4．4单位圆的对称性与诱导公式教学设计

教材分析

“单位圆与诱导公式”是普通高中课程标准实验教科书北师大版必修4第一章第四节，其主要内容是三角函数的诱导公式推导和应用。它是圆的对称性的“代数表示”。利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合”的数学思想；诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学思想。诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用。本节内容共需二课时，第一课时教学内容为公式1.9、1.10、1.11、1.12。第二课时的教学内容为公式1.13、1.14。

学情分析

本节课的授课对象是本校高一（2）班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用引导，合作探究的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容

 教学目标

1． 知识与技能  借助单位圆理解记忆诱导公式；能用诱导公式进行简单求值、化简。

2. 过程与方法    经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想。

3. 情感、态度与价值观    感受数学探索的成功感，激发学习数学的热情，培养学习数学的兴趣，增强学习数学的信心

教学重点和难点

1. 教学重点       利用诱导公式进行简单的正（余）弦函数的求值与化简.                         

2. 教学难点       诱导公式的推导.

教学过程

 

 

一、复习回顾

1.在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角  ，终边与单位圆交于点P(u,v),那么点P的纵坐标v叫作角  的正弦函数，记作 ；点P的横坐标u叫作角  余弦函数，记作

 

 

二、情境导学

    在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即                                               ,并且利用上式可以把绝对值较大的角的三角函数值转化为0°～360°内的角的三角函数,对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？

三、探究诱导公式（一）：

思考1  在直角坐标系中，  设角α的终边与单位圆的交点为P(u,v) 角 的终边与单位圆的交点分别为P,如（图4-5-2）, 角 的终边有什么样的位置关系?    的终边与单位圆的交点 、坐标如何

答　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称.

角－α与单位圆的交点为  (u,－v).

思考2　根据三角函数定义, 角 的正弦函数、余弦函数有什么关系?

答　sin α＝v,cos α＝u；

sin(－α)＝－v＝－sin α；

cos(－α)＝u＝cos α

那么 我们也可以把P点和 的坐标换一种写法                                         ，

根据角 与角  与单位圆的交点坐标关于 轴对称所以也可以得到

 

 

 

得出公式（一）

 

 

 

 

例

 

 

 

 

                                        

 

探究诱导公式（二）：（图4-5-2）在直角坐标系中,角 的终边有什么样的位置关系? 角 的终边与单位圆的交点分别为P和P ,若点P的坐标为 ,则P的坐标呢? 角 的正弦函数、余弦函数有什么关系?

得出公式（二）：                             。

; .

 例

 

 

 

 

 

探究诱导公式（三）：（课本图1-25）引导学生用同样的方法推导公式（三）：

 ； .

 

 

例（1）                                              （2）

 

 

四、归纳诱导公式：

公式一

公式二

公式三        

公式四        

记忆口诀：诱导公式的特点：函数名不变 ，符号看象限 ， 当成锐角看。

五、应用示例

       

1 求下列各角的三角函数值：

（1）             （2）

归纳：

把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下面的步骤进行：

点评

利用公式可把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，一般可按下列步骤进行：

负化正，大化小，化成锐角再查表

注意：这仅仅是一种转化模式或求解思路，不要死记这个步骤，在实际解题中只要灵活地应用公式求解，明确先用哪个公式，后用哪个公式是没有什么固定要求的

六、当堂检测

练习1.下列三角函数的值正确的是:  

 

练习2.化简:

 

七小结

（1）熟记四组诱导公式:

（2）诱导公式的应用:

把任意角的正弦函数、余弦函数值转化锐角的正弦函数、余弦函数值;

求值、化简、证明.

八、课后探讨

角 与 正弦函数，余弦函数的关系