立项号

FDYX2018XKT-SX04 

负责人

周晶

课题名称

数学模型在高年级数学课堂教学中的应用探究

结题报告

关键词

小学数学     模型思想   构建  应用策略 

结题

报告

摘要

小学数学高年级模型思想的建立及应用策略四步骤：精选问题，塑造模型；发现共性，构建模型；深层探究，求解模型；变换应用，检验模型。

通过实践与研究，培养了学生的数学素养；使教师对数学模型思想的概念认识更为全面，初步形成了小学生数学模型思想建立的教学模式，即“情景的创设——知识的探索——建立模型——解释与应用”的基本框架；掌握了小学生数学模型思想建立的方法与技巧。 

结题报告

一、课题背景及界定

课题的背景：

1.“模型思想的建立及应用”在小学数学教学中的必要性。

模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》新增的核心概念。新课标将“模型思想”列入10个核心概念之一，可见关于让学生在数学学习中理解数学模型的含义，学会建立数学模型，并利用建立的数学模型解决问题是十分必要的。同时也可看出，模型思想的建立和培养也是学生在义务教育学习阶段数学课程的学习中最应该培养的数学素养之一，它是促进学生发展的重要方面。因此，在数学教学的过程中，应该根据教学实际，将其列入课堂教学的目标，与教学内容紧密联系起来。

2.现阶段教师对“模型思想”的认知程度现状。

目前的现状是，教师在课堂教学中 “模型思想”的渗透意识淡薄，对“问题情境-建立模型-求解验证”的建模过程不重视。主要体现在部分教师认为运用“模型”解决问题会让学生有生搬硬套的可能；还有教师认为利用该模式教学会因为部分学生的合作学习和自主交流能力较弱，不能很好地主动学习，纯粹是在浪费时间。

即便是部分教师教学实践中能有意识的渗透“模型思想”， 但没有理解其真正含义，因此在实践中总是避重就轻。在与生活联系方面，更多的是为联系而联系，是浅表性的，淡化了将“生活问题”进行“数学化”的处理过程，价值取向有偏差、不清晰。热衷于算法多样化等具体的操作，认为多样化的程度越高越好，缺少对多样化算法的共性分析、提炼及优化的过程，不能形成具有稳定性的一般算法模型。探究、合作拘泥于形式，缺少必要的引领和指导，很少将这些学习方法与建模联系起来。练习是单纯的技能训练，机械重复，没有“建模”和“用模”的痕迹。

 课题的界定：

 数学模型：数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物地特征，数量关系和空间形式的一种数学结构。

模型思想的建立：即把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题。数学知识的这一运用过程也就是数学建模。小学数学建模主要是指小学数学学习中，用“模型思想”来指导数学教学，不断让学生经历从具体事例或现实原型出发，逐步抽象、概括、建立起某种模型并进行解释和运用，从而加深学生对数学的理解和感受，提升他们数学学习的能力。

模型思想的应用：即应用已确立的模型解决具体的问题，从数学问题的结构分析，应包含三个层次的应用：第一个层次，应用模型解决表层结构相同的问题；第二个层次，应用模型解决深层结构相同的问题；第三个层次，模型结构的拓展。

二、理论依据及意义

1.理论依据

（1）辩证唯物主义认识论

实践的观点是辩证唯物主义认识论的基本观点。一个正确的认识，往往需要经过由实践到认识，再由认识回到实践的多次反复才能完成。“理论的基础是实践，又转过来为实践服务”。数学产生于人们的生活和生产的实际活动中，它所形成的理论应当经得起生活和生产实际的检验。学生学习数学知识的过程是一个认识过程，也应遵循“实践——认识——再实践”的原则。数学建模的实质体现了认识的辩证过程的两次飞跃。第一次飞跃是从实际应用问题中产生感性认识，然后运用数学知识能动地发展到理性认识，建立起数学模型；第二次飞跃是把所得的数学结果，经过科学验证后再来指导实践，这正是从理论认识到实践的过程。数学建模促使学生由感性认识的直接性和具体性逐步向理性认识的间接性和抽象性转化，从而更深刻更普遍地揭示客观事物的本质。

