数学解题错因分析与对策

 

古田一中   兰诗全

 

数学离不开解题。著名数学教育家波利亚在《数学的发现》中说：“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”，“掌握数学就是意味着善于解题”。在解题实践中，解题者往往因为思路不清晰，叙述不严谨，考虑不周密，自身知识所限，不良的解题心理等原因而使解题发生错误。

教师和学生千不可对错误简单归结为粗心大意，而应当严肃认真地对待错误，细心分析，透过错误表象，发现错误的实质和导因，并通过相应策略，从根源上消除隐患，从本质上纠正错误，有效防止类似错误的再次发生，并通过此进一步巩固“三基”，渗透数学思想方法，调整学生解题心理，将学生引导到正确的轨道上，提高学生准确分析问题和解决问题的能力，提高解题正确率。

1  数学解题错误的原因分析

1.1 概念模糊

数学概念、定义是数学知识的原始生长点，对整个数学知识的构建是非常重要的。可是，一些学生在接受新概念过程中，由于认识的偏差，对新概念的条件和结论不能完整把握或对概念一知半解，没有深入挖掘，用感觉代替理论，造成概念认识不到位，影响解题。

例1 求曲线y=3x－x³过点P（2,－2）的切线方程。

错解  点P在曲线y=3 x－x³上，

∵  ,

∴ ,

∴  过点P（2,－2）的切线方程为：

y+2=－9(x－2)，即9x+y－16=0.

剖析   由于点P（2,－2）恰好在曲线y=f（x）=3x－x³上，因此极容易得到一条切线方程，即以点P为切点的切线，本题求的是“经过点P的切线”，而不是“点P处的切线”，因而不排除有其他切线经过P点。

正解  设切点坐标为P（ , ），则在点P处的切线方程为：

       .

∵  切线过点P（2,－2）,且 ，

∴  ，

整理，得   ，

即         .

∴      或 .

当 时，切点为（－1,－2）,此时切线方程为   ;

当 时，切点为P（2,－2）,此时切线方程为 .

∴   过点P（2，－2）的切线方程为：

    或    .

事实上，当点P在曲线 上，要求过点P的切线时，一定要注意可能存在两种情况：一是点P本身即为切点；二是切线是以曲线 上的另一点Q为切点，但该切线恰好过点P.解题时切勿混淆了“在P点处的切线”与“过P点的切线”两概念，否则会因概念理解不够深刻而导致解题错误。

概念理解不深刻、不到位而引起错解的例子是很多的，在教学过程中，对形如椭圆、双曲线、抛物线的定义一定要讲深讲透；对函数学习过程中，要不断强化函数的定义，深入认识函数的定义域、值域和对应法则。所学的数学概念定义都是知识的原始生长点，它是解题的基础，再重视也不过分。

1.2  生搬硬套

数学解题最重要的是本真意义，要认真分析条件、结论，注意等价性。许多学生解题时不问条件，对公式一知半解，用形式代替本质，到处生搬硬套，漏洞百出，严重影响解题质量。

例2   求和

分析   这是我在讲等比数列前n项和公式应用时常举的一道典型例子。多数学生很快得出如下解法：

 

 

这是每届学生在应用等比数列求和公式时经常出现的典型错误。不问公式应用的前提条件，用感觉解题是有害而无一利的。事实上，按照等比数列求和公式，当公比q是一个不确定的数量时，求其前n项和，则要分公比为1和公比不为1两种情况考虑，本题首先要分当 和 两种情况。

当 时，需进一步分如下4种情况求解：（1）    （2）

                                 （3）     （4）

例3   已知两个等差数列前n项和的比为 ，求这两个数列第9项之比 的值。

错解  由题意设 ， ，则 ， ， ， ，∴ .

剖析   错因是对等差数列前n项和公式缺乏深入理解，生搬硬套，错解中设 ，即将 看成关于n的一次函数，显然是错误的。实际上，等差数列前n项和公式中 即 ，它不一定是n的一次函数。本题解法很多，现对上述解法进行更正，得以下一解法。

正解   设 ， ，则 ， ， ， ，∴ .

1.3  忽视隐含

正确解题的很重要一个因素是善于掌握和灵活处理问题的隐含条件。只有对相关的数学概念、符号、关系式的意义及相关的知识的纵横联系做到心中有数，熟练掌握，灵活应用，才能不被表面现象迷惑，正确抓住问题的本质，在平时的教学中应有意识地培养学生挖掘隐含条件的能力，减少解题失误。事实上，因忽略隐含条件而使解题错误的例子是很多的，下面略举一例，以期引起充分重视。

例4   已知 ，求 的取值范围

错解1   令 ，

则    ，

即    .

  ∵  ,

解之得    ，

∴  

错解2   令 ，

则     ，

即     ，

  ∵   ,

解之得    ，

∴  

错解3   令 ，

则     ，

即     ，

  ∵   ，

  ∴  

∴   .

剖析  上述解法出现了不同的结果，错解3虽然结论是正确的，但解题过程也是不严密的。还有解法认为，以解1、解2答案的交集即得正确答案，笔者认为，这样同样有说不清的地方，为什么取解1、解2答案的交集就是正确答案了呢？上述解法错误都在于忽视了条件“ ”中所隐含的条件: 与 同号，自变量x与y的取值只能在区间  或 ，于是 的范围也受到限制。

     正解       令 ，

     则      ，

即      .

∴   当 时，

，

∴    ，

∵    ，

解之得  .

