题：已知圆C:(x-2)²+y²=16 ，P是圆C上的动点，Q为圆C与x轴负半轴的交点，E是QP的中点。

(1)求点E的轨迹方程。

(2)过点M(1,0)的直线与点E的轨迹交于A,B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB? 若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由。

这是我校高二年级月考的一道题。下面讨论的是此题第（2）问的更为一般的情况。

命题：圆C的半径为r，M、N是射线CD上两点（M在圆内），过点M作直线交圆C于A、B两点，当CD为∠ANB的平分线时，CM和CN之积等于r²。

此命题的逆命题也成立。

证明：以C为原点、CD所在直线为x轴建立直角坐标系，则圆C的方程为：x²+y²=r²，设M（m，0），N（n，0）,A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂).

设AB的方程为：y=k(x-m)

将y=k(x-m)代入圆C的方程，整理得：(1+k²)x²-2mk²x+(k²m²-r²)=0

由韦达定理得：x₁+x₂=2mk²/(1+k²)，x₁x₂=(k²m²-r²)/(1+k²)

CN为∠ANB的平分线，则有k_AN+k_BN=0，故有：y₁/(x₁-n)+y₂/(x₂-n)=0

将y₁=k(x₁-m)，y₂=k(x₂-m)代入上式，整理得：2x₁x₂-(m+n)( x₁+x₂)+2mn=0

代入韦达定理，整理，得：mn=r².

当AB⊥x轴时，射线CD上任一异于M的点N均满足“CN为∠ANB的平分线”的要求，自然也存在满足题设要求的点N。

另：当M点位于圆外时，当CM和CN之积等于r²时，过点N垂直于CD的直线平分∠ANB.

命题1的结论还可以由圆推广到椭圆、双曲线和抛物线。

在平面直角坐标系中，椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，M、N是x轴正半轴上两点（M 在椭圆内），M（m,0），N（n,0）,过M的直线交椭圆于A、B两点，当x轴平分∠ANB时，mn=a².

在平面直角坐标系中，椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，M、N是y轴正半轴上两点（M 在椭圆内），M（0,m），N（0,n）,过M的直线交椭圆于A、B两点，当y轴平分∠ANB时，mn=b².

在平面直角坐标系中，双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0，b>0)，M、N是x轴正半轴上两点，M（m,0），N（n,0）,m>a,过M的直线交双曲线于A、B两点，当x轴平分∠ANB时，mn=a².

在平面直角坐标系中，双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0，b>0)，M、N是y轴正半轴上两点，M（0,m），N（0,n）,过M的直线交双曲线于A、B两点.当y轴平分∠ANB（或其外角）时，mn=b².

注:椭圆与双曲线的结论基本一致。

在平面直角坐标系中，抛物线y²=2px(p>0)，M、N是x轴上两点（M 在x轴正半轴），M（0,m），N（0,n）,过M的直线交抛物线于A、B两点，当x轴平分∠ANB时，m+n=0.

这些命题的证明与前面的关于圆的讨论类似。