小学数学规则教学的过程与方法

7.2.1 数学规则学习的基本模式

（一）数学规则之间的关系

1、上位、下位关系

如果规则B包含于规则A，就说规则A是规则B的上位规则，规则B是规则A的下位规则。如长方形面积公式与正方形面积公式，前者是后者的上位规则，后者是前者的下位规则；大数－小数＝差与大圆面积－小圆面积＝环形面积，前者是后者的上位规则。根据已知规则，学习它的下位规则，称为规则的下位学习。一般地，下位学习较易，上位学习较难。如在长方形面积公式基础上学习正方形面积公式较易，而学习平行四边形面积公式较难。

２、并列关系

如果几个规则形式结构一致，内容相互并联，就说它们是并列关系。如：整除的商不变性质、分数的基本性质、比的基本性质，三者是并列关系。通过并列关系之间的类比来学习新规则，叫规则的并列学习。并列学习有助于学生理解新规则。

（二）数学规则学习的基本模式

（二）数学规则学习的基本模式

数学规则学习常用的学习模式有例证——规则和规则——例证两种。

１、例证——规则

先呈现与数学规则有关的若干例证，再引导学生观察、分析，逐步概括出一般结论，从而获得数学规则。例证——规则的学习模式与概念形成的学习类似，是数学规则的发现学习。

例如，学习长方形面积公式时，教师先向学生提供24个1平方厘米的小正方形，让学生把这些小正方形摆成长方形，最多能摆多少个？并将结果填入表中。再让学生思考，为什么最多能摆出这四种？从而发现长方形面积公式。

2、规则——例证

所谓规则——例证教学模式，就是指教师先向学生呈现某个规则，然后通过若干的实例来说明规则的一种教学模式。这种教学模式往往比较适用于规则的下位学习。其条件就是学生必须掌握构建规则的必要概念。例如，在学习了长方形的面积计算规则（公式）后，学生可以利用已构建的数学概念（正方形的特征以及正方形与长方形之间的关系等），直接获得正方形的面积计算规则（公式），然后再通过多个例证来进行验证（如采用数“面积纸”的方格的方式）。

需要指出的是，在小学数学的学习中，所采用的规则——例证模式学习，并不表示就是一种简单的接受学习，因为在教学中，通常不直接将规则呈现给学生，而通过对某一对象（或某一组对象）的本质特征的探究来引导学生去发现规则。因此，这样的学习仍然带有一定的发现与探究的成分。

7.2.2 小学数学规则教学的过程与方法

小学数学规则的教学一般要经过规则的引入、规则的建立、规则的巩固与运用等三个阶段。

（一）规则的引入

与数学概念的教学一样，数学规则的教学也要创设情境，让学生在有利于学习的课堂氛围中主动参与数学规则的建构过程。一般而言，规则的引入可以分为两种形式。一种是直接向学生展示规则，教学的重点放在分析和建立规则以及规则的应用方面。另一种是向学生提出一些供研究、探讨的素材，并作必要的启示引导，让学生在一定的情境中独立进行思考，通过运算、观察、分析、类比、归纳等步骤，自己探索规律，建立猜想和形成规则。

可采用如下一些方法去引入规则。

(1)用观察、实验的方法引入规则。教师提供材料，组织学生进行实践操作，通过动作思维去发现规则。　

(2)用观察、归纳的方法引入规则。

(3)由实际的需要引入规则。为了解决一些现实生活和生产实践中的问题，有时需要运用数学的方法，而这种数学方法往往会产生出很有用处的定理、法则。因此，由实际问题的需要，以问题的形式去探求规则，也是教学中常用的规则引入方式。

（二）规则的建立

数学规则的建立是一个在教师引导下，通过学生思维，主动建构数学规则的过程。要注意适应儿童的认知规律和接受能力，有利于学生理解、掌握概念，有利于促进学生智能发展，获得积极的情感体验。

1、例证要有利于学生发现规则、发展智能

例证的选择和呈现方式影响学生的学习积极性、思维深度和规则发现的难易程度。例如，在学习长方形面积计算方法时，教师给出几个长方形，让学生量出长方形的长和宽，用摆小正方形的方法测量它们的面积，再把结果填入表中，这就有利于学生通过观察，概括出规则来。

2、由直观到抽象，由个别到一般

在使用例证——规则学习模式时，为促进学生发现，一般先安排直观形象的演示或实验，让学生在观察的基础上，进行分析、综合、抽象和概括，进而发现数学规则。在使用规则——例证学习模式时，一般也不是以抽象的逻辑推理的方式进行，而是以具体的、个别的事例，支持学生思维。例如梯形面积计算规则学习，是在安排了学生剪拼梯形的实验活动基础上，让学生发现多种推导方法，去完成公式推导过程的。

3、紧密结合例证，逐级抽象概括

儿童的抽象概括能力一般较弱，通常可以采用多级抽象的方法，从例证中抽象概括数学法则。在例证呈现时，就要为抽象概括法则埋下伏笔；抽象概括时，要紧密结合例证，先抽象出个例的计算方法，再推广到一般的数学规则。