（2）数学建模理论

按照徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中的提法，可以对数学模型作这样的解释：所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。即凡一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程以及由公式系列构成的算法系统等等都可称之为数学模型。

数学建模是对科学技术领域、经济管理、生产实际等现实生活中所遇到的实际问题，利用数学的思想、方法、知识解决的过程，主要程序如下所示：

    从中可以看出，数学建模的关键是将实际问题数学化，数学化不仅需要学生有较深厚的基础知识，还要有丰富的想象力和联想力。数学建模的过程，就是一个不断探究、不断创新的过程，也是一个广泛开展社会调查，接触社会、接触实际的过程，即实践能力培养的过程。因此，数学建模是培养学生创新精神和实践能力的一种最有效的途径。这里的“实际问题”已不单纯是数学问题，它涉及到其他学科的知识和生活知识，这就促使学生围绕实际问题查阅资料、收集信息、整理加工、获取新知识，从而既拓宽学生的知识面，又培养能力。在建模过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰好又是学生的分析、抽象、综合、表达能力的体现。

（3）建构主义的理论

建构主义学说认为，小学数学学习是一个主动建构知识的过程。对学生来说，获得数学知识需要每个人类似的再创造过程。学生学习数学的过程不是学生被动地吸收课本上的现成结论，而是一个学生亲自参与的充满丰富、生动的思维活动，经历一个实践和创新的过程。具体地说：学生从“现实数学”出发，在教师的帮助下自己动手、动脑做数学，用观察、模仿、实验、猜想等手段收集材料、获得体验，并作类比、分析、归纳，渐渐形成自己的数学知识。这也就是一个数学模型的建构过程。

2.意义

（1）“模型思想的建立及应用”能提高数学课堂的效率。

（2）“模型思想的建立及应用”可以提高学生的数学素养。数学模型的建立的过程可以使学生的多方面得以培养，包括基本知识技能的掌握，一些基本的思想方法的掌握，还能得到一些经验方面的积累，全面提高学生的数学素养。

（3）“模型思想的建立及应用”能培养学生的应用意识和创新意识。

综上所述，将“模型思想的建立及应用”引入小学数学教学中是必要的可行的，对教学起着积极的促进作用。

三、研究的过程与方法

研究过程

第一阶段：准备阶段

1.确定课题。根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的相关理念，结合现阶段教师对“模型思想”的认知程度及学生对“数与代数”领域“模型思想建立及应用”现状分析，确定的研究课题为《小学数学数与代数领域模型思想的建立及应用策略研究》。

2.理论学习。了解《义务教育数学课程标准（2011年版）》的相关理念及与本课题相关的国内外已取得的研究成果，明确本课题研究的重要意义。

3.现状调查。对本镇教师及学生进行抽样调查，了解教师对“模型思想”的认知现状及学生对“数与代数”领域“模型思想建立及应用”的认知现状。

4.制定方案，对方案进行研讨、修改、定稿。

5.撰写开题报告。

第二阶段：实施阶段（2015.8—2016.1）         

1.教学实践。设计、收集比较典型的“模型思想的建立及应用”的课堂教学案例，寻找数学建模的规律和问题。

2.案例分析。根据本课题研究的“数的认识”、“数的运算”、“常见的量”、“式与方程”、“探索规律”五大板块的内容，结合教学实际，开展说课、听课及评课活动，探讨实践中取得的成效和存在的问题。

3.交流小结。开展校级研讨活动，听取同行意见，进一步补充和修正研究方案，对教学实践中形成的初步结论进行总结、应用，并根据应用结果，不断修改完善。

4.资料汇编。汇编常见的典型的数学模型，得出小学数学“数与代数”领域“数的认识”、“数的运算”、“常见的量”、“式与方程”、“探索规律”五大板块中 “模型思想的建立及应用” 的基本特征。

