对商除法运用简化口诀估商初探     

在学习商除法中，常见的估商方法较多，有用除数首位进行估商者，也有用除数首位加一或扩大除数的方法估商者，还有用口诀进行估商者，总的来看，熟练地掌握立商的方法是最主要的关键。为了提高计算技能，加快计算速度，求得准确商数起见，综合三十多年来个人学习心得，正对上述估商方法之不足，试图将商除法用几句简化口诀进行估商立商，以便初学者学习试用，共同为改进和完善商除法的立商作出努力。

一、          简化试商口诀的依据

按照除算特点，根据数学原理，把一个数（指除数）分成四等分，求出他的1/4、2/4、3/4、和4/4的商数值各是多少？这就为试商2、5、7、1（倍）个数找到了依据。因为分数1/4的商数值为0.25；2/4即1/2的商数值是0.5；3/4的商数值0.75；4/4的商数值是一（倍）。通过这一计算，利用确商数首就创编出上述四商和“商4”、“商9”（包括“商8”）等6句试商口诀，初步为减轻试商中思考负担提供了方便。

至于商数3、6两个数字，在实际计算中通过补商(试商2、5后)或退商（试商4、7后）解决，不需另立口诀了。

二、          除算前掌握的原则

1、  以被除数（及其余数）与除数的前两位数（以下简称两数）作比较进行除法演算。每一个除算题不论两数的多少，整数还是小数，都按此进行计算。两数若都是一位数进行计算时，可在其后补一零（0），则按两位数计算比较方便。

2、  除算布数时，必须顺便默记除数前两位数的一半值，以此作为试商的对比标准。即以被除数的前两位数与除数的前两位数进行比较，运用口诀来立商。

3、  除算前先从算盘左边第三档起摆上被除数，然后把除数置于算盘右边或另记纸上（最好默记心中），比较两数大小，运用以下口诀进行对照试商。口诀简明好记，不需死记硬背。

三、          估商置商

几倍隔商几，隔减除几次

被除数大于或等于除数的几倍，就在被除数最高位左隔一档商几，并从商右隔一档减去商与除数相乘的乘积（即减去除数几次）。

过半前商5，挨商减半除

被除数恰为除数的一半，或比一半稍大一点，就在被除数前“商5”，紧接着挨商减去全部除数的一半。口诀中的“过半”都是指一半或稍大一半言，以下口诀含义相同。

少半前商4，只减商除积

被除数略小于或接近于出书的一半，在被除数前可商“4”。在商“4”后减积时，可直减商与除数相乘的乘积，也可在商右隔档加除数一次，俟被除数大于除数的一半，然后在商右俟位减去全部除数的一半，这是因为减4等于加1减5（-4=-5+1），计算结果与商、除数直接相乘减积是一样的。除数位数较多时，这种计算方法有利于提高计算速度，且免去计算“商除积”之繁。

过半加其半，数前将“7”商

被除数的前两位数值约等于除数前两位数值的3/4的值（即除数的半数再加其半数的一半），就在被除数前商“7”。其具体判断法是：

1、大体上看出被除数较除数约小10-15左右就可商“ 7”。又被除数较除数约小20左右（被除数须在30以上），同样可商“7”。

2、在除数的一半值上默加上10，若被除数相当于默加后的值，这时就可以商“7”。如除数是40，在其一半值（20）上默加上数后即成30时，就可试商“7”。如30 ÷40=0.75是。

3.根据统计学分组原理，可以找出商“7”的规律：若除数在30以下，被除数较除数约小5；除数在30-50之间，被除数较除数约小10； 除数在70以上，被除数较除数约小20左右的情况下均可商“7”。

对后一规则不能很好掌握时，最好记住前两条，则商“7”问题都可迎刃而解，只要认清判断模式（下句口诀同义），大可不必拘泥于口诀，自然会得心应手。

  过半再折半，数前将“2”商

而除数前两位数在30-70之间，就可

直接商“2”。

前商“2”。其具体判断规则是：

1、凡被除数前两位数值在10-15之间（必须在10以上），而除数前两位数在30-70之间，就可

直接商“2”。

2、被除数前两位数值在16-22之间，而除数前两位数在70以上，同样可前商“2”。

3、若明显看出被除数的前二位数相当于除数一半值的二等分值（即除数的1/4的值，如除数是40，1/4即为10），则可得商“2”。计算纯熟时，已知除数的一半是多少？则一半再折半就会一目了然的。

对后一规则一时判断有困难时，请按前两条规则对照得商则历试有验。如遇商大、商小时，以退商补商去处理，以上口诀同此处理。

数近前商“9”，均商右减积

数近前商“9）指的是被除数前两位数小于除数前二位数，但接近与除数时，可前商”9”.