例如，在学习两位数竖式加法时，通常可采用这样的程序：

（1）计算34+24。摆小棒的方法，暗含着数位对齐。从“3捆与2捆相加”，“4根与5根相加”，暗含着“个位与个位相加”、“十位与十位相加”。紧接着，要结合摆小棒，引导学生思考：如何用一个算式表示刚才的相加过程？抽象出34+25的竖式写法。

（2）计算34+28。先让学生用小棒摆一摆，让学生感知，4根加8根得12根，把10根捆成一捆，移到“捆的下方”，暗含着“满十进一”。紧接着，结合小棒的摆法，思考在算式中应如何表示“满十进一”？抽象出34+28的竖式写法。

（3）计算46+24。想一想怎样列式？先算什么？后算什么？怎样算？

（4）提问：笔算两位数加法，应注意什么问题？经过学生发言、补充、修改，得出：“相同数位对齐，从个位加起，个位相加满十，向十位进1”的两位数加法法则。

4、突出算理，以理驭法

学习数学规则，不仅要知道该怎样算，而且要知道为什么这样算，使学生明白算理，进一步理解数学规则。如有必要，可继续思考，在不违反算理的前提下，还可怎么计算？鼓励学生以自己喜欢的方式进行计算。

（三）规则的巩固和运用

新规则建立之后，要及时安排练习，巩固和运用新规则。要避免让学生机械运用程序规则，减少简单重复的、单纯的技能性训练，应注意以下问题。

1、加强练习的目的性

加强练习的目的性，是避免重复的机械训练的有效方法。让学生明了练习目的，感受到练习的意义，可提高学生的练习兴趣和练习效率。练习的形式通常有：

（1）巩固练习。一般在新规则建立后，要组织适量的直接应用规则的基本练习，以帮助记忆新规则。

（2）重点练习。许多新规则建立在旧规则之上，其中有些是旧规则的原有内容，新就新在一个点上，这一点即是新规则的重点。此外，容易与其他规则混淆的易混点，容易出现错误的易错点也是新规则的重点。围绕新规则的重点安排练习，可以达到以少胜多的训练价值。

例如，在学习小数乘法法则中，积的小数点位置确定是全新点，也是易错点。为此，可设计如下练习：已知68 24=1632，那么6.8 2.4= ， 0.68 0.24= 。

（3）纠错练习。即学生作业中的错误，要及时发现、及时纠正，有计划地组织纠错练习。

（4）发展练习和综合练习。为发展学生数学思维能力，培养学生综合运用知识的能力，还应安排一些有意义、富有挑战性的发展练习和综合练习。

2、创设有趣味的练习情境

单纯的技能练习没有情节，枯燥乏味。为练习安排实际的生活背景、游戏情节、竞赛气氛、探索手段、采用多样化的练习方式，可以调动学生练习各级性，提高练习效率。

3、练习设计要有坡度

练习设计要由易到难，一般先安排一定数量的基本练习题，再安排改变呈现形式的变式题，需要认真思考的发展题，最后安排综合运用知识的综合题。还可适当安排发展学生思维的思考题。

4、练习分量适当，时间分配合理

没有一定分量的练习，学生很难形成应用规则的技能。练习分量过大，会增加学生负担，使学生失去兴趣。一次练习的时间不宜过长，一般把学生练习与教师讲述、师生互动相互穿插进行。

5、练习要有一定弹性

对于不同层次的学生，练习要求不同。布置练习作业时，要有面向全体学生的必作题，也要有些供学有余力的同学选做的选作题和思考题，使各层次的学生都获得发展。

7.2.3 小学数学规则教学中应注意的问题

（一）重视算法的多样化

由于儿童数学能力的水平差异，以及他们对数的认知模式的差异，在运算中的思维推理过程会有较大的差异，这就形成了不同儿童的算法的多样化。算法的多样化，不仅是由于这些客观原因所形成的一种客观的现象，同时，倡导算法的多样化，也是发展儿童运算思维的一条有效的途径。因此，倡导算法的多样化，就能促进儿童形成独立的、开放性的思维。

例如，在学习一位数乘法时，面对教师呈现的问题情境：“一个小皮球要12元，4个这样的皮球要多少元？”学生遇到了这样一个算题：12 4。于是，教师鼓励学生自己去尝试解决这个算题。结果，不同的学生得出了许多不同的算法：

