基于实测的GNSS观测数据得到的电离层原始观测信息是卫星视线方向上的电离层TEC，是地球空间上一组离散的数据。实际中，需要根据上述离散数据获得局部/区域/全球电离层TEC/电子密度在时空域上的连续或规则分布，这就需要按一定的数学方法将离散的观测数据扩展至连续/规则的电离层空间上，这个过程称之为GNSS电离层建模，其主要包括：电离层建模的基本假设、常用数学函数以及常用坐标系三部分。

• 电离层建模的基本假设

       GNSS电离层观测的终极目标是获得电离层电子密度的时空分布结构，但是受到观测条件及数据处理方法的限制，通常必须根据具体的应用目的，将电离层电子密度的时空分布结构做出一定的假设，获得指定空间维上的电离层电子密度分布。常用的假设有：电离层薄层假设、电离层薄壳假设以及电离层多层假设。

 

(1) 电离层薄层假设

 

将GNSS信号传播路径上的电离层自由电子集中在某一指定高度无限薄的球面上，在该球面上对电离层TEC的水平分布进行建模，如图2-3所示，称之为电离层薄层假设。

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电离层薄层假设示意图

 

在电离层薄层假设中，薄层高度H_ion通常选在高度方向上电离层密度的峰值处，根据电离层垂直分层结构，H_ion应该是F2层电子密度峰值所在的高度，位于350-450km之间，其在全球不同的地方不同季节略有差异。Komjathy et al.曾分析了电离层高度对电离层TEC建模精度的影响，并给出了电离层薄层高度确定的方法。

卫星至接收机的连线与电离层薄层的交叉点称为电离层交叉点 (IPP，Intersect Pierce Point)。电离层薄层假设中，视线方向上的电离层TEC全部被压缩在IPP点上，并用该点垂直方向上的电离层TEC(VTEC，Vertical TEC)表示。视线方向上的TEC(STEC, Slant TEC)与垂直方向上的TEC可以通过投影函数进行转换，最简单也最为常用的投影函数是三角投影函数(Schaer, 1999)，如式所示，其几何关系如图2-3所示。

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其中：F(ε)表示电离层交叉点处的投影函数；α表示卫星相对于电离层交叉点的天顶距；R_earth表示地球半径；H_ion表示电离层薄层的高度；ε表示卫星相对于接收机的高度角。

除此之外，Schaer通过与Chapman函数对比，对上述三角投影函数做了进一步的改进，其改进之后的投影函数如式所示。

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其中：R_earth表示地球的半径；H_opt表示电离层薄层距离地面高度的最优取值；z表示卫星相对于接收机的天顶距；k表示比例因子；H_opt与k的取值如表2-1所示。

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另外，还有很多学者研究了类似的电离层投影函数，如：Klobuchar提出的一种应用于GPS广播电离层模型的投影函数；Ou 研究给出的一种可适应高度角变化而分段取值的电离层投影函数等等。但从结构上讲，上述电离层投影函数均只顾及到了卫星高度角的变化，且在高度角大于20⁰时的应用效果基本相当。

       从电离层薄层假设及投影函数的结构可以看到，该假设忽略了电离层TEC在高度方向上的变化，将电离层电子密度的水平结构放在假设的薄层上进行描述，并且假设某交叉点处电离层TEC是各向同性的。在电离层活动较为平静的中纬度地区，上述假设是基本成立的，但是，对于电离层活动剧烈的赤道地区或者是“赤道异常”双峰结构的边缘地区，交叉点南北两侧的电离层TEC变化梯度在低高度角时具有较大差异，若仍采用简单的投影函数描述视线与天顶方向上电离层TEC之间的关系，将会带来较大的误差，温晋等基于实测电离层TEC数据的研究已证明了这点。

但是，总体上看，电离层薄层假设非常有利于描述电离层电子密度的整层变化，对分析穿越整个电离层的信号受到电离层的影响是非常有效的，大大简化了数据处理的过程。因此，该假设在GNSS电离层研究中仍然得到广泛应用。

 

(2) 电离层薄壳假设

不同于电离层薄层假设，电离层薄壳假设将电离层自由电子全部集中在位于一定高度和一定厚度的薄壳中，如下图所示，假设电离层电子密度全部集中在距离地球表面h0到h1高度内的一个薄壳内。

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电离层薄壳假设示意图

 

同样地，视线与天顶方向上电离层TEC之间通过投影函数可以进行转换，假设电离层电子密度在薄壳内垂直方向上是均匀分布的，则电离层投影函数如下式所示。

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其中：R_earth表示地球的半径；h1和h0分别表示假设的电离层薄壳的顶部与底部距离地面的距离；ε表示卫星相对于接收机的高度角。

从投影函数的结构可以看到，当薄壳的厚度趋向于0时，薄壳假设即转化为薄层假设。相对于电离层薄层假设而言，电离层薄壳假设中电离层具有一定的厚度，但是其相对于描述电离层高度方向上的变化仍然是非常有限的，因此，实际建模应用中通常更倾向于使用电离层薄层假设。

 

(3) 电离层多层假设

电离层薄层与薄壳假设无法精确给出电离层自由电子在垂直方向上的变化结构，难以实现电离层电子密度空间三维分布的监测；同时，上述假设均忽略了电离层电子密度在水平方向上的各向异性。电离层多层假设即在空间上对电离层进行分层，如下图所示。

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电离层多层假设示意图

 

