算术平方根与平方根的教学与思考

宁陕县城关初级中学   艾小娟

内容摘要：在使用新旧人教版初中数学教材时，均发现《实数》一章在第一节的编排顺序以及内容呈现上有不尽合理的地方，如果教师在教授本节课时能够稍加修改和调整，就能够达到更好的教学效果。

关键词：算术平方根、平方根、转变认识、调整顺序、纠正错误。

2003年经全国中小学教材审定委员会初审通过的义务教育课程标准数学实验教科书中，《实数》被编排在八年级上册第十三章中。而2012年由教育部审定的义务教育教科书中，《实数》一章则收录在七年级下册第六章。无论是从内容上还是小节的编排顺序上，都几乎没有什么改动。作为编者，这样的设计肯定有其必然存在的理论依据和科学道理。但是作为一名从事一线教学多年的教师来讲，在使用教材过程中发现了许多与学生认知规律不相符合的地方，从而使简单的知识复杂化，清晰的概念模糊化，无形中加大了学生学习的难度。尤其是在教授算术平方根与平方根两小节内容时，学生出现的问题最多，甚至有的学生到了初三总复习时，还搞不懂这两个概念的区别与联系，直接导致二次根式的运算一塌糊涂。本学期担任七年级数学教学工作，再次学习本章节时，我将这两小节内容按照自己的理解，根据学生的认知规律做出相应的调整，收到了良好的效果。全班90%的同学在章节水平检测中都拿到了“A”，只有少数的几个人拿到了“B”，一个人拿到“C”。在此，将我教授本节课的具体做法和点滴经验与大家分享。

首先，转变一个认识：“开方不是一种运算”。通过从前的学习，学生已经知道加、减、乘、除、乘方分别是一种运算。至于什么是开方，学生很陌生，甚至很难理解。尤其是“”，大多数学生并不认为它是一种运算符号。他们所理解的运算必然是“3+5、2-7、×6、0.25÷5”……这种运算符号在两个有理数中间的式子。这就需要我们教师通过类比的方法悉心引导。具体的做法是先让学生回顾“加与减互为逆运算，比如：a+3=7﹤＝﹥a=7-3；乘与除互为逆运算，比如：b×2=10﹤＝﹥b=10÷2；从而引出乘方也有逆运算，比如：4 ³=64﹤＝﹥=4。其中就相当于求（）³=64的问题，这也就是所谓的开三次方。与此类似，还有开二次方，开四次方等等，学生也就不难理解了。

其次，调整两个顺序：先学习平方根，再学习算术平方根。教材中，第一小节先讲算术平方根。由一个实际问题：“面积为25d㎡的正方形画布求边长”入手，得出算式：5²=25，从而再顺势归纳出算术平方根的概念：“如果一个正数x的平方等于a，即：x²=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根”。接着再学习第二小节平方根，编者用了一个思考：“如过一个数的平方得9，这个数是多少？”因为前面已经有了“5²=25”的例子，学生就会依据上一节的经验直接回答：“3²=9，所以这个数是3”，从而就漏掉了“-3”这个答案，这显然与知识的正确性相违背，也与编者的意图相违背。同时这种“先入为主”还将直接导致学生屡犯诸如：平方得16的数是4，平方得0.25的数是0.5……这样的错误，且很难纠正过来。其实编者的设计意图是想由思考“如过一个数的平方得9，这个数是多少？”得出正解：（±3）²=9，从而引出平方根的概念：“如果一个数x的平方等于a，即：x²=a，那么这个数x叫做a的平方根”。我们不妨前后对照一下算术平方根与平方根的概念，前者仅比后者多出一个“正”字，这一字之差对于学生来讲就容易犯糊涂：“x²=a，那么x到底是a的算术平方根还是平方根呢？一部分学生就会认为算术平方根与平方根是同一个概念；还有一部分学生会认为算术平方根和平方根是风牛马不相及的两个概念，这样的理解都是大错而特错的。

在实际教学中，如果我们能将前后两小节的讲授顺序做个对调，以上存在的种种问题就可以避免。我们可以先让学生思考：“什么数的平方得9？”在没有前置影响的情况下，学生基本上都能得出（±3）²=9，然后告诉学生±3就是9的平方根。反复多做几组同样的练习后，教师再引导学生归纳平方根的概念就显得顺理成章了。待学生熟知这一知识以后，教师再让学生讨论：“负数有没有平方根？0的平方根是什么？”依据平方的性质以及平方与开平方互为逆运算，，学生就很容易得出：“没有哪个数平方以后还得负数，所以负数没有平方根，0的平方根就是0本身”。搞清这一问题以后，教师就可以让学生探究关于正数的平方根了。只需稍加观察就能得出：任何一个正数的平方根都有正负两个，它们互为相反数。此时，教师再告诉学生：我们把正的那个平方根又叫做算术平方根，负的那个就叫做负的平方根。至此，算术平方根与平方根的从属关系就一目了然了：算术平方根是平方根当中的一种，平方根包含算术平方根。这样，学生就能准确的理解两个概念的联系与区别，也就不会把算术平方根当做平方根来求了。

最后，纠正三个错误。学习本节学生常犯以下三个错误：1.求的算术平方根。大多数学生都会得9。这是源于学生还没有理解“”本身就是一个有待化简的算式，本题相当于求81的算术平方根的算术平方根，学生会读了自然就不会出错。2.受到算式=3的影响，很多学生认为=-3。最有效地解决办法是让学生根据运算顺序先计算(-3) ²得几？然后再带入到根号下就能求得正解。在此不必刻意去总结“正数的平方的算术平方根是它本身，负数的平方的算术平方根是它的相反数”，以免对学生误导。3.单纯从解方程的角度来看，方程x²=2，可解得x=±。若将这道题放到实际问题当中，说“一个正方形的面积等于2，求边长。”如果设正方形边长为x，则可得方程x²=2，解得x=±。这时教师应当让学生讨论“-”能作为正方形的边长吗？当学生想明白实际问题中，长度、时间、重量等等均不能为负数时，就知道在答案中应当怎样去取舍了。

古人云：“尽信书不如无书”。如果我们每个教师都能够把教科书当做一个学习平台，有效的利用和整合平台上的教学资源，再根据学情加入自己对教材的理解和把握，相信每一节课都会收到意想不到的效果。