第一章  三角形的证明    第4节    角平分线（1）

讲课人      杨芳

【学习目标】

1. 掌握角平分线的性质定理及其逆定理——判定定理的证明，会用这两个定理解决一些简单问题；

2. 经历角平分线的性质定理和判定定理的证明过程，体会类比的模型思想；

3. 经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展抽象思维能力.

【重点】角平分线性质定理及判定定理的证明.

【难点】角平分线性质定理及判定定理的运用.

一、自主学习

1.角平分线定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

2.用尺规作∠AOB的角平分线。

 作法：①以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M, N.   

http://s2/mw690/003zllLGzy6JgjjCQxP21&690

②分别以点M,N为圆心，以大于1/2MN长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

③作射线OC.

3. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

4. 点到直线的距离：从直线外一点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长度叫做点到直线的距离。

5. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

6. 角平分线的判定定理（思考：为什么强调“在一个角的内部”）

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

7. 互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题． 

二．新课讲解

1．角平分线的性质定理

语言叙述：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

已知:如下图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E.

求证:PD=PE.

http://s12/mw690/003zllLGzy6JgjEMJPt4b&690

证明:∵PD⊥OA      PE⊥OB,

     ∴∠PDO=∠PEO=90°

   又∵∠1=∠2，OP=OP

     ∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)

2.角平分线的判定定理

语言叙述：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

已知：如图,在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，

求证：点P在∠AOB的角平分线上．

http://s8/mw690/003zllLGzy6JgjMqWNx37&690

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

　　　∴∠PDO=∠ PEO=90°．

　　　在Rt△ODP和Rt△OEP中

　　　OP=OP，PD=PE

　　　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．

　　　∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)

3.性质定理的表示及用法

①文字表示： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

②图形表示：如下图

http://s11/mw690/003zllLGzy6JgjRvG0G4a&690

 

 

③符号语言表示：

∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E

∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).

用途：可用来证明两条线段相等.

4.判定定理的表示

①文字表示：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

②图形表示：如图

http://s15/mw690/003zllLGzy6JgjT1hw28e&690

③号语言表示：

 ∵PD=PE, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E

 ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在

这个角的平分线上).

用途：可用来证明   ①两角相等     ②点在直线上(或直线经过某一点)

三．巩固理解（判断正误）

http://s12/mw690/003zllLGzy6Jgk8LBjR6b&690

1.如图： ∵ AD平分∠BAC (已知)                               

          ∴BD=CD（角平分线上的 点到这个角的两边的距离相等）

2.如图： ∵ BD⊥BA,CD⊥AC, 

           AD平分∠BAC (已知)

        ∴ BD=CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）

3.如图： ∵ BD⊥BA,CD⊥AC, (已知)                               

          ∴BD=CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）

4.如图： ∵ BD=CD (已知)

         ∴ AD平分∠BAC （在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

5.如图： ∵ BD⊥BA,CD⊥AC, (已知)

         ∴ AD平分∠BAC （在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

6.如图： ∵ BD⊥BA,CD⊥AC, BD=CD(已知)

        ∴ AD平分∠BAC （在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

四．范例讲解

1.△ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足

分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.

2. 已知：如下图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：EB=FC.

http://s6/mw690/003zllLGzy6JgkgDpAx05&690

 

五．思考题

如下图，求作一点P，使PC=PD,并且点P到∠AOB两边的距离相等.

http://s10/mw690/003zllLGzy6JgkMnBHj59&690

 

 

六．练习

1. △ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，求点D到AB的距离是多少？

2.在 △ABC 中，  ∠ C = 90°， DE⊥AB， ∠1= ∠2，且AC=6㎝， 那么AE+DE=(          ).

http://s16/mw690/003zllLGzy6Jgl3WGF9df&690

3.如图：PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,PD=PE,∠DPO= 60°， 则∠DOE为多少度？OE与哪条线段相等？

七．课堂小结, 畅谈收获：

(一)角平分线的性质定理

(二)角平分线的判定定理

(三)性质定理与判定定理的关系   

（四）角平分线的性质定理可用来证明：两线段相等.

（五）角平分线的判定定理可用来证明： ①两角相等   ②点在直线上(或直线经过某一点)

八．作业布置：①习题1．9第1，2，3题．②导学案24—25页训练学案。