重视四则运算的意义教学，以增强学生数感

连城县实验小学 吴声季

一、起因

有一次，我进课堂听课，教学内容是五年级的同分母分数加减法，发现教者完全抛开分数加减法的意义教学，只注重它们的算理和计算过程探究。因此，我有意在期末数学测试命题中插入一道题目（源于人教版五·下第110~111页的异分母分数减法例题）：

人们在日常生活中产生的垃圾叫生活垃圾。

食品残渣比危险垃圾多多少？算式为，

这个算式的意义：                      

                                        。

考后，我针对学生回答情况作了一番统计和分析，以期促进四则运算的意义教学。

二、结果

五年级五个班计350位学生，此题仅有4人描述基本符合减法意义，其中2人填“两个数的和是，其中一个数是，求另一个数”，2人分别用逆运算形式“一个数加是，求这个数是多少”“把减去一个数等于，求这个数是多少”来填写。其余学生中，空白状态的占10%，描写算理（6个减去3个等于3个，也就是）过程的占8.9%，解题思路（把食品残渣减去危险垃圾，就等于多多少）的占50%，叙述成已知条件和所求问题形式的占30%。

三、访谈

对五年级数学任课教师（教龄均十年以上）进行访谈，可知在同分母分数加减法教学中，五（1）班教师结合了具体情境，引导学生理解分数加、减法意义，概括出它们的意义之含义，但在异分母分数加、减法教学时就未渗透了。另三位教师则一笔带过，直接告诉学生分数加法或减法的意义与整数加法或减法的意义相同，也就是怎样怎样的而已。最后一位就是被听过课的。老师们认为现在笔纸测试没有这方面的内容；《课标》也淡化四则运算的意义教学要求；当学困生都会用减法解决实际问题时，还有必要考这种运算意义的表述题吗？即使学生会情境化表述意义，听起来也非常拗口，像“之乎者也”；同时前面年级的教师教到什么程度不清楚，反正你一年我一年就过去。不问不知道，一问吓一跳，可怕的还在后面。过几天，我又拿着教科书上的同分母分数减法例题—— “有瓶矿泉水，倒出了瓶。还剩多少瓶矿泉水？”向这些老师一一征答“－的意义”， 五（1）班教师认为：剩下与倒出的和是瓶，已知倒出了瓶，求剩下多少。其余的回答分别与后几类学生的描述情况相近。这着实令我汗颜。

四、要求

《课标（2011年版）》指出：“结合具体情境，体会整数四则运算的意义（第一学段）”“在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与除的互逆关系（第二学段）”。后者似乎无关整数、小数、分数四则运算的意义内容要求，其实，它们蕴涵在体会加与减、乘与除的互逆关系之中完成体验任务，获得相关经验。减法是加法的逆运算，已知两个加数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算；除法是乘法的逆运算，已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。

当学生问题解决时，重点是要分析已知信息和问题之间的数量关系，然后根据四则运算的意义选择适当的运算方法进行列式解答。由此可知，问题解决与四则运算意义紧密联系，四则运算的意义是数学的“根和源”之一，那么为了满足学生未来生活和进一步工作学习的需求，四则运算的意义教学目标逐步要达到：至少一半学生能结合具体情境描述四则运算的含义，阐述它们之间的联系。从多年辅导学困生实践过程中，让我明白学困生适当识记一些附有情境的四则运算意义，既能帮助他们迅速地解决一些实际问题，又能增强数感。

五、理解

我们先说一说“意义”。什么是“意义”？百度《词典》中这样诠释：“谓事物所含的思想和道理。”涉及“思想”和“道理”，就不那么好理解了，因为它们是抽象的，并不是实在的、具体的、直接可感知的“物件”。

那么，抽象的东西怎么理解？

其一，我们只能通过外在的多种表征方式来认识，观察、操作、讲解、交流都是可行的方式和途径。例如，分数乘法的意义理解，教师可以运用多媒体或传统手段，创设现实情境：一位工人师傅粉刷商品房屋的一面墙，每小时粉刷这面墙的，4小时粉刷这面墙的几分之几？然后，让学生找一找“小时粉刷这面墙的几分之几”在哪里？在前一问的基础上可以类推出用×。接着，结合操作，紧密联系分数的意义，帮助学生理解计算方法。在一张纸上，先涂出1小时粉刷的面积，然后说说是怎样找的，要将涂出的面积再平均分成4份，其中的1份就是小时粉刷的面积。这时可以说明小时粉刷这面墙的几分之几，就是求的是多少，从而引出×的意义。……根据上面讨论的结果，提出“小时粉刷多少？”先指一指，再交流。要求学生尽量完整地把操作过程和分析思路表述出来，教师再从中提取的意义。

链接在分数乘分数的实际教学中，教师很难让学生明白其中算理的分析过程，主要原因在于：其思维过程较长；需要学生有多角度看待同一问题的意识；画直观图又存在先画部分和后画部分的顺序问题，且过程复杂。于是，我制作了一个教具以辅助教学，取得较好效果。现介绍如下：

