《正方体截面的形状》教学设计

一、教学目标

1)知识与技能：

A 用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助学生更好地认识几何体。

B 探索正方体可能的截面形状，通过实践证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。

2)  过程与方法：

A首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。

B学生截萝卜块以培养学生探索问题的能力，知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。

3)  情感态度与价值观：

  A 激发学生主动参与活动的热情，培养人人参与学习和自觉把数学知识应用实际生活的意识。

B 培养学生学生探索创新能力。

二、学生分析 

根据学生情况将学生分为ABC三大组，A组为待优生，A组分为第一组和第二组，B组为临界生，B组分为第三组和第四组，C组为优等生，记为第五组和第六组。根据学生的不同学情，安排不同难度的问题。

三、教学内容分析  

本节内容位于《必修2》P51页第一章立体几何初步的课题学习，属于探究性课题。本节课以正方体的截面图为核心，让学生借助萝卜块进行实际操作和探索学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结并在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立性和发散性，使学生真正成为学习的主体。

重点：正方体的截面图的作法

难点：正方体的截面图形的交点的作法

四、教法：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的意义建构。

五、教学过程

提问复习：

【教师提问】什么叫几何体的截面？

【学生回答】一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。

【教师提问】截面的边是如何得到的？

【学生回答】截面的边是平面和几何体各面的交线。

揭示课题 ：  

【教师提问】正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢？截面图最多有几条边？

【学生回答】【七嘴八舌】三角形，四边形，五边形，六边形，七边行。

导入新课：

【教师提问】现在就请各组同学实际操作一下  我们教室一共五组，第一组来切截面图为三角形时，有几种情况？第二组来切截面为四边形时，有几种情况？第三组来切截面为五边形时，有几种情况？第四组来切截面为六边形时，有几种情况？第五组和第六组来切，除了三，四，五，六边形状以外，还能切出什么形状？注意每一组切出形状之后要做出它的图像。

【教师活动】将课前准备好的若干正方体萝卜块分给各小组。

【学生活动】学生分组实验，教师巡回指导。

【学生活动】各组同学积极的在切正方体萝卜块。

【教师活动】教师对第一组进行指导。

【教师提问】你们组已经切出三角形了，怎么切的？

【学生回答】用一个平面截正方体，当平面经过正方体的三个面时，像这样，（学生演示切的过程）所得的截面的形状为三角形.

【教师提问】都切了些什么三角形呀？

【学生回答】锐角三角形、等腰三角形、等边三角形

【教师指导】那你们再想想看能切出其它三角形吗？比如直角三角形，钝角三角形？

【学生活动】学生积极的进行讨论，实验。

【教师活动】老师来到第二组前。

【学生活动】同学们见老师来了，积极的给老师展示他们的作品。

【学生回答】老师看我们切的有正方形，长方形。

【教师提问】不错不错，看来大家都很认真。那你们给老师说一下怎么切的吧？

【学生回答】用一个平面截正方体，当平面经过正方体的四个面时，所得截面可能是正方形、长方形、老师看我演示（学生演示）。

【学生活动】学生演示用平面去截正方体。

【教师提问】老师发现你们都是拿平面直着切的，把平面稍微斜一下呢？

【学生活动】手快的同学已经操作了。

【学生回答】截面为梯形（学生展示）。

【教师指导】看来确实是梯形，那么研究一下是一般梯形还是直角梯形，等腰梯形？

【学生活动】学生看来受了启发，低头在一起研究起来，兴趣很高。

【教师活动】教师指导第三组。

【学生活动】学生已经切出五边形了。

【教师指导】大家切的不错。再看看切得是不是都一样？

【教师活动】教师指导第四组。

【教师提问】能不能切出六边行？

【学生回答】太难切了，可能没有。

【教师指导】正方体几个面？六边形几个边？想一想？

【学生回答】六个面，六条边。

【学生活动】学生动手截正方体。

【教师提问】第五组、第六组切出来了没？

【学生回答】切出来的都是其他组的，没有新的？

【教师指导】想想为什么？

【学生活动】学生继续切，变切边讨论。

【教师活动】整体巡视教室，看各组同学基本已经完成。

【教师提问】各组同学都做完了没有？

【学生回答】都完了。

【教师提问】好，现在请各组派一个代表来陈述各组的结论。

【学生回答】用一个平面去截正方体只能截到三边形，则三边形可以为：

（1）等腰三角形，

(2)等边三角形，

(3)普通三角形，

(4)不能截出直角三角形，

（5）不能截出钝角三角形

【教师活动】用多媒体课件展示截得的不同情况，并补充总结。

所得的三角形可能是锐角三角形（如图1）；等腰三角形（如图2）；等边三角形（如图3）.其中等边三角形三个顶点是正方形的顶点.

                     

图1                图2          图3

【学生回答】：用以平面去截正方体只能截到四边形，则四边形可以为：

（1.）长方形；

（2.）正方形；

（3.）梯形。

【教师活动】用多媒体课件展示截得的不同情况，并补充总结。

①用平行于底面的一个平面去截正方体时，按图4方式得到的截面是正方形.

                           图4

②按图5或图6或图7的方式切截，得到的截面是长方形

    图5                图6           图7

③按图8的方式所得截面为梯形.

          图8

【学生回答】可以截得的截面是五边形。

【教师活动】用多媒体课件展示截得的不同情况，并补充总结。

用平面截正方体，当平面经过正方体的五个面时，所得截面是五边形.

=》     

【学生回答】当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六边形，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形

【教师活动】用多媒体课件展示截得的不同情况，并补充总结。

用平面截正方体，当平面经过正方体的六个面时，所得截面是六边形

 

=》

 

特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：

【学生回答】我们组什么也没截得，截得的全是其他组的。

【教师指导】很好，那谁能知道为什么呢？

【学生回答】因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最多有六条边。

【教师指导】你们虽然什么都没截到却研究了所有的情况，也不算没有收获。

课堂小结：

【教师活动】用课件展示所有截面图形，并小结这节课。

【教师总结】这节课大家都做的非常好，大家都亲自动手截的了正方体的截面图，来我们看（课件展示）

 

 

 

 

 

 

 

正方体的截面图

我们得到的结论是：

可能出现的：

锐角三角行、等边、等腰三角形，正方形、矩形、

非矩形的平行四边形、非等腰梯形 等腰梯形、

五边形、六边形、正六边形

不可能出现：

钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、

七边形或更多边形

课后作业：

作业1：写一份学习报告。

作业2：（开放题） A  一个长方体，从中都能截得哪些几何图形？

B 用一个平面去截一个几何体，如果截面是三角形，你能想象原来的几何体可能是什么吗？