郑毓信：“数学深度教学”十讲之十一

帮助学生学会学习

实验小学西校区 方琴

以下再从另外两个方面对如何帮助学生学会学习作出进一步的论述：（1）努力提高学生的学习自觉性；（2）学生提出问题能力的培养。

1. 就努力提高学生的学习自觉性而言，不妨首先提出这样一个问题：你如何看待“熟能生巧”这样一个传统主张？特别是，你是否认为只有通过反复练习才能有效纠正学生的错误，如认定应当采取“错一罚十”这样的惩罚措施？

虽然操作确应被看成思考，特别是反思的重要基础，但如果相关努力始终停留于盲目的状态，如学生既不知道为什么要反复进行练习（除去“这是对错误的惩罚”这样一点），也不知道如何进行练习才能取得较好效果，更未能通过具体分析很好地弄清错误的原因，从而有效避免同一错误的再现，那么即使我们要求学生一百次、一千次地重复相关的练习，所期望的“熟能生巧”很可能也不会发生，甚至更可能造成“熟能生厌”“熟能生拙”这样的后果，从而事实上也就只能被看成一种“机械学习”。而且，正如人们普遍认识到的，“中国学生在不自觉状态下花费的精力实在是太大了”。（唐瑞芬语）（对此可见另文“由‘熟能生巧’到自觉学习”，《数学教育学报》，1999年第2期）

上述分析主要是针对“机械操练”而言的，但其结论对于一般性学习活动显然也是成立的。特别是，除去“反思”习惯与能力的培养，我们应帮助学生很好地树立这样一个意识，即应当使学习真正成为自己的自觉行为，也就是由主要依靠教师的指导或不知不觉地成长，转变到自觉地学习和成长，学生应对学习目标有清醒的认识，从而更有针对性地进行学习。

相信读者从上述角度可以更好地理解笔者的以下主张：数学教学不应始终停留于所谓的“无痕教育”，而应由“潜移默化”逐步过渡到自觉的追求，由“春风化雨”转变为“独上高楼”，由单纯的“愉快学习”上升到“衣带渐宽终不悔”。

更进一步说，与泛泛地谈论提升自己的学习动力相比，我们应更深入地去思考什么是数学学习的主要目标，从而主要依靠自我指引去进行学习，而不是始终处于纯粹被动或“潜移默化”这样的状态。

当然，正如前面所指出的，在此我们又应特别重视超出数学，从更一般的角度进行分析思考。以下就以著名学者周国平先生的相关论述为背景，对我们应当通过数学学习养成哪些基本能力与必备品格作出简要分析。

周国平先生指出，人的成长有三项教育是最重要的：生命教育、智力教育与灵魂教育。（“人身上有三样东西是最宝贵的”，《新华日报》，2019年3月22日）以下就是一些相关的论述：

“在人的智力品质中，第一重要的品质是好奇心。……每个人在智力成长的一定阶段上都会显现出来，实际上是一个人的理性觉醒的征兆。

“智力品质的另一个要素是独立思考的能力。所谓独立思考的能力，就是对于任何理论、说法，你都要追问它的根据，在弄清它有无根据之前，你要存疑。

“我还想强调一点，就是智力生活的非功利性。……如果一个民族尊重精神本身的价值，纯粹出于兴趣从事精神事业的人越多，那个民族就会成为肥沃的土壤，最容易出大师。

“怎样才能使灵魂丰富呢？欣赏艺术，欣赏大自然，情感的经历和体验，这些都很重要。除此之外，……要养成过内心生活的习惯。人应该留一点时间给自己，和自己的灵魂在一起，静下来，想一想人生的问题，想一想自己的生活状况，想一想所经历的人和事。我承认交往是一种能力，但独处是一种更重要的能力，缺乏这种能力是更大的缺陷。”

由此可见，我们应通过数学学习努力养成这样一些基本素养和品格。

（1）好奇心的保持，对精神本身价值的尊重。这事实上也是笔者一直持有的一个观点：正是人类固有的好奇心、探究心为数学学习提供了根本动力：一种希望揭示世界最深刻奥秘的强烈情感。（详见另文“数学的文化价值何在、何为”，《人民教育》，2007年第6期）

显然，从上述角度我们也可更清楚地认识“应试教育”的危害性。另外，就当前而言，我们还应纠正这样一种倾向，即对于数学实用价值的过分强调。

（2）理性精神的养成。特别是，我们应当努力提升自身独立思考的能力，包括一定的批判能力，而不是迷信盲从；能逐步养成自我反思的良好习惯与不断优化的能力，而不是自我满足，故步自封；积极创新，而不是标新立异。显然，这直接涉及长时间思考的习惯与能力。特别是，我们应努力做到善于总结、反思与再认识，包括逐步养成这样一些品格，即有较强的承受能力，能经得起挫折与失败，能耐得住寂寞，有一定的独处能力，并能始终保持积极思维与谨慎的乐观这样的状态。（这直接涉及“数学的文化价值”，对此可见另文“数学的文化价值何在、何为”，同上）

