2.2整式的加减

第一课时    合并同类项

一、教学目标

知识与技能

1.理解同类项的概念。

2.掌握合并同类项法则，能正确进行同类项的合并．

    3. 能先合并同类项化简后求值．

过程与方法

通过类比有理数的运算律，探究得出合并同类项法则，培养学生观察、探索、分类、抽象概括等能力．

情感、态度与价值观

掌握规范的解题步骤，养成良好的学习习惯，通过比较两种求代数式值的方法，体会合并同类项的作用．

二、教学重点、难点及关键

重点  掌握合并同类项法则，熟练地合并同类项．

难点  对同类项概念的理解．

关键  正确理解同类项概念和合并同类项法则．

突破方法  从生活中的实例入手，引导学生认识什么样的单项式是同类项，通过类比数的运算律得出合并同类项的法则．

三、教法与学法导航

教学方法  通过创设情境，以问题为载体给学生提供探索的空间，引导学生积极探索。教学环节的设计与展开，都以问题解决为中心，使教学过程成为在教师指导下的一种自主探索的学习活动过程，使学生自主探究同类项的概念，加深对知识点的理解掌握。

学习方法  在自主探究学习的过程中，积极动脑、动手、动口获得充足的体验和发展，培养其抽象概括能力．

四、教学准备

教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）．

学生准备：整式的有关知识．

五、教学过程

（一）、导入新课

有理数可以进行加减计算，那么整式能否可以进行加减运算呢？又怎样化简呢？这就是我们今天要学习的内容：2.2.1 合并同类项

【板书课题】   2.2.1 合并同类项

（二）．同类项

活动一：我们来看本章引言中的问题（2）．

       在西宁到拉萨路段，如果列车通过冻土地段的时间是t小时，那么它通过非冻土地段所需的时间就是2.1t小时，则这段铁路的全长是100t+120×2.1t，

    即100t+252t

    问题1．类比数的运算，我们应如何化简式子100t+252t呢？

   （1）运用有理数的运算律计算：

    ①100×2+252×2；    ②100×（-2）+252×（-2）．

   （2）根据（1）中的方法将下面的式子化简，并说明其中的道理．

    100t+252t．

    思路点拨：（1）中两式的结构相同，每个式子的两项都含有一个相同的因数，因此根据分配律可得：

    100×2+252×2=（100+252）×2=352×2

    100×（-2）+252×（-2）=（100+252）×（-2）=352×（-2）

    而（2）式中的式子只是将（1）中两式的相同数字因数2（或-2）换成了字母t，式子的结构并没有发生改变，因此学生很容易根据分配律将式子化简100t+252t=（100+252）×t=352t，这就完成了由数到式由特殊到一般的过渡．

    问题2．你能根据问题1将下面的式子化简吗？

   （1）100t-252t；    （2）3x²+2x²；    （3）3ab²-4ab²．

    思路点拨：对于上面的（1）、（2）、（3），应先找出每个式子两项公共的因式，再利用分配律可得

    100t-252t=（100-252）t=-152t

    3x²+2x²=（3+2）x²=5x²

3ab²-4ab²=（3-4）ab²=-ab²

问题3.上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律？

    思路点拨：教师组织学生分四人小组进行讨论，引导学生观察、类比，从而发现规律，鼓励学生用自己的语言表达．

        上面的三个多项式都可以合并为一个单项式，（1）中多项式的项100t和-252t，它们都含有相同字母t，并且t的指数都是1；（2）中的多项式的项3x²+2x²都含有相同字母x，并且字母x的指数都是2；（3）中的多项式的项3ab²和-4ab²都含有字母a，b，并且字母a的指数都是1，b的指数都是2．也就是说它们都是只有系数不同，而所含字母及相同字母的指数都相同。

由此可得同类项的定义，老师总结并板书。

像这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。

注意：几个常数项也是同类项．

   问题4：练一练

下列各组中的两项是不是同类项？说明理由

（1）-ab与2ba（2）-2和5（3）a²b和ab² （4）-8x²y与  （5）ab^m与abⁿ

注意：同类项与系数无关，与字母的顺序无关

（三）合并同类项

活动二：试一试，根据乘法分配律，可以得到：

4a³+3a³=（4+3）a³=7a³； a²b+2a²b =（1+2）a²b =3a²b。

问题5：请同学们思考下列问题:

