足球比赛点球大战中的博弈分析

2018年俄罗斯世界杯已经开赛，虽然到目前为止，还未进行过点球大战，但从往届世界杯的数据来看，点球大战出现概率极高，甚至在世界杯的决赛中都出现过点球大战定输赢的情况，比如：2006年德国世界杯决赛上，意大利就是通过点球大战以5比3的比分击败法国队捧得大力神杯。

点球大战可以说是足球比赛中最为精彩绝伦、紧张刺激的部分。如果球员们经过上下半场共90分钟，另外加上30分钟加时赛的比拼，仍未分出胜负，就只能通过短短几分钟的点球互射来一决高下。点球大战虽然残酷，但也不失为一种决出胜负的有效手段。点球大战充满着变数，这对于已经体力透支的球员来说，无疑是巨大的心理负担。球员走向球门线12码后，他会选择往哪个方向踢球？而守门员又将扑向哪个方向？毫无疑问，这属于一种博弈。在本学期的《网络、群体与市场》课程即将结束之际，我将根据在课中学到的方法和思路，对“足球比赛点球大战中的博弈”进行分析。

经济学著作《魔鬼经济学》的作者Steve Levitt曾经撰写过一篇分析点球的论文，影响深远，截至目前（2018.06.19），谷歌学术上显示引用次数为356次，见参考文献[1]。他们觉得，现实世界中的博弈理论可以帮助大家以独特的视角看待问题，而点球恰好就是博弈论在现实世界中的最为典型的例子之一。足球中的点球大战可以被看作是一个零和博弈，也就是说，有一支球队赢了，另一支球队必然就会输。就点球来说，决胜阶段是球员与守门员两人之间可量化的有限次重复博弈，它大体上遵循混合策略纳什均衡（Mixed strategy Nash equilibrium），也就意味着，即使球员知道对方守门员会扑向哪个方向，他也不会改变自身的射门方向。

具体来说，假设点球员将射门方向分为左、中、右三个，通过扔骰子决定射门方向，则每个方向被选择的概率均为1/3，而即使守门员知道点球员的方向是由扔骰子决定的，他也不能决定该从哪个方向进行防守。无论守门员做出哪种选择，防守成功的概率都是1/3，防守失败的概率为2/3，导致点球员可以得到2/3分。这样的话，还是比选择只向左侧方向踢的纯策略（pure strategy）要好，因为如果守门员摸清了点球员的策略，就可以扑对方向，虽然也会失手，但还是极大地提高了球被扑出的概率。若考虑这样的纯策略和混合策略的话，所有零和游戏里必然所有人都有最优策略，而纳什均衡就是所有人执行优策略的情况。

当然，在实际情况中，这样的考量未免过于简单。无论点球员的方向选择是否正确，都不能说球一定能进或者一定不能进。在论文[1]中，球员向自己习惯的左侧踢球比向右侧的进球率高：球员向左侧踢球的话，守门员即使选对了也有 63.6% 的概率进球；向右则是 43.7%。而守门员选错的情况也不是必进的，根据罚球员选择向左还是向右的方向有大约 5% 和 10% 的概率不进球。下图反映了点球员和守门员的选择对进球成功率的影响。

http://s11/bmiddle/003zgmTzzy7lo9MDP9U5a&690

图1 点球员和守门员的选择对进球成功率的影响

一个有趣的现象是，有网友做过数据统计[2]，点球环节是存在先射优势（first-mover advantage）的，历届世界杯、欧洲杯、美洲杯点球局先罚与后罚的获胜概率分别为58.8%：47.9%（由于个别数据缺失，导致相加胜率和不为100%）。数据统计见下图：

http://s2/mw690/003zgmTzzy7lo9RCZLX11&690

图2 数据分析体现出“先射优势”

　　因此，在我们日常生活中，若面临零和博弈的情况，最佳的做法是首先分析对手，对其各方面数据有一个比较全面的了解，根据统计结果来适当选择应对策略。正所谓“知己知彼，百战不殆”。

参考文献

[1] Chiappori P A, Levitt S, Groseclose T. Testing mixed-strategy equilibria when players are heterogeneous: The case of penalty kicks in soccer[J]. American Economic Review, 2002, 92(4): 1138-1151.

[2] [数据贴]关于点球决胜那些事！[EB/OL]. https://bbs.hupu.com/16693322.html.

[3] 世界杯点球大战数据解析:先罚胜率高 左脚胜右脚[EB/OL]. http://2014.163.com/14/0713/22/A12MRP8E000505HF.html.

[4] 点球大战：下一脚会射向哪？[EB/OL]. https://www.guokr.com/article/439025/.

[5] 《足球经济学》作者: 西蒙•库珀（Simon Kuper） / 史蒂芬•西曼斯基（Stefan Szymanski）

Zhang Can

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