀＝________.

题型三　等差数列的判定与证明

例3　已知数列{a_n}中，a₁＝，a_n＝2－(n≥2，n∈N^*)，数列{b_n}满足b_n＝(n∈N^*)．

(1)求证：数列{b_n}是等差数列；

(2)求数列{a_n}中的最大项和最小项，并说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

思维升华　等差数列的四个判定方法：

(1)定义法：证明对任意正整数n都有a_n＋1－a_n等于同一个常数．

(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2a_n＋1＝a_n＋a_n＋2后，可递推得出a_n＋2－a_n＋1＝a_n＋1－a_n＝a_n－a_n－1＝a_n－1－a_n－2＝…＝a₂－a₁，根据定义得出数列{a_n}为等差数列．

(3)通项公式法：得出a_n＝pn＋q后，得a_n＋1－a_n＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{a_n}为等差数列．

(4)前n项和公式法：得出S_n＝An²＋Bn后，根据S_n，a_n的关系，得出a_n，再使用定义法证明数列{a_n}为等差数列．

　(1)若{a_n}是公差为1的等差数列，则{a_2n－1＋2a_2n}是(　　)

A．公差为3的等差数列           B．公差为4的等差数列

C．公差为6的等差数列           D．公差为9的等差数列

(2)在数列{a_n}中，若a₁＝1，a₂＝，＝＋(n∈N^*)，则该数列的通项为(　　)

A．a_n＝                                  B．a_n＝

C．a_n＝                             D．a_n＝

补充练习1：(1)在等差数列{a_n}中，2(a₁＋a₃＋a₅)＋3(a₇＋a₉)＝54，则此数列前10项的和S₁₀等于(　　)

A．45  B．60  C．75  D．90

(2)在等差数列{a_n}中，S₁₀＝100，S₁₀₀＝10，则S₁₁₀＝________.

(3)已知等差数列{a_n}的首项a₁＝20，公差d＝－2，则前n项和S_n的最大值为________．

(4)(2014·北京)若等差数列{a_n}满足a₇＋a₈＋a₉>0，a₇＋a₁₀<0，则当n＝________时，{a_n}的前n项和最大．

 

补充练习2．(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀＝0，S₁₅＝25，则nS_n的最小值为________．