魔方中的涂色问题

漳平市永福菁华小学  陈凤丽

设计理念

《数学课程标准（2011年版）》“综合与实践”领域案例46“分类计数” 这一内容，属于学生学习长方体、正方体之后的一次综合实践活动。玩转魔方是学生经常做的一项益智活动，在他们当中不乏有玩转的高手，但多数学生未曾从数学的角度去思考魔方中的数学问题。案例46“分类计数” 这一内容，是属于正方体的涂色问题，和魔方中小正方体的个数、涂色和位置有一定的联系。而正方体的涂色问题，离学生的生活实际比较远，对于学生来说是比较抽象晦涩的，属于纯数学的问题，学生理解起来有一定困难，因此这部分知识的学习不能单纯地依赖模仿与记忆，而应该借助学生从小把玩的魔方以及学生学习数学过程中的五种重要方式——认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索与合作交流，使学生多种感官参与学习过程，让学生在观察、猜想、验证等一系列数学活动中，借助正方体的特征，理解正方体涂色的规律，学会分析解决这类数学问题，用数学的眼光去观察生活中的事物，从而积累丰富的数学活动经验。

教学内容

《数学课程标准（2011年版）》“综合与实践”领域案例46“分类计数”。

学情分析

1．学生在这节课学习之前对正方体的基本特征、棱长、表面积、体积等方面的知识掌握得比较扎实，是本节课学习的基础。但是学生的空间观念普遍比较差，由二维的学习过度到三维，学生还是不适应，学习起来比较困难。 

2．三面涂色的小正方体在大正方体的顶点位置，一共有8个，这个问题学生比较容易发现，易于理解。两面涂色的小正方体在大正方体的棱上，一共有多少个，学生也能通过观察实物数出结果。至于一面涂色的情况，学生可以数出来，但不容易发现规律。没有涂色的情况，可能是最难的，学生无法凭肉眼看到，须凭借联想和想象才能得出结果，是教学中的难点。因此，教学中必须要借助丰富的表象支撑，借助多种感官参与教学活动，才能找出正方体的涂色规律，逐步形成空间观念，掌握学习方法，形成数学能力，解决数学问题。

教材分析

案例46“分类计数”是《数学课程标准（2011年版）》“综合与实践”领域第二学段的内容，是解决数学内部问题的综合与实践活动。本活动可以帮助学生积累由特殊到一般寻找规律的数学经验，同时有利于培养学生的空间想象力。在逐渐深入的探讨过程中，要引导学生把握问题的共性，从而得到一般性的结论。在这之前，学生已经了解并掌握了正方体的特征，能分析解答关于正方体棱长、表面积、体积的相关问题，并且能运用所学知识解答生活中的相关问题，为本节课的学习奠定了基础。

纵观《数学课程标准（2011年版）》安排，这部分内容的学习也是学生进一步学习立体知识，综合灵活运用知识解决问题的基础。比如魔方的表面积，长方体、正方体的拼摆与切割问题，特别是圆柱、圆锥等的学习，都需要学生具备一定的空间观念。

因此，在正方体涂色问题的学习中，教师要尽可能引领学生观察、猜想、验证，调动学生多种感官参与教学活动，在教学活动中经历“提出问题——观察猜测——操作验证——表达交流——得出规律”的过程，有效地帮助学生直观、深入探究正方体的涂色规律，掌握学习方法，培养自主探究能力，帮助学生建立一定的空间观念，为今后继续学习空间几何问题奠定良好的基础。

