<数列求和>教学案例分析

 设计背景：

     生活中处处有数学，处处有求和，而且在高考中数列求和也占有举足轻重的作用。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧．

课标要求：

    1.掌握等差数列、等比数列的求和公式．

    2．了解一般数列求和的几种方法.

     对等差、等比数列的求和以考查公式为主，对非等差、非等比数列的求和，主要考查分组求和、裂项相消、错位相减等方法

教学目标：

     通过本节课的学习，让学生在掌握等差数列和等比数列两个特殊数列的基础上，利用公式法，分组求和法，错位相减法，掌握非等差数列的求和问题

教学重点：

        掌握公式法，分组求和法，错位相减法三种方法对数列求和

教学难点：

        利用错位相减法进行数列求和

学情分析：

     本节课学生是在掌握了等差数列和等比数列的两种特殊数列的基础上探究对非等差等比数列的求和问题。培养学生的归纳总结的能力．而整堂课教师力图以学生探究、师生交流和教师讲授相结合的方式来展开．提高学生灵活运用各种方法的水平。

教学策略与手段：学生自主探索，动手练习，课堂讨论，教师引导、总结。

   教学设计思想

本节课是探讨一般数列的求和问题．主讨围绕着三种求和方法展开，即公式法，分组求和法、错项相消法、本堂课从学生熟悉的两个简单的等差等比数列的求和问题入手，通过对这两个数列对应项相加再求和，引出第一种方法“分组求和法”，这样的引入是符合学生的认知规律的．接下来的一道练习题是为了巩固方法，让学生了解该方法所适用的不同题型，以便灵活运用．接着在对原来的两个数列对应项相乘，又得到新的数列，再让学生求和．当学生思维产生障碍时，教师引导学生去分析、去探索，最终克服困难，引出错位相减法，这种方法也是本节课三种方法中较抽象、较难理解的一种，因此先引导学生回顾方法，再动手练习，练完后和同学共同演示整个解题过程．完成后又让学生自己总结注意的地方，以深刻理解该方法．最后通过练习巩固这种方法．对于每种方法，教师都让学生自己总结所适用的题型，提高学生灵活运用各种方法的水平，并且培养学生的归纳总结的能力．而整堂课教师力图以学生探究、师生交流和教师讲授相结合的方式来展开．

教学设计与实施

【教师】：数列求和这一部分之前在咱们高考中占有很重要的位置，是咱们高考理科数学六大解答题之一，因此我们先来看看高考要求，以及我们本节课的目标（多媒体展示）。

在前面我们已经复习了等差等比数列的求和公式，本节课我们来研究非等差等比数列的求和问题．上课之前，我们先看下面两个数列，老师在黑板上写了两个数列：

（1）①1,2,3,4,…；     ②

老师就请学生看黑板上的题，分别求出它们的通项公式和前n项的和，

并化为最简．学生都认真地开始计算．老师请一位学生回答，

【学生】①中：；②中．

设计意图：通过这两道题让学生先回顾前面的两个特殊数列的通项公式和前Ｎ项和公式，为后边的解题打好基础。

板书：公式法：适合于等差和等比数列的求和问题

【教师】：很好．同学们能够很快的把两个数列的通项公式和求和公式求出，是因为判断出这是两个我们熟悉的等差或等比数列．那么你们能否求出数列

（2）的通项公式和前n项的和呢？

有前两题作铺垫，学生应该不很费力的就能得出数列的通项公式和前n项的和

【学生】．

【教师】：请问这个数列是等差或等比数列吗？你是怎么求得的？

【学生】：其实很简单的，这个数列非等差等比数列，但它的每一项是由前两个等差等比数列对应项相加所得的，所以通项公式和求和也对应相加．

【老师】：分析的很好．第三个数列虽非等差或等比数列，但它是由一个等差数列和一个等比数列对应项相加所得的新数列．所以我们可把它的通项公式拆成等差和等比数列两项，然后再分别求出它们的前n项的和，即得新数列的前n项的和．这种把通项公式拆成两个或两个以上的等差或等比数列的求和的方法叫做分组求和法．今天我们就要一起来探讨非等差或等比数列的求和问题．

设计意图：由两个熟悉的等差、等比数列的通项公式和求和问题引出非等差等比数列的求和问题，由浅入深、层层铺垫，体现了数学中化归的思想．由学生自己探索、发现，符合学生的认知规律，也能调动学生的积极性。