制作方法  

(A)取20块5×4 ×0.3cm的木片或塑料薄片；(B)在一装有底座的平木板上把(A)拼成一个长方形，如5×4的规格；(C)于(B)上粘贴一张大小刚好的白纸；(D)备一把小刀。

使用方法

①出示例题：一位工人师傅每小时粉刷一面墙的。小时粉刷这面墙的几分之几？（源自人教版义教材六·上）

 ②利用粉笔槽将教具斜靠于黑板上。白纸代表这面墙，教师用小刀尖沿竖方向分割出它的每个，并任选一个画上斜线。小时粉刷这面墙的几分之几，就是求的是多少，即用小刀沿横方向对这个划出4等分，涂色1份。如下图。

平木板

③换一个角度“看”出结果：教师顺势用小刀快速均分后为4等分，那么涂色部分此时是长方形的。然后，教师将操作过程图形化。

④学生在课本P10页上尝试涂一涂“小时粉刷多少”。

⑤又取一纸白纸，粘于（B）上。接着，教师用小刀示范分一分，给相应份数画斜线、涂色，启发学生明白涂色部分是长方形纸的。

其二，抽象的东西往往需要从多个角度去理解，也就是专家们说的“多元多维”，并且往往要多次反复才能形成一定的“意义”感。这样看来，第一学段分数和小数初步认识中重点让学生体会分数加减法的意义活动不能丢弃；虽然第二学段分数和小数的运算相对要求比较高，可是意义的领会过程还是不能省略，应采用有意义的启发方式教学。而减法、除法运算的各种具体情况较多，有些需要教师解读，以降低认知难度，简化学习内容。比如本文前面的题目，教师可以取下“危险垃圾”那块扇形，然后重叠在“食品残渣”上，问学生：这样相当于把食品残渣分成哪两部分？经启发学生一下子明白的含义：被分成和食品残渣比危险垃圾多的两部分，求后一部分用减法计算。

其三，数学教学意义上的理解不能只停留于经验上，不能总在具体的情境中绕来绕去，最终要脱离具体的情境，做一定的抽象。例如，六年级下册第六单元“整理和复习”之“数的运算”部分复习时，要求学生把下表中空缺的部分先举出生活中的实例再写出算式，然后在小组内互相说一说每个算式的意义，并思考：四则运算中的整数、小数、分数运算的意义有什么相同点？有什么不同点？试着用自己的话小结四则运算的意义。

六、贯通

新教材非常关注相关知识的内在联系，精心提供了一系列促进思维的素材，引导学生由此及彼，巧妙贯通已有的知识，以理解新学内容。

例如，在讨论分数除法意义时，引导学生根据有关图片信息提出数学问题，并列式计算。教师随着学生的发言，板书：每盒水果糖重100g，3盒有多重？100×3=300(g)。此时，教师不急于让学生将上题改编成除法计算的问题，而是利用自己的旁白：这道算式里已知两个因数的积是300，与其中的每个因数，当一个因数（在其下方相应位置）未知时，板书：（     ）×3=300或100×（     ）=300，再要求改编及列式计算。如果我们用千克作单位，这三道题又该怎么列式呢？从而导出分数除法，这样更好地帮助学生经历分数除法意义的形成过程。

以上用了“同数连加”的实际例子来说明。由于分数乘法的含义有了扩展，分数除法作为它的逆运算，具体含义也自然有了扩展，因此，也可以用“求一个数的几分之几是多少”的实际例子引出两道除法题来说明。只是后一类例子比较难理解一些，所以这单元的起始课教学暂不出现，比如留到本单元第2小节“问题解决”例1、2后的练习课里来融会贯通，采用刚才的办法再进一步体会分数除法意义及其另一叙述形式——已知一个数的几分之几是多少，求这个数的形成过程，教学效果非常明显。

七、改进

现在我们先来关心除法的发展经历，从中发现规律，为改进教学服务。

在认识整数除法时，分东西的现实经历目的在于把学生从现实世界引到数学的符号世界：从解决多次分东西的实际问题中抽象出除法意义的数学模型，让学生从中感到除法算式不再抽象，它的意义很具体，即表示“把12根香蕉平均分成2份，每份6根”或“把12根香蕉每6根一份，可以平均分成2份”的数学事实和操作过程。进而再用除法去刻画现实，把握现实。