教学目标：

1．借助正方体涂色问题，通过实际操作、演示、想象、联想等形式发现小正方体涂色和位置的规律。

2．在探究规律的过程中，经历从特殊到一般的归纳过程，获得一些研究数学问题的方法和经验。

3．在解决问题的过程中，感受数学的趣味与魅力，培养主动探索、勇于实践的创新意识。

教学重点：找出小正方体涂色以及它所在的位置的规律。

教学难点：没有涂色小正方体个数以及它所在的位置的规律。

教学准备

1.演示课件；2.棱长3、棱长4的正方体若干；3.实验记录单。

教学过程

一、创设情境，提出问题

1.出示魔方：这是什么？是什么形体？正方体有哪些特征？（复习正方体的特征，并板书：顶点8个、棱12条、面6个）

（师：这个魔方是由小方块组成的，看到这些散落的小方块，你能提出什么数学问题？）

2.观察散落的小正方体，你能提出什么问题？

预设：

①小正方体有几个？

②三面涂色的有几个，两面涂色的有几个，一面涂色的有几个？

【课件演示：观察散落的小正方体】

补充问题：它们的涂色都一样吗？也就是在一个小正方体中，有的是一个面涂色有的是两个面涂色，有的是三个面涂色。）

③涂色小正方体在魔方中的位置？

（这些涂色的小正方体工人叔叔安装时可以随意安装吗？）

3.涂色的小正方体的个数以及它所在的位置是有一定规律的，这节课我们就来研究魔方中的涂色问题。（揭示课题）

【设计意图：学生数学学习的内容应当是现实的、有意义的。创设贴近学生生活实际的问题情境，可以激发学生的学习积极性，让学生提出数学问题，明确本课活动目标。】

二、小组讨论，制订方案

（为了便于研究，我们把魔方涂成同一颜色，再把它等分成棱长是1的小正方体，小正方体的涂色会出现什么情况？）

1.出示棱长是3的正方体，研究三面涂色的个，两面涂色的有几个，一面涂色的和没有涂色的各有几个呢？

（生：出现三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的。）

2.制订研究方案：对于这些问题，你们打算怎样研究？

3.全班交流。

（预设：一、①切开，再数；②观察、想象。二、怎样统计才能既看的清楚、明白，又不重复呢？（列表））

三、小组合作，探索规律

（一）感知正方体涂色规律

1.出示棱长为3的正方体，以小组为单位开展研究。

（老师为每个组准备了一个可以拆的棱长是3的正方体和一个可以观察的棱长3的正方体，请小组长从学具盒里拿出这两个学具，现在以小组为单位开展研究，组内同学注意分工合作。有序地拆一拆、分一分、数一数，并把结果填入分类统计表中。）

2.组内同学分工合作，进行分类统计并填入统计表。

正方体涂色分类统计表（一）                      

第（       ）组

 

 

3.学生动手实践，教师巡回指导。

（指导重点：一、数量，二、位置。同时指导。）

4.汇报三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的和没有涂色的各有几个？（板书数据）

【1.指定一组，2.其他组，3.全班，4.板书数据。】

5.观察大正方体，研究三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的和没有涂色的小正方体的位置。

（师：拿出一个完整的大正方体，问：三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的和没有涂色的小正方体分别是在大正方体的什么位置？请小组长拿出2号学具袋中的正方体，仔细观察。）

【观察和交流时用学具和教师大的教具，不用课件。】

①研究三面涂色的

三面涂色的小正方体是在大正方体中的什么位置？

【要求学生指着学具说位置：在正方体的顶点上。有没有不同意见】

②研究两面涂色的

两面涂色的小正方体是在大正方体的什么位置？

【要求学生指着学具说位置：1.指定一个学生回答，2.指给全班同学看，3.（换一个）你能指给全班同学看吗？】

③研究一面涂色的

一面涂色的小正方体是在大正方体的什么位置？

 【要求学生指着学具说位置：1.指定一个学生回答，2.指给全班同学看，3.（换一个）你能指给全班同学看吗？】

④研究没有涂色的

想象一下，没有涂色的小正方体在大正方体的什么位置？ 用眼睛看得到吗？

【教师演示：位置。教师演示，学生指哪一块。】

⑤观察表格中的这些数据，你发现了什么？补充问题：这些数据和正方体的那些特征有关？

小结：三面涂色的，两面涂色的，一面涂色的和正方体的顶点、棱、面有关。

【设计意图：本环节通过学生切一切（切成棱长是1的小正方体），数一数（数一数分别有几块），填一填（填好记录表），说一说（说出和大正方体的联系）等活动初步探究、感知正方体涂色的规律以及和大正方体的关系。】

