解不等式是高中学生必须掌握的基本知识，理清解不等式的理论依据和需要注意的问题，对于解不等式是很有帮助的。

中学数学中涉及到的解不等式的理论依据和需要注意的问题主要有：不等式中代数式的取值范围，函数的单调性，函数的图象，符号法则。

1、不等式成立的前提条件是不等式要有意义，不等式中的代数式都要满足取值范围的要求，也就是要满足函数定义域的要求。

例如，解不等式lnx<0时，如果没有注意到对数函数定义域的要求，就会得出x<1这样的错误结论。

忽视取值范围的要求就有可能导致错误的结论。

例1．若不等式lnx<0不成立，求实数x的取值范围。

错误解法：不等式lnx<0不成立，则有lnx≥0；解不等式lnx≥0，得x≥1，所以，实数x的取值范围为[1，+∞)。

错解分析：使得不等式lnx<0不成立的实数x，除了满足lnx≥0成立的x之外，还有当x≤0时使得lnx无意义的情况。

正确解法：解不等式lnx<0，得0，所以，使得不等式lnx<0不成立的实数x的取值范围为(-∞，0]∪[1，+∞)。

例2．若不等式x²>1不成立，求实数x的取值范围。

解：不等式x²>1不成立，则有x²≤1，解之得-1≤x≤1，所以实数x的取值范围为[-1，1]。

例1中不等式lnx<0不成立与不等式lnx≥0不同解，但是，例2中不等式x²>1不成立与不等式x²≤1同解，为什么？

例1是关于对数函数的不等式，对数函数的定义域是正实数集，不等式lnx<0不成立还有使得lnx无意义的情况；例2是关于二次函数的不等式，二次函数的定义域是全体实数，不等式x²>1不成立，没有x²无意义的情况。

对于不等式f(x)>0来说，如果函数f(x)的定义域是全体实数，那么，不等式f(x)>0不成立与不等式f(x)≤0同解；如果f(x)的定义域不是全体实数，那么，不等式f(x)>0不成立包括f(x)无意义和不等式f(x)≤0两种情况。

2、解不等式的主要理论依据是函数的单调性。

例3．解不等式2^x≤2^1-x.

解：由2^x≤2^1-x得x≤1-x，所以x≤1/2.

上面的解法中，由2^x≤2^1-x得x≤1-x的依据就是函数f(x)=2^x是增函数。

例4．函数y=f(x)是定义在实数集R上的减函数，解关于x 的不等式f(x) ≤f(2-x).

解：由题设条件可知：x≥2-x，即x≥1.

例5．已知函数f(x)＝ln x＋2^x，若f(x²－4)<2，求实数x的取值范围。

分析：若将x²－4代入函数f(x)的解析式，那么不等式f(x²－4)<2将无法解决；如果我们注意到函数f(x)＝ln x＋2^x是在区间（0，+∞）上的增函数，且f(1)＝2，那么，不等式f(x²－4)<2= f(1)就可以变形为0<<i>x²－4<1，所以，实数x的取值范围为(－ ，－2)∪(2， ).

函数的单调性是解指数不等式、对数不等式的主要依据，解关于抽象函数的不等式时，必须先确定该函数的单调性。

3、解二次不等式、三角不等式时可以利用函数的图像。

中学数学中，解二次不等式、解三角不等式时，我们可以利用函数的图像。

解关于x的二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0（我们只讨论a>0的情况）时，我们所用的口诀“大于0取两边，小于0取中间”就是利用了二次函数的图像；解三角不等式时，要学会利用正弦函数y=sinx、余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx的图像辅助我们解决问题。

解形如（x-x₁）（x-x₂）…（x-x_n）>0(或<0，其中x₁，x₂，…，x_n为已知的实数)的不等式时所用的“穿针引线法”，画的“线”就是函数f(x)=（x-x₁）（x-x₂）…（x-x_n）的大致图像。

4、解分式不等式时，我们的主要依据是符号法则。

分式不等式f(x)/g(x)>0与f(x) g(x)>0同解，f(x)/g(x)<0与f(x) g(x)<0同解，就是利用了“两个非零实数的积与商同号”这样的符号法则。

分式不等式f(x)/g(x)≥0与f(x) g(x)≥0不同解，是因为分母有可能等于0；分式不等式f(x)/g(x)≥0可化为“f(x) g(x)≥0且g(x)≠0”，也可化为“f(x) g(x)>0或f(x)=0”；分式不等式f(x)/g(x)≤0的处理方法与此基本相同。