抓住定积分的数学本质，求简单旋转体的体积

  最近，学习定积分及其应用。学生理解了定积分的概念及几何意义，不难求出平面图形围成的面积。但求体积时，难免出现固化思维，陷入求解误区。

  例1  求由双曲线 与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

显然，这个几何体是由y=f(x),x=a,x=b,以及x轴（y=0）围成的平面图形绕x轴旋转一周形成的几何体。学生由定积分的概念形成过程中的思想，体会定积分概念的本质，易于建立定积分模型。首先把y=f(x),x=a,x=b,以及x轴（y=0）围成的曲边梯形分割成n个垂直于x轴的小长条，设第i个小长条的宽为x_i= x_i -x_i-1,,i=1,2,……,n,当x_i很小时，第i个小长条越接近于小矩形，然后以直代曲，用小矩形代替小长条。这个小矩形绕着x轴旋转一周就得到一个厚度为x_i的小圆柱。因此，第i个小圆片的体积近似为小圆柱的体积，为

V_i≈Π(f(x_i))²x_i

几何体的体积v就等于所有小圆片的体积和

V≈Π(f(x₁))²x₁+Π(f(x₂))²x₂+…+Π(f(x_n))²x_n.

这个问题是定积分的问题。

即：

例1可以按照这一方法来完成。有些学生认为自己掌握了定积分求体积的方法，甚至把上式作为公式来记忆，便于后面使用。

是这样吗？

例2  将由曲线y=x和y=x²所围成的平面图形绕x轴旋转一周，求所得旋转体的体积。

问题一出，学生想到前面求有y=f(x),y=g(x),x=a,x=b围成的平面图形的面积的求法，再结合例1，个别学生认为体积为

完成后，我故意问道：“是这个旋转体的体积吗？”

这一疑问，不仅让有些学生开始思考：这样做对吗？教室里有了窃窃私语声，同桌开始探讨。我再问：“空心的圆柱体体积怎么求？”

这时，有同学大声说：“刚才的解法不对。”

“为什么？”

“旋转体的体积应该是外面的旋转体（由y=x,x=0,x=1,x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的几何体）的体积减去里面的旋转体（由y=x²,x=0,x=1,x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周得到的几何体）的体积的差。即：

大家都醒悟过来，随即肯定了这种做法。有同学总结：由y=f(x)（f(x)>0）,y=g(x)( g(x)>0),x=a,x=b围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积为 .

我及时点拨，看问题要看本质，不可固化思维，想当然的套用公式，唯有理解了数学问题的本质，认真分析问题，才能正确的解决问题。

至此，这个问题已经解决。学生在完成类似练习也没出错。

我又提问：“例1、例2有联系吗？它们有共同点吗?能否统一？”学生开始对比例1、例2的条件。很快有学生指出，例1的x轴就是y=0,为常函数。实际上是 和例2相同，二者是统一的。

所以，利用定积分求旋转体的体积，学生重点体会积分的思想，学会建立数学模型，利用定积分的本质解决实际问题，而不是固化为某种公式。