（二）探究正方体涂色规律

（师：在棱长是3的正方体中，小正方体的涂色有这样的规律，那么，棱长是4的正方体中，小正方体的涂色又有怎样的规律呢？

请小组长从学具盒中拿出棱长4、5的正方体，小组合作合作交流讨论，想一想：三面涂色、两面涂色、一面涂色各有几个？并把结果填入分类统计表（二）中的第一栏。）

1.出示棱长是4、棱长5的正方体。

①学生想：三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的各有几个？

②学生拿出棱长4、棱长5的正方体，观察、想象、思考、记录。

③汇报学习结果。

（记录表二）

正方体涂色分类统计表（二）                      

第（       ）组

 

 

2. 观察表格中的数据，说一说你是怎么算出来的？

【课的重点：一定要引导学生说清楚，课件演示（演示棱长是4的正方体）。】

①三面涂色的：在顶点上，共有8个。

【课件演示棱长是4的一个顶点，（课件：开始并排棱长是3、4、5，学生讲时隐去4、5的）。在让学生说出1×8=8个。在问棱长是3的（课件：出示棱长是3和4并排的画面。），最后问棱长是5的（课件：出示棱长是3、4、5并排的画面。）。】

【最后总结：1. 三面涂色的都在顶点上，2.不管棱长是几，三面涂色的都是8个。】

②两面涂色的：两面涂色的有24个，你是怎么算的？一条棱上两面涂色的小正方体有几个？为什么少了两个呢？

（课件演示一条棱，标出4－2。）

师：在这个算式中，4表示什么？2表示什么？12表示什么？

【课件演示棱长是4的一条棱，并排棱长是3、4、5。在让学生说出2×12=24个。在问棱长是3的（课件：出示棱长是3和4并排的画面。），最后问棱长是5的（课件：出示棱长是3、4、5并排的画面。）。】

【最后总结：1. 两面涂色的都在棱上，2.一条棱有几个，扣除三面涂色的2个，在乘12。】

③一面涂色的：一面涂色的有24个，你是怎么算的？为什么一面就剩下4个了？

（课件演示一个面，长：标出4－2，宽：标出4－2。）

提问：在这个算式中，4表示什么？2表示什么？

【课件演示棱长是4的一个面，并排棱长是3、4、5。在让学生说出4×6=6个。在问棱长是3的（课件：出示棱长是3和4并排的画面。），最后问棱长是5的（课件：出示棱长是3、4、5并排的画面。）。】

【最后总结：1. 一面涂色的都在面上，2.一个面有几个，扣除三面涂色的和两面涂色的，剩下的乘6。】

【设计意图：在此教学环节中，学生手中棱长4、5的学具无法分割，这就迫使学生只能借助观察、想象探究正方体的涂色规律，在学生观察、猜测、想象、推理的基础上，结合课件直观演示、验证，初步抽象出正方体的涂色规律。】

（三）揭示正方体涂色规律

（正方体的棱长除了3、4、5，还可以是6、7、8，甚至更大，如果棱长是n，谁会算小正方体三面涂色的、两面涂色的、一面涂色的各有几个？）

如果棱长是n呢？

板书：三面涂色的：8

两面涂色的：（n—2）×12

一面涂色的：（n—2）²×6

【设计意图：教师通过借助正方体拆合——观察正方体想象——脱离实物推导——抽象涂色规律，凭借具体直观的实物观察和形象可感的课件演示，层层引导，抽丝剥茧探求正方体涂色问题的内在本质，水到渠成抽象出正方体的涂色规律。让经历从特殊到一般的归纳过程，感悟数学模型思想，获得研究数学问题的方法，积累数学活动的经验。】

三、灵活应用，体验规律

1.一个正方体，在它的每个面都涂上红色，再把它切成棱长是1的小正方体，已知两面涂色的小正方体有48块，大正方体的棱长是（       ）。

（课件演示，图形，问题，学生直接填数据。）

2. 右图是由若干个小正方体组成的大正方体。（课件演示）

①在顶点的位置去掉一个小正方体。如果将这个图形的内外表面都涂上红色，（课件出示两个问题）1.小正方体涂色的面有什么变化？

 2.那么只有一个面涂色，两个面涂色，三个面涂色的小正方体各有多少个？

②在一条棱上去掉一个小正方体。如果将这个图形的内外表面都涂上红色，（课件出示两个问题）1.小正方体涂色的面有什么变化？（问：出现什么新情况？（出现四面涂色的小正方体。）））2.那么只有一个面涂色，两个面涂色，三个面涂色的，四面涂色的小正方体各有多少个？