究竟数近的标准是多少?通过对大量除式的反复试算，发现它们之间相互制约的规律。即将被除数数首默加到它的此位上，这个加后的新值应视为出书的最大值，它形成了被除数和除数的数首相同和不同的两种数近情况。

1、   数首相同除数的最大值界限

凡两位数的最高数字（数首）相同，而被除数次位小于除数次位（次位相同就看第三、第四位，下同）时，就可前商“9”。究竟小到多少才能算数呢？它的界限是将被除数数首默加到它的次位上的新值就是除数的上限（最大值）。除数两位数在此限度内（或减小至比被除数次位数大一时）即可商“9”，否则只能商“8”，而商“9”不够乘减了。如被除数是10，除数须大一，这即10÷11=0.9091，默加规律是10=1=11.又如42÷46=0.9130（因42+4=46余类推。凡除数以43、44、45到46，都可商“9”。这4个数字互有联系，彼此接近，故在编口诀时用“数近”一词，确合题意。

《大全》出版后，拜读期间发现“数近”举例72÷78，说明“72”小于“78”，但两数只差“6”，叫做“数近”，笔者认为差“6”怎么说明两数又很接近，古云：差之毫厘，谬以千里，“数近”虽是珠算除法术语，但抒述就不能含糊其辞的一扫而过。编者“数近”举例有几点不足，笔者提出以求得共识，别让读者盲从，是为所瞩。

⑴两数数首相同，本为商9-8之模式，但除数还小一个“数近”要素，即除数应为79。从73、74、75、76、77、78、79都是连续“数近”的。

 ⑵编者指出两数相差“6”称为“数近”，实属侈谈，“6”既不能代表那几个“数近”，又两数相差之大，怎能说接近呢？笔者指出的7个数才能说明“数近”。但换一同头的除式，“数近”的个数必不同。

⑶两数同头或异头，除数超过最大值界限，只能商“8”或商“7”。异首除数超过最大值界限可参下节说明，一般不符合同头或异头的除式，其商是不具备“数近”规律的，一看除数请勿死搬硬套。如23÷26=0.8846、32÷41=0.7805。

    2、数首不同除数的最大值界限

     凡被除数小于除数而数首不同，但较接近于除数时，同样可前商“9”。小于或接近的标准是什么？按以上办法在默加后的数再默加上1的新值就是除数的最大值。如29÷32 =0.9063，即除数是（29+2）+1=32；再加39÷43=0.9071，即除数是（39+3）+1=43；又84÷93=0.9032，即除数默加规律是（84+8）+1=93，等等……若除数比默加后的新值大一时就只能商“8”，而商“9”就不够乘减了。通过计算得知，有8个两位数（18、27、36、…….81）等9的倍数当做被除数时，它对应的除数是既符合同头默加规律）可商“9”不能整除）36同头默加规律）可商“9”不能整除）36÷39=0.9231。又与不同头默加规律相吻合可商“9”，其后不带尾数，如72÷80=0.9。

   上述两种数近情况，都存在除数最小值（次位或第3、4位）比被除数的次位或第三、第四位大1的特点。这是被除数小于除数接近于出书的最低标准。如下例：

⑴数首相同10÷11=0.9091   42÷43=0.9767。

⑵数首不同29÷30=0.9667    59÷60=0.9833.

