最大公因数与最小公倍数解决实际问题

学生对求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法还是比较熟悉的，但在学生的练习中，运用所学习的知识正确解决实际问题，是比较难的问题。原因当然是学生多数不能准确分析要求的到底是最大公因数还是最小公倍数，有的题目就是知道了要求的是最大公因数还是最小公倍数，也会因为另外还应该继续求解而出错。

主要困难有这样几种：

1、不知道求最大公因数还是最小公倍数

例1：一个长方形长16厘米，宽12厘米，现在把它分成大小相等的正方形，则正方形的边长最大是多少？

因为分成的正方形是长方形的一部分，是小的量，就是求长与宽的公因数，“最大”两个字也帮我们理解应该求最大公因数。

(16,12)=4

2、继续的求个数问题不知道应该用加法还是乘法

对策：如果是两个量是相对独立的，并不相连，则应该用加法，如果是相连的，像长方形的长与宽，则应该用乘法。

例2：一个长方形长16厘米，宽12厘米，现在把它分成大小相等的正方形，则最少可以分成多少个？

根据方法1，可以得出应该先求长与宽的最大公因数，

（16，12）=4，即正方形的边长最大是4厘米。

这时就要分开求长中有几个边长：16÷4=4

宽中有几个边长：12÷4=3

这时的关键就是应该用乘法还是加法计算的问题，长中有4个边长，就是长里一行可以分4个，宽中有3个边长，就是宽里可以分这样的3行，所以应该用乘法。

例3：两根彩带，一根长16米，另一根长12米，现在要把这两根彩带分成同样长的小段，最少可以分成几段？

既然是“分成小段”，当然应该是求最大公因数。

（16，12）=4，即每小段的长度最大是4米。

而要求最少可以分成几段，应该16÷4=4，12÷4=3

这时要注意，因为两根彩带其实是不相连的，各分各的，所以应该用加法计算：4+3=7

3、有余或不足到底该加还是减

对策：看是有余还是不足。有余就是多出来了，算出的数比原来的数小，所以要把剩下的加上去，如果是不足，就是必须先“借”一些才可以，算出的数就多了，所以要减去。而关键是分清楚是“有余”还是“不足”。

例4：一些糖果，如果每个学生分15粒则少3粒，如果每个学生分18粒也少3粒，这些糖果最少有多少粒？

这里的“少3粒”是相同的，如果加3粒，则都正好分完，所以应该先求15和18的最小公倍数，

【15，18】=90，这是如果多3粒的情况下，现在是少3粒，应该是不足的，所以应该减3，即应该是90—3=87

例5：一些故事书，平均分给一些学生，如果每人分15本，则还剩10本，如果每人分20本，则还剩15本，这些故事书最少是多少本？

这里的“剩”并不是真的剩，其实它是另一种的不足：如果再多5本，则每人分15本，可以再分给1个人，每人分20本，也可以再分给1个人。所以其实是“不足”5本，书的本数就是15和20的最小公倍数少5本。

【15，20】=60，60—5=55

（只要是数据相同的，少就是不足，多就是有余，而数据不同的，多数是不足，因为如例5，差的数据应该就是相同的了。）

综合上面的方法，教给学生分析的方法是上策，总结规律上升到技能也还不算是下策吧。

在公共汽车站有三条汽车线，一路车每隔5分钟开出一辆，六路车每隔10分钟开出一辆，八路车每隔8分钟开出一辆。这三路汽车在同一时刻发车后，至少再过多少分钟，又在同一时刻发车？

这一、六、八路车在同地同时发车后，由于每路车发车时间的间隔不同，再次同时发车经过的时间，必然是5、10、8分钟的公倍数，根据题意要求，至少再过多少分钟，说明所求的就是5、10、8分钟的最小公倍数。

5、8、10的最小公倍数是2×5×1×4×1=40

答：至少再过40分钟，又在同一时刻发车。

1、小红、小青、小蓝三人定期去图书馆看书，小红每6天去一次，小青每8天去一次，小蓝每9天去一次。如果今天她们在图书馆见了面，那么至少再过多少天她们三人又会在图书馆见面？

2、张亮有七八十块糖，这些糖无论是平均分给8个人，还是平均分给12个人，都剩5块。张亮有多少块糖？

例. 某班学生人数在40~50人之间，如果分成8人一个小组，那么有一个小组多5人；如果分成12人一个小组，那么有三个小组各少1人。求这个班的学生人数。

［分析与解］由“如果分成8人一个小组，那么有一个小组多5人”可知，要再组成一个小组则少3人；由“如果分成12人一个小组，那么有三个小组各少1人”可知，要分成12人一个小组，一共少3人。可见，如果增加3人，这个班的学生人数就既是8的倍数又是12的倍数。也就是说，这个班增加3人后，学生人数是8和12的公倍数。根据8和12的最小公倍数是24及这个班的学生人数在40~50人之间可知，增加3人后，这个班有24×2＝48（人）。所以，实际上这个班的学生人数是48－3＝45（人）。