5.撰写论文。

第三阶段：总结阶段（2016.2—2016.6）  

1.汇编典型的小学教学中“模型思想的建立及应用”教学的案例。

2.撰写《数学模型在高年级数学课堂教学中的应用探究》的研究报告。

研究方法：

1.本课题以行动研究法、案例研究法、经验总结法为主

（1）行动研究法：制定研究实施方案，观察和分析学生数学学习方法和“模型思想的建立及应用”的情况，及时调整和修正研究方案，使教师和学生在“模型思想的建立及应用”中共同学习和成长。这也是本课题拟解决的关键问题：开发适合教师和学生口味的 “模型思想的建立及应用”教学序列活动内容，教师在学生 “模型思想的建立及应用”的过程中进行有效的指导与评价。

（2）案例研究法：以一些典型的“数的认识”、“数的运算”、“常见的量”、“式与方程”、“探索规律”类新授课为研究的案例，通过对案例的分析，剖析各类课的教学过程，让学生经历“提炼问题-建立模型-应用模型”的过程。

（3）经验总结法：定期上研讨课，及时分析、反思，不断地交流、改进、总结经验，形成材料。

2.本课题以文献研究法和调查分析法为辅

（1）文献研究法：收集国内外小学数学“模型思想的建立及应用”方面的研究理论与实践探索方面的资料，进行分类、整理，并认真学习，指导本课题的研究。

（2）调查分析法：对我镇的学校开展抽样调查，了解教师在课堂教学中对“模型思想的建立及应用”存在的问题；了解学生学习数学的兴趣，分析学生对“模型思想的建立及应用”存在的认知障碍。

四、研究结果与成效

（一）研究结果：

1.整理出了小学阶段十二册内容中数与代数领域“建模思想”可渗透的知识点：

（1）小学数学数与代数领域中的模型如下表。

（2）在小学高年级教材中的呈现情况：

（3）概念类：

（4）规则类：

2.撰写了教学论文《小学数学数与代数领域模型思想的建立及应用策略》；撰写的教学案例《乘法分配律》、《鸡兔同笼》、《比例尺》、教学随笔《小学数与代数领域渗透模型思想的案例与思考》等。

3.总结出小学数学数与代数领域模型思想的建立及应用四步骤。

（1）精选问题，塑造模型

数学模型的建立以具体问题为载体，而且学生在建模的过程中要接触多侧面、多层次的丰富的现实问题模型。所以，选择的问题要能激发学生建模的兴趣，要典型，有代表性。小学数学中的法则、定律、公式等都是一个个数学模型，如何使学生通过建模形成数学模型，其中一条很重要的途径就是把生活原型上升为数学模型。因此，教师有目的、有意识地创设能激发学生创造意识的各种情境，能促使学生产生质疑问题、探索求解的学习动机，从而使“事理”上升为“数理”，体现一个模型化的过程。

（2）发现共性，构建模型

只有组织学生在充分感知大量感性材料的基础上，经历观察、比照、操作等活动，逐步发现问题的共性，才能建立起数学模型。在建模过程中，为了既合乎实际问题又能求解，就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简,然后用不完全归纳法构建数学模型。这一过程恰好又是学生的分析、抽象、综合、表达能力的体现。

（3）深层探究，求解模型

教师在引导学生将实际问题数学化的基础上，进一步组织深层探究，求解数学问题。这一环节要让学生叙述解决数学问题的过程，交流解决问题的经验，从而达到解决问题、形成解决问题策略的目的，同时还可拓展模型，引领学生走向数学更深的本源。