在认识整数“倍”时，第一次发展了除法意义。

数学概念中的“倍”，代表着两个数量间的比较关系。一个数中包含了几个另一个数，我们就说这个数是另一个数的几倍。教材在二年级下册表内除法（二）[二上表内乘法（二）认识了一个数的几倍]安排学习“倍”，教师一般用“几个几”去讲，还可以用“份”去讲。“倍”的学习是学生第一次接触“率”，因此，学生学习时感觉非常困难，但它与分数、百分数、比之间有密切的联系，对学生后续学习具有非常重要的作用。从问题解决角度看，在日常生活与数学中，与倍密切相关的问题主要有三类：⑴求一个数的几倍是多少；⑵求一个数是另一个数的几倍；⑶已知一个数的几倍是多少，求这个数。那么，此时用表内除法（一）里讲的除法意义分析这些实际问题，就需要适时地文字格式化了。这里分两种情况，同种同类量相比较时，即表示（译为）“‘几倍’为平均分成几份”或“把一个数每另一数一份，可以平均分成几份”形式；同种不同类量相比较时，如：苹果个数是草莓的3倍，即表示（译为）“把苹果个数平均分成3份，每份个数相当于草莓个数”或“把苹果个数按草莓个数分出一份，可以平均分成3份”形式。这是除法一次不张扬地隐形拓展，具体被拓展成：一个数是另一个数的几倍，求几倍（另一个数）的运算了。它在整个小学阶段不断地渗透着。到“简易方程”单元，学生将接触“甲数是乙数的3倍”可以“设乙数为X，那么甲数为3X”的数量关系，通过方程思想使与倍密切相关的三类问题贯通起来。

可是，教材在三-五年段之间始终没有抽象除法意义的描述。突然，在六年级上期分数除法起始课学习时，教材才羞羞答答地隐约显现除法的意义—那里只见分数乘法与除法之间各部分之间的关系而已，至于真的要不要抽象分数除法意义还是由教师来决定！不过不抽象又不好办，到六年级下册第六单元“整理和复习”的“数的运算”教学时，教材首先抛出“我们学过哪些运算？举例说明每一种运算的含义”问题，这里包含除法意义。作为小学数学教师，你想回答这个问题吗？怎样回答清楚这个问题呢？学生又能听懂你的话吗？实际教学中，这个复习要点—体会运算意义被抛弃的可能性大，大家真正关心的是四则运算的计算法则。

从汉语的意义方面看，日常语言中的“倍”与数学的“倍”意义稍有区别。日常语言中，说到“倍”好像就是增加、扩大。例如，《现代汉语词典》对“倍”的解释是：“跟原数相等的数，某数的几倍就是用几乘某数”。一般当商大于1时，习惯说被除数是除数的多少倍；而随后学习遇到当商小于1时，就习惯地说，被除数是除数的几分之几，用分数来表达。事实上，从数学的角度看，上述两种情况（即增加、扩大；减少、缩小）都可以用“倍”说明，在数学上，“倍”与“比”本质上是一样的，只是应用的情境不同。数学与生活方面的歧义给教材编排、学生学习“倍”带来一定困难。同理除法意义也一样。怎么办？笔者建议：给前面的“几分之几”之后暂时添上一“倍”字，让三---五年级学生有一个统一的语言环境，以减轻学生理解负担。

这样，另一个问题便迎刃而解：随着“倍”的出现逐步将乘法的意义扩展了（四年级巩固完成）：求几个几是多少，便是求几的几倍了，当“几倍”是纯小数时还行得通，如：“一辆汽车每小时行40千米。它0.2小时行了多少千米？”算式：40×0.2，意义：40千米的0.2倍是多少，用前面介绍的教具演示理解算理和结果：40÷10×2=4×2=8（千米），接着用因数与积的变化规律发现计算方法。相应地除法意义拓展为：一个数是另一个数的几倍（含小于1倍的几分之几），求另一个数（几倍）的运算，是除法。这种叙述格式与低年级相近。同时，也可以反用刚才介绍的教具给除法意义以直观几何支撑。需要说明，这里的乘、除法意义均要结合具体情境去体会即可，等到六年级上期学习时，就把商小于1时的“倍”字去掉。

拓展后的意义跟原来以乘法各部分之间关系为基础，通过逆运算得到 “已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算” 的叙述形式相比，可知前者更合符情境题语言方式，便于分析数量之间的关系。考虑减法、除法的各种情况，我把四则运算的意义改编如下：

⑴把两个数合并成一个数的运算，叫做加法；

⑵把一个数去掉一部分，求另一部分的运算，叫做减法，或者把一个数分成两部分，求其中一部分的运算，叫做减法；

⑶把几个相同加数合并成一个数的简便运算，叫做乘法（第一学段），把几的几倍合并成一个数的运算，叫做乘法（第二学段）；

⑷把一个数分解成几个相同加数的运算，叫做除法（第一学段），

把一个数分解成几的几倍，求几倍（或几）的运算，叫做除法（第二学段）。

不知诸位意下如何？

当然，四则运算的定义教材中不出现，而是让学生充分经历具体操作到符合化的抽象过程，体验它们的结构和意义。

可以说，学习一种运算首先要让学生理解运算的意义，因为只有理解了运算的意义，才能知道何时使用这种运算，也才能从意义出发推导运算的法则。