同理当 时，结论也成立。

∴  

     1.4   思维定势

     为了“熟能生巧”，许多老师会让学生在训练的基础上去总结一些常见题型的解题模式和习惯解法，这是必要的。但因此而忽略由此可能带来的思维定势的负面影响，同样不利于提高学生的解题能力，有时甚至起到相反的作用。因此，教师要有意识地注意思维定势对学生解题的负面影响，辩证看待，提倡既有思维的固定模势，更强调在理解的基础上灵活应变，优化学生的解题过程，提高学生解题能力。

 

    例5   已知 是递增数列，且对于任意的正整数n， 恒成立，求实数 的取值范围。

错解   因 ，由题

 

0    1    2    3  n

意 是递增数列，

 

所以 在 上是单调递增函数，

因此可得 ，即为所求实数 的取值范围。

剖析   以上解答由 是递增数列，断定 在 上是单调递增函数，这是受二次函数单调性知识的思维定势影响而出错的。由于数列通项公式中的n是正整数，而不是取 内的任意实数，如图,该图像表示的数列 显然是递增数列，但不满足 .事实上，应有 ，得 ﹥-3.

另解   由于 是递增数列，因此有 ﹤ ，即 - ﹥0对任意 恒成立，将 代入化简可得 ﹥ ；又因为 ，因此 ﹥-3.即为所求实数 的取值范围。

1.5   缺少方法

人类长期以来，就有这样一种渴望：有种魔力无边的方法，它能解决所有问题；笛卡尔曾冥思苦索想找到一个能解所有问题的通用方法；然而都以失败而告终。科学证明，这样的万能方法是不存在的。虽然如此，但数学问题是能通过相应的具体方法解出来的，数学中解题方法很多，一般方法包括归纳法和演绎法、分析法和综合法，反证法和同一法，常见具体方法包括配元法、配凑法、换元法、待定系数法、消元法、拆项法、类比法、构造法、判别式法、主元法、参数法等。

许多同学由于平时学习不重视解题方法归纳总结，在考试中特别遇到原创型的、背景陌生、题型新颖、结构精巧的题目，感到头脑一片空白，找不到解题相应的办法，只能凭感觉到处硬碰，结果正确率极低。

例6   在数列 中， ，

（1）求数列 的通项公式；

（2）若对于一切n﹥1的自然数，不等式 › 恒成立，试求实数a的取值范围。

在考试后发现第（2）小题的得分率很低，很多同学根本找不到解（2）的办法，实际上由（1） ,得 ，记 .则 ，如何求 的最小值呢？

很多同学找不到求 最小值的简单合理方法，结果只能麻木操作，乱解一通，作一番无用功。其实本题可以通过证明 即数列 为单调递增数列，∴ ，进而问题迎刃而解，这是常规方法，理应很好掌握。因此，方法还是相当关键的。

2  数学解题错误的防范对策

2.1  回归本真，强化“三基”

数学概念、定义、定理、公式等是解题的出发点，务必认真研究，注意前提条件，适用范围，相应结论。强化基础知识，基本技能和基本思想方法的学习，它们是解题的原动力，“巧妇难为无米之炊”，离开了“三基”，数学解题就无从谈起。再难再活再新的数学问题的解决都源于扎实的基本功，在平时的学习中，一定要狠抓“三基”，系统学习，形成知识网络结构，以不变应万变，扎实应对各种各样的数学习题。教师要不时地对数学概念、基础知识进行归纳、总结、深化。对知识和方法的内涵、外延进行挖掘、深化、拓展，从而深刻地理解基础知识的本质，基础知识的来龙去脉，有效避免在解题中出现一些不该出现的错误。

2.2  错解剖析，反思总结

错解蕴含着丰富的资源，是学生学习和教师教学的宝贵资料，需要我们的智慧和精力去深入挖掘利用。错误是正确的先导，是成功的开始，我们应该积极主动去挖掘错误，剖析错解，防止类似错误的再发生。例如，可以反思总结错在何处，错因分析；应该怎么做，为何这样做；能否一题多解，哪种方法更优；能否变条件，变结论，多题一解；错解剖析，有何感悟等等，有效解决解题中“会而不对，对而不全”的现象。这样，学生从反思错误到纠正错误，拓展解题思路，总结解题方法，真正达到解一题通一类，知识与技能得以巩固，思想方法得以升华，思维能力和思维品质得以提升发展，真正做到在错误中成长，在错误中成熟，从错误引向正确。

2.3  渗透思想，培养能力

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象与概括，它蕴涵于数学知识的发生、发展和应用的过程中。数学中的等价转化思想、函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力，减少数学解题中的各种错误，提高数学解题能力。教师在教学过程中，需对每一种数学思想方法的特点、运用范畴和它在不同知识体系中的作用进行比较、分析，适时运用例子加以渗透说明，使学生有清晰的数学思想方法认识，用数学思想方法指导解题，这是佳法，更是妙法，要高度重视，这里就不一一展开论述了。

2.4  关注心理，调整学法

学生解题成功一方面源于扎实的解题能力，另一方面取决于过硬的心理素质。从学生解题的大量实践中发现，他们解题失误的很重要一个原因是不良的解题心理。对能解出的题目总怀疑自己解答的正确性；对陌生新颖的题目总感到畏惧，不相信自己的能力；遇到计算量稍大一点的题目，更是手忙脚乱，不知所措……，这些问题都会严重影响到学生解题的成败。因此，教学中要帮助学生调整好解题心态，进行耐挫教育，养成良好的解题习惯，相信自己只要平时学习扎实，解题时冷静思考，沉着应对，细心计算，一定能发挥出自己应有的水平。教师平时要多与学生交流解题中遇到的各种问题，及时加以解决，增强他们的解题成功的信心。另外，教师要在教学过程中不断渗透学习数学的方法，引导学生学会思考，学会提问，学会解决，学会反思，这样才会让学生感悟数学，用过硬的心理，用良好的方法学好数学。