二次函数与特殊三角形的存在性问题的课堂教学建议

二次函数与特殊三角形的存在性问题主要分为两类，一类是静态的特殊三角形的存在性问题，一类是动态的特殊三角形的存在性问题。静态的特殊三角形的存在性问题难度相对较小，可根据抛物线的对称性以及三角形的特点为切入点来解决，而动态的特殊三角形的存在性问题难度相对较大，解决此类问题的关键是根据题意分析出动点在动的过程一些不变的量以及不变的关系。下面就两道中考题为例来分析二次函数与特殊三角形的存在性问题。

1． 陕西2012年中考第24题

如果一条抛物线 与 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．

（1）“抛物线三角形”一定是三角形；

（2）若抛 物线 的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 的值；

（3）如图，△ 是抛物线 的“抛物线三角形”，是否存在以原点 为对称中心的矩形 ？若存在，求出过 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

2.2010荆门市中考第24题

已知：如图一次函数y＝ x＋1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y＝ x²＋bx＋c的图象与一次函数y＝ x＋1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为(1，0)

(1)求二次函数的解析式；

(2)求四边形BDEC的面积S；

(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由． 

第1题是静态的二次函数与特殊三角形的存在性问题。这道题第一问很简单，但同时也是解决第二问的关键，第三问其实可以看作是等边三角形的存在性问题。第2题是动态的二次函数与直角三角形存在性问题，这道题相对于上一题难度较大，这道题关键是分析出点P在运动存在的不变关系即可。

一、     二次函数图像的特征与特殊三角形的性质

1、二次函数图形是抛物线，抛物线关于对称轴对称，所以得到由抛物线顶点、与x轴的两个交点为顶点的三角形一定是等腰三角形，而且抛物线的顶点就是等腰三角形的顶点。第二问的等腰直角三角形就是要由等腰直角三角形本身的特征，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用此特征来解决。而第三问是否存在以原点 为对称中心的矩形 ，其实可以看做是是否存在等边三角形OAB，也就是利用等边三角形的性质来解决。

2、第2题第（3）问主要利用动点P在x轴上运动，而B、C两点固定不动的特点想到构造相似三角形，这里是Rt△BOP∽Rt△PFC利用相似三角形对应边成比例 来解决。  

二、教学建议

1、如果是静态的二次函数与特殊三角形的存在性问题难度较小，只要根据提意，分析抛物线以及特殊三角形的特征，便能很容易将问题解决。

2、如果是动态的二次函数与特殊三角形的存在性为问题，解题关键是寻找动点在变化过程中不变对的量和不变的关系，只要能清楚找到不变的关系，利用它可列出相应的式子，便能将问题解决。这两道题的具体解题过程这里不再赘述。