《数学归纳法》教学案例

一、教学目标：

1、知识和技能目标

(1)．了解数学归纳原理；

(2)．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题； 

(3)．初步掌握数学归纳法的适用范围及证明步骤；

(4)．体会归纳演绎推理的思想.

2、过程与方法目标

通过对归纳法的引入，说明归纳法的两难处境，引出数学归纳法原理，使学生理解理论与实际的辨证关系。在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力,学会观察——归纳——猜想——证明的思想方法，能用总结、归纳、演绎类比探求新知识。

3.情感态度价值观目标

通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养他们手脑并用，多思勤练的好习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。初步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。

三、教学方法：师生互动讨论、共同探究的方法

四、教学手段：黑板讲解常规教学。

五、教学过程：

(一)、问题引入

问题1：对于数列{a_n}，已知a₁ = 0，a_n+1=  ( n = 1,2,…) , 求通项公式a_n .    

设计意图：给出问题，使学生在已有认知基础上，产生思维活动，得到需要引入新方法解决问题的认识，并为新方法实质的揭示预热、奠基。

学生活动后，展示学生下面所得：

a₁ = 0；

a₂ = =；

a₃ = =；

a₄ = =；

… …

猜想a_n= ( n = 1,2,…).

上面猜想正确吗？如何证明a_n=？

设计意图：使学生认识到自己原有的证明方法不能证明猜想，需要引入新的证明方法，同时，使学生先体验该猜想过程中，存在递推模型。

师生交流后，教师概括得：

1）我们只能证明n = 1, 2, 3, 4时猜想成立，不敢肯定它对后续的项也成立，猜想需要证明；

2）这是一个与正整数n有关的命题，这个命题似乎可以从n = 1开始一个个往下证，但由于正整数个数的“无限”，实际上完成不了，即原有的方法证明不了猜想的正确，需要引入新的证明方法。

(二)、观察发现

问题2. 观察问题1解决的过程，你有什么发现？

设计意图：利用学生前期思维活动结果，使学生注意力由过程转向过程中存在的递推模型，能关注模型中存在的特点，发现解决方法。

学生思考后，呈现：

问题1即为：已知a₁=0，a_n+1=( n = 1,2,…) , 求证a_n =.

教师提醒：

解决时，已经做到：当n = 1时猜想成立当n = 2时猜想成立当n = 3时猜想成立当n = 4时猜想成立。我们发现该过程存在着递推关系。

(三)、依托实例

演示多米诺骨牌倒下过程。（带着上述未解决问题请同学们来观察这个游戏）

问题3. 能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

设计意图：从学生熟悉的现实前景中再次得出归纳原理，也使学生对数学归纳法的理解有一个熟悉的实际问题作为依托。(学生先思考)

师：全部能倒下，需要

“第一块倒下第二块倒下”成立；

“第二块倒下第三块倒下”成立；

“第三块倒下第四块倒下”成立；

… … ；

“第k块倒下第k+1块倒下”成立；

… … ；

       这是一个递推关系，归纳可得

“第k块倒下第k+1块倒下”成立（k = 1, 2, …), 且保证第一块倒下。

即全部倒下的条件是：

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

(四)、得出概念(通过类比多米诺骨牌全部倒下的条件)

设计意图：看看学生通过对问题的分析，为引入数学归纳法的概念做准备。在学生交流基础上，给出数学归纳法的概念及具体证明步骤（板书）

定义：对于由不完全归纳法得到的某些与正整数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：

（1）（归纳奠基）：验证当n取第一个值n₀ (例如n₀=1)时命题成立；

（2）（归纳递推）：假设当n=k(k∈N^*，且k≥n₀)时命题成立；（归纳假设）

利用它证明当n=k+1时命题也成立.（归纳证明）

由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法．

注意：

a. 用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的数学命题；

       b. 用数学归纳法证明中两个基本步骤缺一不可；

c. 数学归纳法的本质：无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）。

问题4. 用上面所得的方法证明问题1（同教材，板书）并回答归纳推理与数学归纳法的区别是什么？

设计意图：运用新方法解决问题，初步认识其证明步骤，为掌握方法提供亲历的操作体验。

(五)、再认原理

例1. 证明：首项为a_1, 公差为d的等差数列{a_n}的前n项和公式为：

                               .

          例2. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n=的第二步骤中如下书写：假设当n=k(k∈N^*，且k≥n₀)时命题成立，即：1+2+3+…+k=,则

当n=k+1时，1+2+3+…+k+(k+1)=(利用等差数列求和公式可得)正确吗？

设计意图：借助问题解决，进一步熟悉数学归纳法的操作步骤，在成功运用数学归纳法基础上，借助恒等式证明问题，再次认识归纳原理。抽象的概念,在以上的铺垫下得以顺畅进行，突出强调数学归纳法的“两个步骤、一个结论”，并在例题中强调“数学归纳法”的程序化重点“凑假设”和“凑结论”

(六)、练习巩固（教材练习）

学生练习：等式1² + 2² +…+n² =  如何证明？

让学生先完成，教师展示学生用数学归纳法证明的过程，并进行评价，再次概括证明过程是“两个步骤，一个结论”，而后，教师小结：

1）具体操作时，由于上述过程是一个递推关系，而n=1时等式成立，因此，并没有对所有情况一一证明，而是取了它们的“代表”--- 递推关系，证明了“假设n = k成立，则有n = k +1也成立”是正确的。这使得实际证明步骤只有两步，而内在的是无穷多步。

2）新的证明方法---数学归纳法，有两个步骤：“归纳奠基”和“归纳递推”，这实际构成数学归纳法的“模型”，运用数学归纳法证明，关键是要把具体问题与转化为“模型”，此时，侧重的是找出其中要证的递推关系，并证明关系正确。由本题可知，题目可变，具体证明过程可不同，但面对问题，建立这样的模型的思想永远存在。

3）假设n = k时等式成立，即1² + 2² + +k² = ，求证n = k+1时等式出成立，就是要证1² + 2² + +k² +（k+ 1 )²=, 这是事先可以知道的，因此，数学归纳法证明时，需要先认清条件与结论，必要时，可以先写出条件与结论，再利用条件得出结论引导完成归纳递推步的证明。

    (七)、小结所得

思考并回答：

本节课我们学习了哪些内容又应用了哪些数学思想方法？

① 数学归纳法的概念及具体证明步骤：两个步骤，一个结论；

② 类比的数学思想方法；

③ 归纳演绎的数学思想方法（观察---归纳---猜想---证明）。

(八)、作业布置

              教材P₁₉习题1-4：1，2题