【教师】：那么，什么样的数列求和能用拆项法呢？

板书设计：分组求和法：把一个数列的通项分成几个可以直接求和的数列．

【教师】：有前边的问题，我们不难发现，要对数列求和，关键先要看通项公式。下面再来看这样的一个数列：

（3），你能求出它的前n项的和吗？

学生开始安静下来，陷入沉思，有的学生开始讨论．过了一会之后，老师发现有的学生表情有点兴奋，于是叫了其中一位起来回答．

【学生】：这个数列的通项公式是，由拆项法可看成一个常数列和等比数列的对应项相减，所以

【老师】：对，这个数列从形式上无明显的由等差或等比数列对应项加减的痕迹，但通过对通项分析化简，可转化为等差等比数列问题，从而用拆项法求和．【老师】：拆项法适用于通项公式是等差或等比数列的和的形式的数列，现在如把开始的两个等差等比数列的对应项相乘，得到一个新数列，你们试试看又如何求出该数列的前n项的和呢？

（4）

学生开始思考，教师里非常安静．有学生皱着眉头在想、有的低着头在算、有的窃窃交流、还有的似乎一片茫然……老师叫一位在低头算的学生说说想法，该生说:“这个数列每一项的第一个乘数依次构成一个等差数列，第二个乘数依次构成一个等比数列，可我又不能把它拆成两个数列的积，就不知怎么做下去了．”

老师：你回想一下当初等比数列前n项和的公式的推导过程．

学生：等比数列前n项的和的公式的推导过程是这样的：先写出，再写出，然后把两式相减，再分情况化简求得．

老师：现在你能想明白这个数列如何求和吗？

学生：我明白了．等比数列的各项也由一个常数等差数列和一个等比数列对应项相乘而得的，那么这种求和的方法一定可以参考．

这句话激起了下面学生的兴趣，好多学生情绪高涨，班里传出窃窃讨论声．他们都拿出纸计算着．过了几分钟有学生计算出来了，开始举手．

学生：我把和相减，左式按的次数提取公因式得：

老师：这样的结果是否正确？

有一个学生指出最后一项前的运算符号应是“减号”．

老师：说得对．这种提公因式的方法很巧妙，不但简化了计算，还转化为等比数列的求和问题．但因为项数比较多，大家是否会觉得容易算错？

学生很有感触地点点头．

老师：现在教你们一个方法．

这时学生都瞪大眼睛，全神贯注地听着．

老师：我们把计算时的书写格式作一下改变，使之上下行且下一行往后错一项，两式错项对应相减即可得．(边讲边板书)

    

学生：这样对应着写就不容易搞错了！

老师:因为是前面乘以等比数列的公比，我们把这种求和的方法叫做错位相减法．现在，请你们总结一下什么样的数列求和可用此法?

给学生留一段思考空间后，老师请一位学生起来回答：如果这个数列是由等差和等比数列对应项相乘而得的，可用错位相减法．

老师:总结的很好．能否再说说看求解的时候要注意哪些地方?

学生1:相减是错开一项后相减，且右式的最后一项是“减号”．

学生2:还要注意相减后的等比数列的首项、公比和项数．

老师总结：同学们把要注意的地方已经找出来了．不管是分组求和法还是错位相减法求和，实质都是把非等差等比数列转化为等差或等比数列的求和问题来

解决，这种转换的思想即为数学中的“化归”思想．”

设计意图：错位相减法是非等差等比数列求和中运算较繁琐的一种．教师不是直接给出方法，再让学生进行针对性解题练习．而是留出足够时间，先让学生先经历迷茫，由此产生强烈的求知欲望，老师“点到为止”，再让学生尽量自己找到解决办法，通过经历求解过程来充分暴露方法的利弊，最终找到解决的最佳途径．

板书：错位相减法适用于一个等差数列和等比数列对应项相乘构成的新数列求和

 

[教师]：下面再通过一道练习题巩固方法

设计意图：：通过学生自主参与、共同探究，得出了几种非等差等比数列求和的几种方法．

课时总结：

【教师】1、本节课你都掌握了哪些求和的方法？

   【学生】 ：（1）、利用公式求和：利用等差、等比数列求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法．

（2)、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．

(3）、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中分别是等差数列和等比数列．

  2 、 数列求和涉及哪些基本技能？

  3、利用错位相减法需要注意哪些问题？

【学生】 相减是错开一项后相减，且右式的最后一项是“减号”．还要注意相减后的等比数列的首项、公比和项数