中考难点：交轨法破解折叠问题中多解问题

近年来全国各省市中考数学试题中频频出现一类折叠类多解问题，大多出现在填空题的压轴题的位置，往往也是全卷中最难的试题之一。

这类试题只所以成为学生的一个难点，大概有以下两个原因，一是(画不出图)学生习惯于静态图形，对于动态图形，不会用运动变化的观点去看，想象不出图形，进而画不出图;

二是(不会算)有时虽然图形画出来两，因其综合性比较强，学生知识存在欠缺，不会算;有时虽然知道怎么算，但是不会巧算，造成计算量太大，没有信心算下去。

针对这两种情况，我们提出了以下解决方案：交轨定位，代数计算(记住熟悉的基本构图法，快速口算："眼中有角，心中有比")。

即：几何作图快速找到目标，代数计算精准定位。

1.（2019•襄州区模拟）在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当CDE为等腰三角形时，线段BN的长为 　．

【解析】通过画圆来确定折叠后某一特殊点的位置。

当ED=EC时

当ED=DC时,解法有两种

方法一：构造方程

方法二：利用相似（三角函数）

当CE=CD时，

综上所述，当CDE为等腰三角形时，线段BN的长为4/5cm或2cm；

2．（2019•吴兴区校级一模）如图矩形，AB＝2BC＝4，E是AB二等分点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，沿直线EF折叠矩形ABCD，使点A落在直线l上，则DF＝______ ．

【解析】当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明DFM是等腰直角三角形即可利用DF＝√2DM解决问题，当直线l在直线EC下方时，由∠DEF1＝∠BEF1＝∠DF1E，得到DF1＝DE，由此即可解决问题．故答案为2√2或4﹣2√2．

3．（2019秋•沈阳月考）如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，点D在斜边AB上，将ACD沿直线CD翻折，使得点A落在同一平面内的点A'处，当A′D平行于ABC的直角边时，AD的长为 _______．

【解析】当A′DBC时，根据平行线的性质得到∠A′DB＝∠B，根据折叠的性质得到A′D＝AD，∠A′＝∠A，根据三角形的面积公式得到CE的长，由相似三角形的性质即可得到结论；

当A′DAC时，根据折叠的性质得到AD＝A′D，AC＝A′C，∠ACD＝∠A′CD，根据平行线的性质得到∠A′DC＝∠ACD，于是得到∠A′DC＝∠A′CD，推出A′D＝A′C，于是得到AD＝AC＝12．综上可求得：AD的长为8或12；

4．（2019•河南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E，F分别是线段CD和线段BA延长线上的动点，沿直线EF折叠使点D的对应点D′落在BC上，连接AD′，DD′，当ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为 _______．

【解析】设DE＝x，则CE＝4﹣x，由折叠的性质得：D'E＝DE＝x，由矩形的性质得出CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，∠C＝90°，分两种情况：当DD'＝AD＝5时，由勾股定理得：CD'＝3，在RtCD'E中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

当DD'＝AD'时，作D'G⊥AD于G，则CD'＝DG＝AG＝1/2AD＝5/2，在RtCD'E中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

综上所述，当ADD′是以DD′为腰的等腰三角形时，DE的长为 25/8或80/32．

5．（2019春•拱墅区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是AD边上一点，接CE，将CDE沿CE翻折，点D的对应点是F，连接AF，当AEF是直角三角形时，则DE的值是 ______

【解析】分两种情况讨论：当∠AFE＝90°时，易知点F在对角线AC上，设DE＝x，则AE、EF均可用x表示，在RtAEF中利用勾股定理构造关于x的方程即可；当∠AEF＝90°时，易知F点在BC上，且四边形EFCD是正方形，从而可知DE＝DC．

故答案为：3或2．

6．（2019春•和平区期末）在ABC中，AB＝AC，将ABC沿AC翻折得到AB′C，射线BA与射线CB′相交于点E，若AEB′是等腰三角形，则∠B的度数为______ ．

【解析】分三种情形：当B′E＝B′A时，如图1所示．当EB′＝AE时，如图2所示．如图3中，当B′A＝B′E时，分别构建方程求解即可．

总之，图形的折叠在几何上称为轴对称变换，根据轴对称性质，对称前后图形的形状和大小不变，是全等图形，根据对应关系，对应边和对应角相等，所以关键会找等量关系。

在解决折叠问题时，一般是求线段和角度，要注意运用勾股定理和相似三角形建立相应方程，还要注意位置变化从而引起分类讨论。