1．在多项式中，某两项具有什么特点时可以合并成一项？合并前后的系数有什么关系？字母和它的指数有无变化？

2．把具有以上特点的两项合并成一项时，我们实际上用了什么运算律？

    教师引导：因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并．例如，

    4x²+2x+7+3x-8x²-2         （找出多项式中的同类项）

    ＝4x²-8x²+2x+3x+7-2       （交换律）

    ＝（4x²-8x²）+（2x+3x）+（7-2） （结合律）

    ＝（4-8）x²+（2+3）x+（7-2）   （分配律）

    ＝-4x²+5x+5

学生交流后，教师归纳：把多项式中几个同类项合并成一项的过程，叫做合并同类项。

合并同类项法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变．

    注意：若两个同类项的系数互为相反数，则两项的和等于零，即这两项相抵消，如-3ab²+3ab²=（-3+3）ab²=0·ab²=0．

 （四）范例学习

    活动三：例1．合并下列各式的同类项：

    （1）xy²- xy²；    （2）-3x²y+2x²y+3xy²-2xy²；    （3）4a²+3b²+2ab-4a²-4b²．

        教师操作多媒体课件，展示例1，引导学生先观察多项式中哪些项是同类项，初学时，按照上面的解题步骤，先根据交换律、结合律把同类项结合在一起，然后再合并．

    解题过程按照课本、教学时，可采用学生口述，老师板书，同时让学生说明每一步骤的依据．

    例2．（1）求多项式2x²-5x+x²4x-3x²2的值，其中x= ．

    （2）求多项式3a+abc- c²-3a+ c²的值，其中a=- ，b=2，c=-3．

        教学策略：教师操作多媒体课件，展示例2，（1）题先让学生直接代入求值，然后采用先化简后代入的方法，让学生通过比较两种方法，以使体会合并同类项的作用．

    解：（1）2x²-5x+x²+4x-3x²-2   （标出同类项）

    =（2+1-3）x²+（-5+4）x-2     （系数相加，字母部分不变）

    =-x-2                        （系数是“1”或“-1”时省略1）

    当x= 时，原式=- -2=-

    （2）3a+abc -3a

    =（3-3）a+abc+（- + ）c²

    =abc

    当a=- ，b=2，c=-3时，原式=（- ）×2×（-3）=1

    特别提醒：（1）在求多项式的值时，一般先对多项式进行化简，然后再代入指定的数值进行计算，这样做比较简便，同时也减少计算失误．（2）合并时，注意系数是负数的情况，规范书写格式。（3）代入字母给定的值时，必要时要正确使用括号，否则易发生错误．

    例3．（1）水库中水位第一天连续下降了a小时，每小时平均下降2cm，第二天连续上升了a小时，每小时平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？

    （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为x千克，上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，进货后这个商店有大米多少千克？

    思路点拨：（1）水位上升量与水位下降量是具有相反意义的两个量．我们可以把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，那么，第一天水位的变化量为-2acm，第二天水位的变化量0.5acm，两天水位的总变化量为-2a+0.5a=（-2+0．5）a=-1.5a（cm），这表明这两天水位的总变化情况是下降了1.5acm；（2）类似（1）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，那么进货后这个商店共有大米5x-3x+4x=（5-3+4）x=6x（千克）．

（五）小结

通过本节课的学习你有那些收获？存在那些困惑？

可以归纳为以下几点：

1.同类项：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。

2.同类项与字母无关，与字母的排列顺序也无关，几个常数项也是同类项。

3.在合并同类项时：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。

4.注意：合并同类项后的结果不能再有同类项。

5.分配律在式的运算中仍然适用。

 

 

 

 

六、板书展示

2.2.1  合并同类项 例2 解：（1）2x2-5x+x2+4x-3x2-2       =（2+1-3）x2+（-5+4）x-2         =-x-2         当x= 时，原式=- -2=-     1. 同类项：所含字母相同，并且相同字 母的指数也分别相等的项叫做同类项。 △：几个常数项也是同类项． 2.合并同类项：   把多项式中的同类项合并成一项 3. 合并同类项法则： 在合并同类项时，把同类项的系数相加， 字母和字母的指数保持不变．

八、教学反思

合并同类项是从具体数字运算发展到代数式运算的转折点，教学中需要学生通过本课内容的学习，初步了解代数式运算的特点，体会代数式运算与数字运算的异同，初步完成由具体数字运算到代数式运算的思维转变；同时合并同类项又是今后其他代数式运算及解方程、解不等式的不可缺少的一个环节，因此合并同类项是初中数学的一个重要内容。

在本节课中，同类项概念的产生及合并同类项法则的产生，集中体现了知识的形成过程，并从中体现着“特殊——一般、具体——抽象、未知——已知”的数学思想和数学方法，使学生在感受数学知识形成过程的同时，也使学生的思维能力得到了充分的锻炼和发展。