几种常见方法的比较

验证“三角形的内角和是180°”，常见的有三种方法：（1）用量角器量出三个角的度数，然后加起来看是不是180°（简称“测量求和法”）；（2）将三角形三个角剪下来，再将它们拼在一起看能不能组成平角（简称“剪拼法”）；（3）将三个角折起来拼在一起，看能不能组成平角（简称“折拼法”）。

这三种方法中，“测量求和法”的优点是：接近学生的思维水平，课堂上学生很容易想到，也很容易理解；缺点是：“测量”存在着误差，因此测得的三个角的度数加起来往往都不是180°。这使得测量结果非但不能验证结论，相反却易给人造成“三角形内角和不是180°”的错误印象。“剪拼法”的优点是：操作简单、看起来一目了然；缺点是：破坏了原图形，不能很好地体现原图形与撕下来后图形间的联系与变化。“折拼法”有效地避免了量、撕的缺陷，可惜操作起来方法不明──学生并不能十分清楚地掌握折的方法。因此，我们对教材中的“折拼法”方案稍作改进：首先让学生折“高”找到对应的“垂足”，然后将三角形三个“顶点”分别对准“垂足”进行折叠就行了（如图1）。经改进操作起来简捷多了。

其实，对于三角形内角和的三种常见验证方法，或多或少都存在着误差。用任何一种方法验证“三角形内角和是180°”，都不足以让人信服。因此，让尽量多的验证方法出现在课堂上，“让各种方法相互解释、互相佐证”是上好这节课的关键。

然而事实并不随你我所愿。正常情况下，学生上课时只能想到“量”这一种方法，其他方法的出现，充其量仅仅是一两个“优等生闻道预先”。如何通过教师艺术的启发，引导出多样的验证方法呢？我们对课堂中可能出现的种种情况进行了预设：学生猜想“三角形内角和是180°”，教师将猜想板书在黑板上追问：三角形内角和真的是180°吗？说说你的依据。

（1）“测量求和法”的引出：采用“一点突破”，紧扣“内角和”逐步逼近。

先用红笔圈出课题“三角形内角和是180°”中的“内角和”，（停顿，看看老师的暗示能不能个学生启发）如果学生还是想不到，接着启发“课题中“内角和”是什么意思？”

如果学生还想不到方法，继续提问：要知道三个内角“度数”的和，要用到什么工具？怎么办？

（2）“剪拼法”的导出：采用“说半句留半句”的策略，将“180°”与“平角”联系起来。

先用红笔圈出“180°”并提问：我们前面学过180°的角又叫做──（缓缓地、比学生慢半拍）平角。

引导：判断三角形的内角和是不是180°，就可以将三角形的三个内角──（等待，学生能说让学生说，学生不能说教师手势在前，语言在后）放在一起，看它们能不能拼成（再等待）──平角。

（3）至于“折拼法”，让学生自学教材，边看边操作就行了。

几种常见方法呈现的“序”

验证三角形内角和是180°，教师们基本都是从学生较易理解的用量角器量角求和入手，然后再研究撕、折等拼角的方法。对这样的安排，我认为有些不符合逻辑──因为在交流“量”这种验证方法时，不管教师怎样解释，实际量得的结果总是实实在在地影响着“用拼角的方法验证三角形内角和是180°”的可信度──理由很简单：工具测量有误差，粗略“拼凑”误差更大。 “误差”是一个“剪不断，理更乱”的话题，教学时我们不妨采用“回避”的策略：首先，将学生提出的各种验证方法列举在黑板上；然后在集中交流时，先讨论撕或折的方法，让学生体验、确认“三角形内角和是180°”；最后，与学生一起交流用量角器测量验证的方法并讨论：为什么测量算得的三个角度数加起来不是180°呢？这样让学生正向确认，反向解释，不但避免了误差干扰，而且强化了“三角形内角和定理”。

几种不常见方法的介绍

1.三角形内角和定理的发现。

如果事先告知学生“三角形的内角和是180°”，我们可以紧扣180°进行验证。如果事先没有告知“三角形内角和是180°”怎么会将“三角形内角和”与“180°”联系起来呢？

据说，帕斯卡首先是在无意中发现了“直角三角形的内角和是180°”。他将矩形沿对角线剪开，发现“任意矩形都能分成两个完全相同的直角三角形”，他想：“如果改变矩形长和宽，不就可以得到任意直角三角形吗？”因为矩形的四个角都是直角，所以矩形的内角和等于360°。又因为“分成的直角三角形的内角和正好是矩形内角和的一半”，所以“直角三角形内角和为180°”。接着，帕斯卡又发现“任何三角形都可以分成两个直角三角形”，这两个直角三角形去掉两个直角，剩下的就得到原三角形的内角和为180°。

2.三角形内角和定理的证明。

证明“三角形内角和是180°”，常用方法是作一条平行线，利用两直线平行，内错角和同位角相等进行证明。（如图2）

3.三角形内角和定理的直观证明。

其实无论是“量”还是“撕”、“折”，都存在着误差。若能找到一种直观的、没有误差的、学生能理解的方法，对学生口服心服地接收“三角形内角和是180°”至关重要。特向大家推荐将下面这种验证方法：先将铅笔笔尖朝右与边AB边重合，然后依次按照三角形的三个内角∠A、∠C、∠B的大小旋转铅笔，三个角都转过后，铅笔笔尖正好调转了方向，由向右变成向左（如图3）。

铅笔一共旋转了180°，所以三角形内角和是180°。