（4）变换应用，检验模型

求得数学模型的解，并非问题得到解决，要结合实际，将求得的数学结果放到实际情境中去检验，看其是否是实际结果。通过深层探究，求得数学结果已是教师与学生的共识，但结合实际、检验结果，是教学时常忽视的地方，其原因之一，是教材中大量提供了已经过加工、合理的素材，缺乏检验的必要性。因此关键在于教师的引导和重视。

（二）研究成效：

1.培养了学生的数学素养

数学建模教学培养了学生运用数学的思维方式去解决日常生活中的一些简单实际问题的能力，进而培养了学生勇于实践、勇于探索、勇于创新的科学精神。主要体现在：

（1）通过建模教学，加深了学生对数学知识和方法的理解和掌握，调整学生的知识结构，培养学生自觉学习，深化知识层次，形成科学的、严谨的、应用的数学观。

（2）通过建模教学，引导学生收集、整理、探索、构造、转化、解决所熟悉的现实问题，认识和掌握数学与相关学科及现实生活的联系，感受到数学的广泛应用性，培养学生应用数学的意识和探索精神、创新精神。

（3）通过建模教学，培养学生善于从数学的角度发现生活中的问题、运用数学的方法分析问题、用数学知识与技能解决问题的意识和能力。

2.教师方面：

（1）对数学模型思想的概念认识更为全面。

（2）初步形成了小学生数学模型思想建立的教学模式，即“情景的创设——知识的探索——建立模型——解释与应用”的基本框架。

（3）初步掌握了小学生数学模型思想建立的方法与技巧。

小学生数学模型思想的建立需要一个过程，这不仅是一个主动学习、构建模型的过程，更是一个创新学习的过程，是学生渐渐形成自己的数学知识结构（知识模型）的过程。在这个过程中，主要的方法有：直观演示法、数型结合法、示意图法、还“原型”法、制作法、描述法、转化法、结构图法等。不同类型的数学知识，建模的方法不同，概念型数学用生活原型建模；方法型数学用符号化思想建模；结构型数学用变式理论建模。

总之，在实际数学建模中，无论用哪种方法，都应把握以下六点：建模的主体是学生；建模重在“经历”；建模的形式是多种多样的，不同的学生可以建立不同的模型；模型的价值取向是简洁实用；建模的要求不能太高；突出教师在建模中的指导作用。

五、存在问题及改进

1. 数学模型思想是一种基本的数学思想方法，但在课题实施过程中发现它似乎并不独立。因为在建模过程中很多的数学思想方法会有所体现，如数形结合思想、转化思想、分类思想、综合法、归纳法等等。有些数学知识本身就具有一种数学思想。那么，如何看待？

2. 建模具有两面性。直观、形象、简洁的一面有利于学生理解、掌握和应用。但固定、模式化的另一面，则限制人的思维。现在小学数学教学中不再十分严格地要求学生对公式、定律要固定化记忆，而主张学生通过个体的理解用个性化的语言描述。解决问题教学中也不再突出数量关系式，而注重解决问题策略的多样性。那如何扬其所长，避其所短？

在今后的工作中，我们将继续加强对相关理论的学习，深入领会内涵。通过自己的实践、总结、再尝试、再总结，探索出数学建模的方法，使学生容易理解和掌握建模思想，更好地体验数学内容中的情感，使原来枯燥、抽象的数学知识变得生动形象。 

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2] 《义务教育课程标准（2011年版）小学数学案例式解读》  教育科学出版社  2012年3月

[3] 小学数学教学概论[M].北京：开明出版社，1998年4月：200-226.

[4] 王统增，怎样在数学课堂教学中切入数学建模[J]，科教新报(教育科研)，2011年07期

[5] 王丽兵.让智慧的光芒在课堂中闪耀——谈小学数学课堂中模型思想的培养[J].教学月刊（小学版），2008.8上.

[6] 许卫兵．磨·模·魔——小学数学教学中渗透模型思想的思考[J].课程·教材·教法，2012年第1期.