函数在生活中的应用

——促销活动中的函数问题

长安六中  雷  洋

【教学目标】

１.知识技能：

（１）培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力。

（２）通过学习函数基本模型的应用，初步向学生渗透理论与实践的辨证关系。

２.过程与方法：

（１）通过实际问题情境，了解实际问题中量与量之间的变化规律，可以用函数来刻画，研究函数的性质就等价于研究实际问题中量与量之间的函数关系。

（２）通过学生的讨论、探究，使学生会将实际问题抽象、概括，化归为函数问题，进而逐步培养解决实际问题的能力。

３.情感、态度与价值观：

（１）体会事物发展变化的 “对立统一”规律，培养学生辨证唯物主义思想。

（２）体会研究函数问题的一般方法，体验由具体到抽象的思维过程，感受常用的简单重要函数模型在实际问题中的作用。

（３）领悟函数与数形结合的数学思想，培养学生的合作意识，概括归纳能力和科学的思维方式。

【教学重点】收集图表数据信息、拟合数据，简单函数模型在促销活动中的应用。

【教学难点】对促销活动中实际问题建立起函数模型，并进行模型修正。

【学法指导】利用多媒体教学手段，根据教师的引导启发，同学们之间的交流合作、讨论、观察、分析、概括、归纳、总结，达到教学目标的要求。

【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题：

图片信息创设本节课的教学情境。

引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.

比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望。

可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题。

（二）结合实例，探求新知：

[实例探究1]   某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

引导学生探索过程如下：

1）本例涉及到哪些数量关系？

2）应如何选取变量，其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？

4）“总收入最高”的数学含义如何理解？

根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析。

[分析]

设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30

设客房租金总上收入元，则有：

=（20+2）(300－10)

  =－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）

由二次函数性质可知当=10时，=8000。

所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元。

[实例探究2]   商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠办法：

(1)买一只茶壶赠送一只茶杯；

(2)按购买总价的92%付款。

某顾客需购买茶壶4只，茶杯若干只(不少于4只)，若以购买x只茶杯的付款为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并指出如果该顾客需购买茶杯40只，应选择哪种优惠办法？

分析　本题考查一次函数的应用，付款分为两部分，茶壶款和茶杯款，需要分别计算．

[分析]    

由优惠办法(1)得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，x∈N*)．

由优惠办法(2)得函数关系式为y2＝(20×4＋5x)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，x∈N*)．

当该顾客需购买茶杯40只时，采用优惠办法(1)应付款y1＝5×40＋60＝260(元)；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6＝257.6(元)，由于y2＜y1，因此应选择优惠办法(2)．

　注意：分析问题时要抓住实质，本题的实质是一个一次函数问题。

[实例探究3]   某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

[分析]

（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为： =12，所以这时租出了88辆车.

（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：f（x）=（100－）（x－150）－×50，整理得：f（x）=－+162x－21000=－（x－4050）2+307050.所以，当x=4050时，f（x）最大，其最大值为f（4050）=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元。

 [随堂练习]

1.某商场用元（为正整数）购进了一批共台（为质数）电子产品，其中4台在促销活动中以进价的一半价钱售出，其余的电子产品在商场零售，每台盈利500元，结果这批电子产品使该商场获得利润5000元，则的最小值为？

2.某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额  ①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠，某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他一次购买上述同样的商品，则应付款多少元？

【思路引导】

1. 建立数学模型时，既要考虑误差最小，又要考虑客观实际，当可用的模型教多时，可以利用数形结合的方法，通过图象将各个函数间的关系与区别显示出来，为解题方向作出正确的估计与判断。

2. (1)问题提出 (2)分析理解 (3)拟和函数(4)计算验证 (5) 结论 (6)误差分析

【课堂小结】

本节课我们通过几例实际问题，体会到了用函数模型来刻画促销活动问题的方法，明白数形结合法是研究函数性质，解决实际问题的有效方法。

通过以上实例可以看出函数作为描述变量之间依赖关系的数学模型在刻画现实问题中具有广泛的应用。