③在一个面上挖掉一个小正方体。如果将这个大正方体的内外表面都涂上红色，（课件出示两个问题）1.小正方体涂色的面有什么变化？

2.那么只有一个面涂色，两个面涂色，三个面涂色的小正方体各有多少个？

【设计意图：通过此活动，让学生能够把所学知识运用到实际活动中，让学习从课内延伸到课外，体会数学活动的乐趣与数学学习的价值。】

四、畅谈收获，总结提升

1.你有什么收获？

2.用什么方法研究？

3.自己发现了什么规律？

4. 在棱长是4、5,的正方体中没有涂色的小正方体有几个？课后请同学们自己去研究，下节课来汇报，并它们有什么规律。

附板书设计

魔方中的涂色问题

顶点             棱              面

8个            12条             6个

 

 

设计思路

“综合与实践”是数学课程标准四大领域之一，是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。本节课是以《数学课程标准（2011年版）》案例46“分类计数”为基础，设计了一节以课堂内进行的“空间想象与分类计数”的综合与实践活动，解决数学内部问题，属第二学段的内容。本节课设计遵循以下三点：

一、以活动为主线，全员参与。

本课充分体现新课标精神，让学生全员参与学习的全过程，体现“综合与实践”活动的特点，学生经历“发现问题——提出问题——分析问题——解决问题”的过程，通过切、数、填、说、想等一系列活动，在活动中体验，在活动中明理，在活动中提升。以活动为主线，以学生为主体，凸显综合与实践的特点。

二、以问题为引子，突出“过程”。

问题是学生学习的动力，问题是“综合与实践”活动的载体，问题是问题解决的核心。《数学课程标准（2011版）》指出：“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索与合作交流等，都是学习数学的重要方式。”本设计力求体现以学生为主体的教学理念，通过问题来连接学生的求知欲，注重引导学生在自主的探索中发现规律，构建新知。如，通过魔方引出正方体，通过散落的小正方体提出涂色和位置问题。通过研究棱长是3的正方体，探索涂色正方体中三面涂色，两面涂色，一面涂色和没有涂色的个数和位置。通过研究棱长是4的正方体，探索涂色正方体中三面涂色，两面涂色，一面涂色和没有涂色的个数和计算方法。应用棱长是3和4的规律，快速解决棱长是5的正方体中三面涂色，两面涂色，一面涂色和没有涂色的个数，总结计算的方法。最后延伸到棱长是n的正方体，归纳出涂色正方体中三面涂色，两面涂色，一面涂色和没有涂色的个数和位置的规律。

三、以模型为主线，渗透思想。

数学教学就是在一定基础上进行对数学知识模型的建立及其方法的应用。《数学课程标准（2011版）》指出：“课程设计要重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。”数学模型化是一种极为重要的数学思想方法。对于学生学习和处理数学问题有着极其重要的影响，它可以帮助学生体会数学的作用，产生对数学学习的兴趣。因而可以得出，在数学教学中，建构和掌握数学模型化方法是培养能力的一条非常重要的途径。本节课通过研究正方体的涂色问题，经历从特殊到一般的归纳过程，获得一些研究数学问题的方法和经验。如，课堂伊始出示魔方情境，引出涂色问题——制定方案——动手操作——研究棱长是3、4、5的正方体，抽象出一般的方法——用数学语言描述——建立模型（棱长是n的规律）——思想方法的形成——问题解决——观念（意识）形成——解决更多的实际问题。

总之，本课力求使学生经历“情境引入——引发问题冲突——动手实践，探寻规律——建立数学模型——解决问题”的数学活动过程，为学生提供动手、动眼、动脑的机会，自主建立手脑链接，在动手、动眼的过程中促进思维的发展。