当然，我们所希望的是让上述目标真正成为学生的自觉追求，而不只是数学教师的“一

厢情愿”。

最后，依据上述分析，相信读者可以更好地理解这样一点：“学习自觉性”主要涉及学生价值观念的培养，包括这样一个论述——“教学是培养人的社会活动，要以人的成长为旨归。人的所有活动都内隐着‘价值与评价’，教学活动也不例外。深度教学将教学的‘价值与评价’自觉化、明朗化，自觉帮助学生形成正确的价值观，形成有助于学生自觉发展的核心素养，自觉引导学生能够有根据地评判所遭遇到的人、事与活动”。（郭华，“深度学习的五个特征”，《人民教育》，2019年第6期）

2. 在此我们为什么又要特别重视学生提出问题能力的培养？如果说适当的提问是教师发挥指导作用，特别是引领学生深入思考最重要的一个手段，那么学生提出问题能力的提升对于他们学会学习显然也具有特别的重要性——这时他们就可通过自我引领很好地实现自我成长与自我完善。

例如，这显然可被看成学生是否较好地做到了“理解学习”的一个重要标志，即学生是否能够经常地问自己“为什么”，包括围绕这一问题进行深入思考。另外，为了提升自身解题活动的自觉性，以下三个问题应当被看成具有特别的重要性：我正在做什么？为什么要这样做？这样做了以后又有怎样的效果？

在学习中，我们还应经常思考新学习的知识与已有知识之间的联系，特别是，它们之间有什么相同与不同，我们如何通过整体分析实现认识的必要深化，如其中的重点与难点是什么，等等。容易想到，这与“总结”和“再认识”具有重要的联系。

以下一些问题不仅集中地体现了数学思维的重要特点，而且与“深度学习”密切相关：数学家们总是不满足于某些具体结果或结论的获得，而是希望获得更深入的理解，这不仅直接导致了对于严格的逻辑证明的寻求，也促使数学家积极从事进一步的研究，如在看上去并无联系的事实背后是否隐藏着某种普遍的理论，这些事实能否被纳入某个统一的数学结构，等等；数学家们也总是希望达到更大的简约性和精致性，如是否存在更简单的证明，能否对相应的表述方式（包括符号等）作出适当的改进，等等。

就这方面的教学工作而言，我们还应特别强调这样几点。

（1）无论在课程的哪个环节，教师都不应满足于通过自己的提问进行引领，而要让学生发挥更大的作用，即应当鼓励他们积极地提问，包括通过对学生所提问题的评价、筛选与优化等为其提供必要的指导，以及通过自己的教学作出直接的示范。

我们在教学中还应特别注意保护学生的提问积极性，不要因为不恰当的“理答”挫伤了他们在这一方面的积极性，即应当让学生真正做到“敢问”（正因为此，这应被看成“数学课堂文化”建设的又一重要方面）。

（2）注意总结这方面的一些普遍性策略或方法。

前面所提到的各个问题显然都属于这样一个范围。如果我们将视线转向学生创新能力的培养，那么应特别提及“变化的思想”在这方面的应用。例如，我们既可通过“加大难度”由原先的问题引出诸多新的问题，也可通过交换问题中已知与未知成分引出新的问题，这直接关系到了所谓的“逆向思维”。另外，对于所谓的“否定假设法”（详见另著《问题解决与数学教育》，江苏教育出版社，1994），我们也应予以足够的重视，特别是借助这一方法我们可帮助学生清楚地认识“（自我）评价”对于提升自身提出问题能力的特殊重要性。

我们还应清楚地看到在“提出问题的能力”与“数学思维和一般思维能力”之间的重要联系：“提出问题”事实上可被看成数学思维与一般性思维策略的具体体现和直接应用；反之，提出问题的学习显然也十分有益于人们思维品质的提升。

（3）我们还应注意提升学生在这一方面的自觉性，从而不仅做到“敢问”，也能真正做到“爱问”“善问”。

例如，我们为什么要对“发现问题”与“提出问题”作出一定区分，并对“问题的表述”予以足够的重视？这事实上直接关系到由素朴状态向自觉状态的转变：“发现问题”主要是指主体对于问题具有一定的敏感性，即具有一定的“问题意识”；由“发现问题”转向“提出问题”则意味着主体对于问题的认识已由先前的“模模糊糊、似有似无”转变成更清醒、更清晰、更准确的认识。这就是认真思考和分析（“再认识”），包括自我评价与改进的结果，如这是否可以被看成一个真正的问题，是否具有深入研究的价值，等等。

尽管我们可以总结出关于如何提出问题的一些普遍性策略，但真正重要的不在于如何能够无一遗漏地列举出所有相关的策略，而是很好地加以应用。教师不仅应在这一方面作出直接的示范，也应帮助学生清楚地认识到这样一点，并能通过平时的学习不断提升自己在这一方面的能力。

总之，数学教学应对帮助学生学会学习发挥重要的作用！

【结语】作为结束，笔者愿意特别强调这样一点：如果说我们在先前往往比较注重教学的“实”“活”“新”（周玉仁语），那么在当前就应更加强调一个“深”字，即应当通过“深度教学”努力提升学生的核心素养；如果说“用诗意的语言感染学生”是语文教学应当努力实现的一个境界，那么数学教师的主要责任就是“以深刻的思想启迪学生”。

这是教育教学工作最基本的一个道理，即我们应当持之以恒：一旦认准了方向，就坚持着去做。

让我们共同努力！！！