古典概型中几类问题的归类分析

 赵宝

（西安市长安区第六中学，710103）

古典概型教学中让学生搞清楚几类模型，对学习古典概型有重要的意义，基本的模型包括：抛硬币、掷骰子、摸球等，在解决其他问题是往往将其转化为这些基本的模型，因此，清楚明确的掌握这些常见的概率模型，有助于学生举一反三，触类旁通，丰富解题的技能和技巧，不断提高解题能力．

一．抛硬币模型

硬币数目	基本事件	基本事件数目
1	正、反	2
2	（正，正）（正，反） （反，正）（反，反）	4
3	（正，正，正）（正，正，反） （正，反，正）（正，反，反） （反，正，正）（反，正，反） （反，反，正）（反，反，反）	8
…	…	…
	…

 

说明：①掷两枚硬币时，无论是一次掷，还是依次掷，为了使其基本事件等可能必须考虑顺序，如果不考虑顺序则包含三种（正，正）、（正，反）、（反，反），但三种概率不同，因而不是古典概型。②当然也可划分两种（同侧向上）、（异侧向上），但这样划分没有分为四种划分详细，不便于解决相关问题。③使用树状图列举比较好，容易看出规律。

二、掷骰子模型

骰子 数目	基本事件	基本事件数目
1	1、2、3、4、5、6	6
2	（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6） （2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6） （3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6） （4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6） （5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6） （6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）	36
3	…
…	…	…
	…

说明：①掷两枚骰子，必须考虑顺序，如果不考虑顺序则包含21种，即就是下图中去掉黄色部分的结果，显然，其中（1,1）出现概率为，而（1,2）出现概率为，因而不考虑顺序就不是古典概型。②同样三枚以上采用树状图列举比较好，容易看出规律。

（1,1）（1,2）（1,3）（1,4）（1,5）（1,6）

（2,1）（2,2）（2,3）（2,4）（2,5）（2,6）

（3,1）（3,2）（3,3）（3,4）（3,5）（3,6）

（4,1）（4,2）（4,3）（4,4）（4,5）（4,6）

（5,1）（5,2）（5,3）（5,4）（5,5）（5,6）

（6,1）（6,2）（6,3）（6,4）（6,5）（6,6）

三、摸球问题

例：口袋中有3白2黑共5个球，除颜色外无任何区别，

（1）无放回依次摸3个球。

（2）无放回一次摸3个球。

（3）无放回摸3个球。

（4）有放回依次摸3个球。

摸球问题应该从3个方面入手考虑：

①是否放回②是否考虑顺序③对象是否有区别（是否给同色编号）

下面分别来分析：

（1）无放回依次摸3个球。

分析：①无放回，有序，若区别对象，基本事件总数是古典概型。

      ②无放回，有序，若不区别对象，基本事件总数，基本事件如下：

（白白白）、（白白黑）、（白黑白）、（黑白白）、（白黑黑）、（黑白黑）、（黑黑白）

其中（白白白）概率为，（白白黑）的概率为因而不是古典概型。

 

（2）无放回一次摸3个球。

分析：①无放回，无序，若区别对象，基本事件总数是古典概型。

      ②无放回，无序，若不区别对象，基本事件总数，基本事件如下：

（白白白）、（白白黑）、（白黑黑）

其中（白白白）概率为，（白白黑）的概率为因而不是古典概型。

 

（3）无放回摸3个球。（因为说法模糊，可以按（1）处理也可按（2）处理）

（4）有放回依次摸3个球。

分析：①有放回，有序，对象有区别，基本事件总数是古典概型。

      ②有放回，有序，对象无区别，基本事件总数，基本事件如下：

（白白白）、（白白黑）、（白黑白）、（黑白白）、（白黑黑）、（黑白黑）、（黑黑白）

（黑黑黑）

其中（白白白）概率为，（白白黑）的概率为因而不是古典概型。

      ③有放回，无序，对象有区别，不是古典概型。

其中（白1白1白1）概率为,（白1白1白2）概率为,因而不是古典概型。

      ④有放回，无序，对象无区别，基本事件总数，基本事件如下：

（白白白）、（白白黑）、（白黑黑）、（黑黑黑）

其中（白白白）概率为，（白白黑）的概率为因而不是古典概型。

     

     四、总结：抛硬币和掷骰子可以归结为：有放回的摸球问题。

     掷硬币可看做口袋中有“正”“反”两个球，有放回的摸取每次都有两种选择。

掷骰子可看做口袋中有“1”“2”“3”“4”“5”“6”六个球，有放回的摸取每次都有6种选择。

因而三类问题归结为一类问题，即摸球问题，而摸球问题又可分为两类；

口袋中有个球，摸出个：

摸 球 问 题	处理策略
			是否有区别	是否有顺序	基本事 件总数
	有放回	抛硬币 掷骰子	必须区别	必须考虑顺序
	无放回	依次取出	必须区别	建议考虑顺序
		一次取出	必须区别	建议不考虑顺序
		取出	必须区别	可以考虑也可以不考虑，建议不考虑顺序

     五、摸球问题与分布列

     实际我们在随机变量的分布列中，研究的两类典型的分布：超几何分布和二项分布正好与这两种摸球问题相对应。

1.口袋中有两类球（如：白和黑），总数为N，其中一类数目为M（如：白球数目），从中无放回摸取n个，含该类球数目为X（白球数目），则X服从超几何分布。即：X~H(n，M，N）

2.口袋中有两类球（如：白和黑），总数为N，其中一类数目为M（如：白球数目），从中有放回摸取n次，该类球摸到的次数X（白球），则X服从超几何分布。即：X~B(n,p)其中，

     六、补充：

    无放回也可不区别对象，但应将所有球摸完，并考虑顺序。

    例如：口袋中有3白2黑共5个球，求第三次取得黑球的概率。

 

 

 

 

 

解：不区别对象，将所有球摸完，并考虑顺序，基本事件如下：

 

但如果不把球摸完，只摸三次，第一支概率为，第二支概率为所以不是古典概型。