《等差数列》单元教学设计

西安市西光中学    冯有涛

一．设计意图

近三年来，我校正在大力推进“问题引领课堂4—S”教学模式，“ 4—S”教学模式是以学生为主体，以问题为中心，以探索为主线，以培养学生思维能力和创新意识为核心的素质教育的实践模式。课堂上采用 “提出问题——小组讨论——精讲释疑——盘点提升”的教学方式，教师是学生学习的组织者、合作者，以背景问题激发学生的学习兴趣及好奇心。以探索问题引导学生对数学问题进行自主观察、比较、分析、综合、抽象和概括。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，这正是新课程所倡导的教学理念。

本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，探究教学，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新，从而体会学习数学的更多的乐趣！

二．教材分析

本节内容是北师大版高中数学必修五第一章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。 

本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。

三．学情分析

学生已经对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系，同时思维的缜密性还要加强。

四．教学目标

1．知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。

2．能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。

3．情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。

五．重点、难点

教学重点：等差数列的概念及通项公式的推导。

教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。

六．教学策略和手段

教学策略：结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发引导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中领悟得出结论，从而使学生即获得知识又能发展智力的目的。

教学手段：多媒体和黑板。多媒体可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中。使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。

七．课前准备

学生预习

八．教学过程

（一）创设情景，引入概念                  

设计意图：使学生能通过生活中的实际问题的分析，能建立等差数列模型，体会发现和创造的过程。

师生活动：

 情景1：

【师】把班上学生学号从小到大排成一列，这是数列吗？你能归纳出它的通项公式吗？

【学生】是，

【师】把上面的数列各项依次记为，填空：------

【学生】填空并归纳出一般规律：，（）

【师】上面这个规律还有其他形式吗？

【学生】或者写成  ，（）

【师】你能用普通语言概括上面的规律吗？

【学生】自由发言，选择最恰当的语言。

上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。

情景2：看幻灯片上的实例

（1）2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：

        48，53，58，63

（2）水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位 18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）

        18，15.5，13，10．5，8，5．5

（3）我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：

    本利和=本金（1+利率存期）

时间	年初本金（元）	年末本利和（元）
第1年	10000	10072
第2年	10000	10144
第3年	10000	10216
第4年	10000	10288
第5年	10000	10360

例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，   那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表（假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税）

各年末本利和（单位：元）

  10072，10144，10216，10288，10360

【师】上面的三个数列又分别有什么规律呢？

【学生】（1），，

（2），，

（3），，

【师】归纳上面数列的共同特征：

（d是常数），，，

【师】-满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字？

【学生（共同）】等差数列。

写出课题《等差数列》

【师】给出文字叙述的定义（学生叙述，板书定义）：

一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同

一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a₁为数列的首项。

    对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。

【师】这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个？

【学生】某剧场前8排的座位数分别是

       52，50，48，46，44，42，40，38.

【学生】全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是

21，21.5 ,22 ,22.5 ,23 ,23.5 ,24 ,24.5 ,25　

抢答：观察下列数列是否为等差数列

1，2，4，6，8，10，12，……

0，1，2，3，4，5，6，……

     3，3，3，3，3，3，3……

2，4，7，11，16，……

-8，-6，-4，0，2，4，……

3，0，-3，-6，-9，……

（注：常数列也是等差数列，公差是0。）

（二）   推进概念，发现性质                 

设计意图：概括等差中项的概念。总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质。

师生活动：

【师】想一想，一个等差数列最少有几项？它们之间有什么关系？

学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。

设三个数成等差数列，则A叫a与b的等差中项。同时有A-a=b-A,

说明：（1）上面式子反过来也成立。

      （2）等差数列中的任意连续三项都构成等差数列，反之亦成立。

（三）探究通项公式                         

设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法。

师生活动：

【师】对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。

先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。

【师】若一个数列是等差数列，它的公差是d，那么数列的通项公式是什么？

启发学生：（归纳、猜想）可用首项与公差表示数列中任意一项。

【学生】：即：

即：

即：

……

由此可得：

【师】从第几项开始归纳的？

【学生】第二项，所以n≥2。

【师】n=1时呢？

【学生】当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

【师】很好!