（1）12+12+12+12=48

（2）4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48

（3）12 2+12 2=48

（4）6 2 4=6 8=48

（5）（6+6） 4=6 4+6 4=48

（6）12 2 2=24 2=48

（7）12 4 50

（8）10 4+2 4=40+8=48

（9）10 4+4+4=48

（10）10+10+10+10+2+2+2+2=48

（11）4 10+4 2=40+8=48

显然，这些算法都显示不同学生对算题的不同思考，相对于算法（1）、（2）来说，这些学生对算题的理解是建立在加法意义上的，因此，思考的策略也就较多地倾向“加”的运算；相对于算法（10）的学生来说，虽然他们对算题的理解也是建立在加法意义上的，但是能显示出对数之间关系（如数的组合等）的认识较为清晰；而对于使用算法（3）、（5）、（8）、（9）、（11）的学生来说，虽然他们对算式的理解主要也是建立在加法意义之上，但是，可以发现他们对数之间关系的认识似乎更加精细些，而且已经构建了初步的“转化思想”。当然，如果更具体地去分析，算法（8）与算法（9）也有明显的差异，前者基于乘法意义的理解更多些，而后者基于加法意义的理解更多些。同样的，算法（9）与算法（11）也有区别，虽然两者实际上都已经将12 4看作了4 12，摆脱了对具体情境的依赖，初步具有了等量变换的思想，但是，后者的思考似乎基于对乘法意义的理解更多些；对于使用算法（4）、（6）的学生来说，可能他们对数的关系认识更为清晰，而且思维中已经开始采用了类似“分解因数”策略，以“化归”的数学方法来解决“难题”；而对于使用算法（7）的学生来说，明显可以感受到他们对策略的思考大于对精确结果的思考，数的位置感是比较良好的，而且善于在实际情境中运用自己的运算技能。

当然，教学中，目标不能仅仅停留在学生能给出多少种不同的算法，第一是要求学生按自己的理解给出自己认为最好的算法，而不能一味地“求异”，反而抛弃了自己真实的理解；第二是要求学生在给出自己的算法后，能有条有理地推理、有依据地作出解释和说明，尤其要能说出自己最初的思考过程，这样才能真正起到发展儿童思维的作用。

同时，以下两个问题值得探讨：

（1）在规则学习中除了需要给学生一种经济有效的算法之外，是否还需要鼓励这种算法的多样化？也就是说，如何处理算法的多样化与优化之间的问题。这一方面涉及是否能真正注意到儿童学习水平及其策略形成的差异性的问题，即儿童有着算法多样化的可能。另一方面还涉及是否能真正为学生构建一个独立思考和创造性思考的空间的问题，即算法多样化不是一种追求的形式，其价值在于激发学生的独立思考和思维的创造性。

（2）在规则学习中鼓励算法多样化了，是否还需要给学生一种经济有效的算法？也就是说，如何处理算法的一般化与特殊化的问题。一方面，统一的标准化的算法是否是每一个学生都必须理解与掌握的定向技能目标？还是仅仅为学生提供一种思考上的方向？另一方面，统一的标准化的算法在何时呈现？以何种方法予以呈现？有一点是可以肯定的，在实际情境中，每一个人的算法是不会完全一样的，因此，教师可以向学生呈现自己认为较经济有效的算法，而学生完全可以保留自己认为经济有效的算法。

（二）重视估算

估算在日常生活和生产中有着十分广泛的应用，是未来公民必备的数学技能之一。如外出购物、承包一项工程、到某地出差等都需要用到估算。估算的方法灵活，策略多样化，有利于发展学生思维的灵活性和敏捷性，也是培养学生数学素养的重要手段。

首先要使学生形成估算意识。鼓励学生在计算前通过估算预测出结果，计算后用估算检验结果的合理性；经常安排结合生活实际问题的估算活动，让学生体验估算在日常生活中的应用价值。这样，逐步培养学生的估算意识，使学生养成估算习惯。

其次要使学生学会估算方法，形成估算的技能。估算没有固定的法则，但其方法也有一定规律性，教师应组织学生交流估算方法，比较估算结果的误差，结合具体情境对估算方法进行评价，使学生积累经验，逐步掌握一些估算的方法。

例如：小明家养鸡收入243元，养猪收入479元，估计这两项收入一共多少元？

学生的估算方法可能有下述几种：

（1）200加400等于600，43加79大于100，因此它们的和比700多一点。这种方法分段估算结果的下限，可称为“分段下限估算”。

（2）243小于250，479小于500，因此，它们的和比750小。这种方法是取两个加数的过剩近似值，估算结果的上限，可称为“上限估算”。

（3）243加479小于300+500=800，同样是取过剩近似值，但只保留高位。这个方法比方法（2）简便快捷，但精确程度不如方法（2），可称为“高位上限估算”。

（4）243加479大于200+400=600，这种方法是取两个加数的不足近似值，估计结果的下限，只保留最高位，可称为“高位下限估算”。

（5）243大于200，479小于500，因此它们的和在700左右。按四舍五入的方法取近似值，只保留最高位，可称为“高位四舍五入估算”。

（6）200+400=600，43大于40，79小于80，40+80=120，因此它们的和在720左右，可称为“分段四舍五入估算”。

（7）243大于240，479小于480，它们的和在240+480=720左右，可称为“多位四舍五入估算”。

按照取近似值的方法划分，估算方法可分为：上限估算、下限估算、四舍五入估算。按照保留的数位划分，估算方法可分为：高位估算，多位估算，分段估算。不同估算方法，其运算的难度不同，准确度也不同。哪种估算方法适当，要根据问题的性质确定。如上街购物，估计带的钱数，只能采用上限估算，如果需估算准确一些，需采用多位估算或分段估算，否则只需采用高位估算。

需要指出的是，儿童估算技能的形成，需要有两个条件：第一，教师在规则教学中要通过多种方式和途径，不断强化学生的估算意识；第二，需要教师经常创造条件，使学生循序渐进地形成这种技能。