对于任意卫星视线方向上的电离层TEC可表示成式的形式。在电离层多层假设下，电离层自下而上被分成n层，通过一定的数学方法即可反演得到电离层电子密度在各层的分布。

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其中，STEC表示任意一卫星视线方向上的电离层TEC；e_i表示以卫星视线与第i薄层交叉点为中心一定范围内的平均电离层电子密度；l_i表示卫星视线在第i薄层代表的电离层厚度内传播路线的长度，与e_i所表示的电子密度区域是相对应的；n表示所假设的电离层薄层的层数。

根据数据处理方法的不同，可将电离层多层假设下的反演大概分为：简化的格网电离层层析算法、单层辅助的电离层反演算法与格网电离层层析算法三类。

 

• 电离层建模常用数学函数

 

基于拟定的投影函数可将视线方向电离层TEC转换至天顶方向，实际电离层TEC建模中通常需要合理选择一定的数学函数用于描述天顶方向上电离层TEC变化；并根据不同时空尺度(全球/区域/局部)选择不同的数学函数。下面对常用的数学函数进行简要介绍。

(1) 全球电离层TEC数学函数模型

球谐函数作为描述全球变化物理量的函数具有优良的数学结构，已成为描述全球电离层TEC的主要函数模型之一，如下式所示。

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其中，VTEC(φ,λ)表示电离层IPP点(φ,λ)处的电离层VTEC；φ与λ分别表示电离层IPP点的纬度和经度；n_dmax表示球谐函数的最大度数；http://www.gipp.org.cn/upload/image/201408/31/0919328491.png分别表示待估的模型参数。

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(2) 区域电离层TEC数学函数模型

 

常用的描述区域电离层TEC变化的数学函数主要有多项式函数、低阶的球谐函数、球冠谐函数等。多项式函数受到本身结构的限制，对于描述较大范围内电离层TEC变化的能力是有限的，低阶球谐函数与式所述的球谐函数表达式类似，只是最大阶次通常仅取为3-6。电离层VTEC球冠谐函数的表达式如下式所示。

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其中，θ与λ^'分别表示球冠坐标系下电离层交叉点的纬度和经度；φ₀与λ₀分别表示球冠坐标系极点的地理纬度和经度；α表示球冠的半角；基于球冠坐标系的极点与半角即可实现球坐标系下经纬度向球冠坐标系下经纬度的转换。

       由于球冠谐函数是由球谐函数演变而来的，实际应用中通常会由于球冠半角α较小或电离层交叉点分布不均匀导致求解球冠谐函数系数时的法方程病态；另外，由于球冠谐函数是在整个球面上展开的，而对于球冠谐函数是在部分球面上展开的，必须采用非整阶次，一定程度上增加了计算的复杂程度。课题组通过引入一定的投影变换克服了上述的病态问题，并保证了球谐函数的整数阶次特征，使得计算更加简便。

(3) 局部电离层TEC数学函数模型

局部电离层TEC具有明显的周日变化特性，要在较长(如一天)的测段内描述电离层TEC变化并保证其精度，必须利用能够有效体现电离层TEC随地方时进行(准)周日变化的数学函数；利用多项式函数描述一天内电离层TEC的变化通常需要分成6～8个测段才能保证其精度，并且各测段之间电离层TEC的连续性并无理论上的保证。通过将多项式函数与具有周期特性的三角级数函数组合，可有效地实现局部电离层TEC变化的合理精确模拟。袁运斌等在Georgiadiou给出的三角级数函数基础上建立与发展了如式所示的广义三角级数函数模型。

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其中：φ₀表示局部电离层TEC建模中心点的纬度；h表示与电离层交叉点处地方时t相关的函数，如式所示；n_max,m_max与k_max分别表示多项式函数及三角级数函数的最大阶次；E_nm,C_k,S_k表示待估的模型系数；其他参数与其他式中对应符号相同。

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式所示的函数各组成项蕴含着一定的物理含义，代表着电离层VTEC的趋势变化特性。实际应用中，应根据局部电离层TEC变化特点采用统计检验的方法选择适当的广义三角级数函数的组成项，使得电离层TEC拟合精度达到最优。因此，广义三角级数函数因其参数个数可调，且具有一定的物理含义，与常用的分段多项式函数与低阶的球谐函数相比，其更能有效地描述局部电离层VTEC变化的细节。

 

• 电离层建模常用坐标系

 

从电离层假设可以看到，很难使用一个实时动态的数学函数描述电离层TEC时空分布变化。合理地选择电离层TEC建模的坐标系可以使得电离层TEC变化与所选择的数学函数更为吻合，从而提高电离层建模的精度和可靠性。袁运斌将常用电离层TEC建模的坐标系总结为如下四类。

       (1) 地固地理坐标系：利用电离层交叉点处的地理经度和地理纬度作为变量构造电离层TEC模型；

       (2) 地固地磁坐标系：利用电离层交叉点处的地磁经度和地磁纬度作为变量构造电离层TEC模型；

       (3) 日固地理坐标系：利用电离层交叉点处的地理经度与太阳地理经度的差值和电离层交叉点处的地理纬度构造电离层TEC模型；

       (4) 日固地磁坐标系：利用电离层交叉点的地磁经度与太阳地磁经度的差值和电离层交叉点处的地磁纬度构造电离层TEC模型。

电离层电子密度时空分布结构主要受到太阳活动影响的描述，电离层电子密度的分布将会随着太阳方位而不断变化，因此，选择日固坐标系构造电离层TEC模型，实际电离层TEC变化将会是相对平滑的，这非常有助于利用数学函数进行描述。另外，电离层中的自由电子受到地球磁场作用而沿着地球磁力线方向/或其反方向运动，使得电子密度的分布与地磁场分布具有密切的相关性，因此，在地磁坐标系下电离层电子密度变化也是相对平滑的；而对于小范围短时间尺度电离层TEC模型，地磁坐标系的影响并不十分明显。