（归纳、猜想，培养学生合理的推理能力）还有没有其他的推导方法？

【学生】还可用下面的方法归纳：

当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式

【师】我们把这种方法称为迭代法。还有其他的推导方法吗？

（学生面露难色）

启发：看方法一的第一个式子有何规律？

【学生】可以用累加的方法，左边累加后得，右边累加的d+d+d+……+d共n-1个即=d+d+d+…….+d =（n-1）d 

【师】这种方法叫累加法

总结通项公式的推导方法：递推归纳法；迭代归纳法；累加法。

（注：通项公式中含有四个量，其中为基本量，当确定后，通项公式就确定了。）

(四)通项公式的应用                     

设计意图：通过具体问题，分析等差数列通项公式中的四个量，已知什么？求什么？怎么求？提高学生分析问题，解决问题的能力。

师生活动：多媒体展示，学生练习

例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项？

     （2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

分析：（1）中求第20项，需要知道什么呢？——首项和公差

     （2）中怎样判断-401是不是数列中的项呢？——先求通项公式，再判断是否存在正整数n，使得-401= 成立。

例2、已知数列的通项公式为，其中p，q是常数，且p≠0，那么这种数列是否一定是等差数列？如果是，其首项与公差是什么？

【师】：如何分析题意？

【学生】：由等差数列定义，要判定{a_n}是不是等差数列，只要看a_n-a_n-1（n≥2）是不是一个与n无关的常数就行了。

（学生叙述，多媒体展示）

解：取数列{a_n}中的任意相邻两项a_n-1与a_n（n≥2）。

∴a_n-a_n-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=(pn+q)-(pn-q+q)=p，

它是一个与n无关的常数，所以{a_n}是等差数列，且公差为p。

在通项公式中，令n=1得a₁=p+q，

所以这个等差数列的首项是p+q，公差是p。

【师】数列的通项公式给出的是a_n与n之间的一种关系，一个n都对应着一个a_n，这与我们以前学过的什么内容类似？由本例得到什么结论？（引发学生联想、归纳，学生很自然会想到一次函数）

【学生】与一次函数内容类似，即a_n与n之间的关系是一次函数的关系；

由本例的结论可知，如果a_n是关于n的一次函数，那么数列{a_n}是等差数列。

【师】本例题的逆命题，是否也成立？请同学们课下自己完成证明。

由上面例题实际上可以得出证明数列{a_n}是等差数列的一种方法。

（五）通项公式的图象

设计意图：加深学生对等差数列与一次函数的联系的理解。

师生活动：在直角坐标系中作通项公式为a_n=3n-5的数列的图像，并观察图像有什么特点？

【师】数列的图象是一群孤立的点。且都落在直线的图象上。

【师】由图归纳出等差数列通项公式的图象的特点。

【学生】公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。

（注：当p=0时，a_n=q，等差数列为常数列，此时数列的图象是平行x轴（或x上）的均匀公布的一群孤立点。）

（六）课时小结
提出问题：这节课你学到了什么？
    教师鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。多媒体把学生的归纳用一张表展示出来。
①等差数列定义和通项公式:  （n∈）
②等差中项：A叫a与b的等差中项

③等差数列的性质： 

④等差数列的图象是直线 y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点。 

 

九、板书设计

 

 

 

 

等差数列
一．概念 1．等差数列 2．等差中项 二．通项公式与性质 3． 4．	公式推导过程 三．等差数列与一次函数的关系 四．例题 五．小结

十、作业设计

（一）阅读作业：通读教材，复习巩固，等差数列的通项公式的求法。

（二）书面作业：课本45页习题2.2组A1，2，3，4题。

（三）弹性作业：模仿等差数列的定义，思考 “等比数列”.请探究它的定义、通项公式和相关的性质。

十一、教后反思

本节课的设计，把提出问题与解决问题、独立思考与合作交流等有机结合起来，从而使教学和谐有序地展开。在教学过程中，学生的知识结构被建构，数学思想方法被激活，创新意识被唤起，为本节课增添色彩!