看似简单的“字母”——对“用字母表示数”的磨课

东城区前门小学  赵岩

一、研究背景

“用字母表示数”怎么就这么别扭！

案例1：“3a”看起来有些别扭！

在学习“简易方程”一章的学前调研中，教师测试了这样一个问题：“苹果每千克a元，妈妈买了 3千克，花了多少钱？”许多学生都没有回答，问原因孩子们都说：“没法算出结果啊！”学习完“字母表示数”后再测试这样的题，还是有不少学生对答案是“3a”表示怀疑，不认同这就是结果。

学生为什么会有这样的困难呢？为了深入了解学生的思考过程，我们又对上面的问题进行了深度访谈。

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在“用字母表示数”这部分内容中，多版教材都用到了求年龄的例子。以人教版教材为例（如左下图所示）：如果用a来表示孩子的年龄，那么父亲的年龄就可以用a+30来表示。但是，对于“a+30”这个答案学生会很困惑。在课前访谈中，学生会经常问“父亲的年龄到底是多少呀？”，“a+30到底是多少呢？这不是一个结果。”

对用含有字母的式子表示没有需求，缺乏用字母表示的必要性，总要赋值，学生看到的只是具体的年龄数，不容易看出变量，看来这个成年人看似简单的问题，学生往往存在着“潜在”的困难。在这种“潜在”问题尚未解决之前，此例题还涉及了字母的取值范围问题，对学生来说可谓“难上加难”。

二、提出问题

学前调研里出现的问题引发了我们的思考：

第一，学生为什么觉得“3a”、“a+30”这样的答案看起来别扭？

第二，如何依据学生“字母表示数”的困难安排本部分教学？

第三，针对学生理解年龄问题的困难，教学可以做哪些调整？

三、深入分析

H．Freudenthal，1905—1990，弗赖登塔尔(H．Freudenthal，1905—1990)是国际上极负盛名的荷兰数学家和数学教育家

弗罗伊登塔尔, Freudenthal《作为教育任务的数学》，上海教育出版社，1995年出版，陈昌平

（一）“过程”与“结果”：代数的本质及代数式的两面性

关于“字母表示数”的研究，启发比较大的是荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔观点。字母可以表示两层含义，一是作为专有名词，例如“KFC”表示肯德基；另一层是数学含义，其又可分为两个方面，一是未知元，二是变元，学生对于“变元”的理解是非常困难的。另一项有启发的研究是英国的儿童数学概念发展水平的研究（CSMS），学生对“字母表示数”的理解可以概括为6个水平[1]：

    1.赋予特定数值的字母：从一开始就对字母赋予一个特定的值；

    2.对字母不予考虑：根本忽视字母的存在，或虽然承认它的存在，但不赋予其意义；

    3.字母被看成一个具体的对象：认为字母是一个具体物体的速记或其本身就被看成一个具体的物体；

    4.字母作为一个特定的未知量：把字母看成一个特定的但是未知的数量；

    5.一般化的数：把字母看成代表了或至少可以取几个而不只是一个值；

6.字母作为一个变量：把字母看成代表一组未指定的值，并在两组这样的值之间存在系统的关系。

案例1的访谈中，有两位学生实质上是将字母赋予了特定的数值，最后一个孩子只是由于没有找到条件中这个特定的数值，而勉为其难的选择了字母，说明他们并没有达到将字母看为一般化的数（把字母看成代表了或至少可以取几个而不只是一个值）这样一个程度。案例2也同样是这个问题，而且“a+30”在结构上比“3a”（乘号省略后容易看成一个整体）更让学生想知道其结果是多少岁。学生只承认这个式子表示运算过程。五年的算术思维在学生头脑中根深蒂固，一个具体的数作为结果学生最易接受，这就不足为奇了，也鲜有学生能够高水平地理解“字母表示数”。

结构，是代数最基本的方面之一。我们这里所说的结构，正如弗赖登塔尔所指出的：“结构是从语言表达抽象出来的一种形式。”他给出了一个代数结构简单的例子“a+b=c”，即将一个数a和另一个数b加到一起，就会得到数c。回想在算术中，当写两个数相加的形式时，如2+7，通常就是要算出2和7的和9，“2+7”通常只是一个过程，“9”是“2+7”的结果。而代数式“a+b”这个形式本身，既表示a和b这两个数作加法运算，也表示a和b相加的结果。即a+b本身既可以看作运算过程，又可以看作运算结果，也就是作为一个对象看待。将2+7作为一个数的解释是代数，它与文字演算紧密相关．如果说把代数式作为一个运算过程来理解，对于开始学代数的学生来说还不是太困难的话，那么把代数式作为一个结果对象来理解就是比较困难的了。我们不妨举马明先生的一段学生时期的回忆作为例证：“已知长方形的长为a尺、宽为b尺，求其周长．我算的结果是2(a+b)尺。我拿着这个结果去问老师：‘究竟这个长方形的周长是多少？’老师说：‘不是已经算出来了吗？2(a+b)尺！’我感到困惑不解。”……

由此，访谈的几名学生的回答就不足为奇了，填写具体数据的学生其实与没写答案的学生想法一样，只不过他们稍微动了一下脑子，借助生活经验把答案填上了。这正是对初学者只知代数式表示过程、不知代数式也表示结果的生动写照。因此，对代数式的意义的认识，学生不是一蹴而就的，而是需要一个理解的过程。代数式既表示运算过程，同时也表示运算结果，这件事可以这样理解，如2(a+b)，当我们代入数值a=2，b=1时，经过运算，就得到2(2+1)=6，这显示了代数式过程性的一面。同时，对于2(a+b)，不论a和b代入何值，它都代表周长，代表长为a、宽为b的长方形的周长，是作为一个对象，或者说是作为一个整体来理解的。

（二）“表达形式”和“实质含义”：“字母表示数”学习困难的多面性。

人教版教材“字母表示数”有四个例题，具体内容是用字母表示数的书写规范、字母表示运算定律和计算公式以及用字母表示数量关系和结果。按以往教学，将4个例题放在一节课教授，虽然将难点定位在“让学生理解含有字母的式子既可以表示结果也可以表示关系”，但整节课上下来，感觉有些“忙叨”，突破难点的时间不多。发现学生不仅理解含有字母的算式表示数量关系时存在困难，同时他们也没有接触过字母还可以表示变量。例如在巩固练习环节中学生说青蛙歌，当学生已经说到了15只青蛙时，他们还没有要停下来的意思，这说明学生并没有真正的将字母和变量联系起来。由于学生对字母表示数的书写规范还不了解，即使在例题中已经说明，在后面的练习中仍然有学生出现许多的书写错误，如“xx”“a2”。于是我们对教学内容重新进行安排，将原来的一课时变为两课时，用字母表示数的书写规范，以及用字母表示运算定律和字母公式等知识迁移到第一课时进行教学；第二课时将教学的主要精力和重点放在让学生充分体会字母表示未知数和变量上，而不需既要照顾到字母表示数的书写，又要让学生体会字母可以表示变量等，这样可以做得有的放矢。

（三）“对话”和“争辩”：在感悟和碰撞中学习。

第二课时，我们针对学生在用字母表示年龄问题，即用字母表示变量的困难，我们大胆将第四个例题有关求爸爸年龄的内容改成数青蛙歌，目的是便于理解字母表示变量，不受取值范围的影响，更好地体会字母的概括性，以便更好地突破难点。在教学中，我们会提出这样的问题：