有两件发生在小孩子身上的事情让我对学习及教学有了一些新的认识。

一位年轻的同事让其两岁左右的小孩叫我爷爷，小孩看着我不说话，目光中充满了不解，我突然意识到这样一个问题：也许这个小孩认为“爷爷”是一个专用名词。这样的小孩，眼里的“爷爷”只能是自己的爷爷，他们把“爷爷”这个称呼从专用泛化到一般还需要一段时间。

我的小孙子现在两岁多了，他能准确地识别0到9这10个数字，但是，到现在为止，面对实物他还不能准确地说出实物的个数，也就是说，他还没有在作为符号的数字与实物的个数之间建立起一一对应的关系。

在我的小孙子面前放两堆糖果，一堆3块糖果，一堆4块糖果，他能知道准确地指出那一堆多、那一堆少，但是，他到现在为止应该还不能理解4大于3这样的问题。

我在西安市一所相当不错的高中学校任教数学课多年，能考上我们学校的学生，大多数在初中时的数学成绩是相当好的，至少不会太差，让人非常遗憾和惋惜的是，还没有到高一结束，有些学生的数学成绩已经到了惨不忍睹的程度，这些学生中的大多数并不是学习不努力，而是真的不理解高中数学或高中数学中的某些模块。

造成这样的结果的原因是什么？是学习方法不当？是投入的时间和精力不够？甚至于可以说是遗传素质的影响，比如记忆力、空间想象能力等的限制。

在我们经常提到的不同的原因当中，有些是无法改变的，比如人的遗传素质，有些是可以改变的，比如学习方法，比如投入的时间和精力。

我们只能对那些可以改变的因素想办法，对那些无法改变的因素想办法是徒劳。

对于改变学习方法这样的宏大问题我没有明确、有效的方法，下面我就其中的一个方面提出我的看法。

对所学习的抽象的高中数学知识要积累足够多的感性认识。

现在的教材，几乎抽有的数学知识都是按照从实例到概念的顺序编排的，按照这样的编排顺序学习，就是比较完整的从感性材料抽象出数学知识的过程，只是限于篇幅感性认识的材料很有限。

比如，教材中对于指数函数性质的学习，是让学生先后完成对以2为底的指数函数、以3为底的指数函数、以1/2为底的指数函数、以1/3为底的指数函数等函数的图像和性质的学习和讨论，在此基础之上，总结以任意满足底数要求的实数a（即0或a>1）为底数的指数函数的图像和性质。

可惜的是，有些学生只注重对最后的结果的学习，而不注重对过程的学习。最后的结果就只有课本上的那一张表格，短时期内记住那张表格对于多数学生来说并不是一件困难的事，但是记住那张表格的学生是否理解了其中的意义？会应用那些知识解决问题吗？时间长了，他们还能记住那张表格吗？

需要记住的类似于那张表格的数学知识太多了，多数学生的记忆力还没有好到能记住那么多知识的程度。

还有一点，即使记住了那些知识，没有对那些知识学习和理解的过程的支持，没有足够多的应用这些知识解决问题的经验，还是学不好高中数学知识的。

学习、应用这些基本的数学知识的过程本身就是为下一层次的抽象积累感性材料的过程，想跳过这样的过程而直取结果，短时期内看起来是高效的，但这样的“高效”会为以后的学习埋下祸根。

人与人之间是有差异的，有些人可以从较少的感性材料中抽象出一般的规律，而有些人要想抽象出同样的规律则需要更多的感性材料。也就是说，有人通过对一两个实例的研究就能明白这些实例中所蕴含的一般规律，有人则需要研究三五个甚至于更多的实例才能明白这些实例中所所蕴含的一般规律。

还有一种让人沮丧的可能，有的人学习和研究了很多实例也难以理解这些实例中所蕴含的一般规律。这也是学习的一个结果，这样的结果并不是完全没有用的，这样的结果让学习者知道了自己在这一方面的局限性。以后的工作和生活中尽可能避开这些方问题就好了。

抽象概括能力差并不可怕，抽象概括能力差的人只是在学习抽象的知识（如数学）时会遇到较大的困难，但这并不影响他们学习以操作为主的很多技能，只要努力，他们同样可以达到很高的水平。古今中外，只要没有大规模的天灾人祸，任何人只要能做好一件具体的工作就可以有差不多好的生活。