从⑵看来数首不同的被除数次位都是“9”，除数等于此数时，数首就有相同了，且为倍数关系，这是特例。一般情况下，即使两数数首不同，其最小值也是不违背这一规律的。否则，它的最小值与数首相同规律并无两样。被除数次位数小于9，如⑵例，默加后同样两数不通头。

按以上口诀所得试商，除几倍隔商隔减的减积除外，其余隔商均在商右挨商依次减积。减积档次的认定是乘减的关键，遇零时须空出零的档次，不得赶前错后超越零位。

四、          商的定位与商数准确的验证

商的定位是除算结果必须明确的主要问题，定位方法较多，一般都采用大众化的公式定位法。设M为被除数的位数。N是除数的位数，它是确定商是整数、小数和带零的位数。其定位公式：M-N...① M-N+1…②

1.         被除数首位小于除数首位时，则用公式①M-N；如234÷425=0.5506，即3-3=0，商应为0位数。

2.      除算前布数时须从算盘左起第三档起布被除数，才适应口诀的隔商和前商。根据“数大隔位商”（实为法数的倍数）的估商原则，商应在被除数首位档前隔一位立商。首位档必然不为0，故应选公式② M-N+1…立商。如496 ÷242=4.0496，即3-3+1商应为+1位数，又483 ÷ 21=20.1429，即3-2=1商应为+2位。实大于法不成倍数者，亦可采用②式，如256÷39=11.6923，即商应为+2位，带小数按确定商位，尾数应四舍五入。

3.      被除数各位与除数各位相等时，也可用②式M_N+1求商定位，如336÷218=1.1957，即3-3+1，商数为+1为带小数。一般都是实首比法首大1，两数位数不相等时也可用②式立商定位。

   4、被除数位数与除数位数都为负几位（即小数点后有几个0），但被除数的最高位（负几位）大于除数的最高位时，故用②来定位，即商数的位数为：-3-（-1）+1=-1位，即0.0009095÷0.0214=0.0425。

以上除式举例和商的定位公式基本上是联系在一起的，只要明确各自的特点，运算绝不会发生差之毫厘，失之千里之弊，除式范围都会在头大头小、同头异头、零位负位等数列之间，商的定位，公式①、 ②

  应用普遍，别见异思迁，反其道而行之终难获益。

     珠算的演算是保证运算结果是否正确无误，在运算后必须进行的一次检验，演算的目的在于及时发现错误，消灭错误，避免损失，这是财经人员不可违背的恪守职责，以竞完功。介绍人们常用的、行之有效的演算方法，总结经验，以利推广。

      长期以来乘除法互为逆运算，用乘法检验除法计算所得是否准确无误，人人认可为不二法门。但有两种检验方法，必须认真掌握，方可证明除法运算之正确无误。

1、除法运算除尽无余时，用商乘以除数应为被除数。但乘除进退数码之时不可错档，以防错讹，否则重新演算耗费精力实不可取。如102528÷384=267，以384X267，乘积为102528，与被除数相同，证明除法运算正确无误。

1、  除法运算除不尽有余数时，应用商乘以除数再加上余数为被除数。

如3.8÷0.0048=802………0.0004，

802X0.0048+0.0004=3.85，结果与被除数相同，证明除法运算准确。如对余数不再进行除算时，求的一定的商数后，按以下步骤运算即可求出余数802X0.0048=3.8496,3.85-3.8496=0.0004

（余数）但限定余数有几位精确度，一般都规定到0.01或0.001等，若商的精确度没有规定时就按精确到0.01的要求去做。这样所求出得商就是商的近似值，是公认无可置疑的。

2、  应用口诀的几点说明

1、为了减少乘减手续，提高运算速度，对商数9、8、7的乘减，可从商右被除数的次位起，分别加1-3次除数，挨被除数大于除数或等于除数时，再从商右挨位起（被除数首位）减去除数一次，其余数既为商数9、8、7分别乘减的结果。从数学原证明，减9等于加1减10（-9=-10+1）；减8等于加2减10（-8=-10+2）；减7等于加3减10(-7=-10+3)。

  2、商“5”减积时，可在商右被除数中依次减去各位除数之半。因为某数的5倍就是10倍的一半，等于这个数末位添个0，后除以2。凡遇除数是1、3、5、7、9数字时折半时把一位变为两位了，但两位数的末位都是5（个位数），这是乘积对位连环减积所要求的。因前数的个位就是后一数字的十位，所以，除数是1折半减积时，只能隔位减去5（即05以零补足位数）。或将某一奇数分离1出来，与后档数字并列成两位数折半而减积，还是比较简捷的。如12 ，472，596÷2=6,236,298.凡遇除数是2、4、6、8、各数字时，从本档起（挨商位即十位数）依次减去除数的一半，不必再用5去乘减。