（一）

如果事件A发生或不发生不影响事件B发生或不发生，我们就说事件A和B是相互独立事件。如果事件A和B是相互独立事件，则A与（表示B的对立事件）、与B、与都是相互独立的事件，这也进一步说明了事件A的发生不会影响事件B的发生。

离散型随机变量的概率问题是高中数学的重要内容，我们以此类问题为例来说明如何判定所给的两个事件是不是相互独立事件。

将问题中所涉及的所有的基本事件看作是全集，事件A所包含的基本事件记为集合A，事件B所包含的基本事件记为集合B。

如果集合A是集合B的子集，或集合B是集合A的子集，那么A事件和事件B就不是相互独立事件。当集合A是集合B的子集时，如果x∈A，则有x∈B，即事件A发生时，事件B一定发生，反之亦然；这就说明事件A和B不是相互独立的。

如果集合A和B的交集是空集，即A∩B=Φ，这就是我们常说的事件A和B之间没有关系，我们认为事件A和B是相互独立的。

如果集合A和B的交集非空，且集合A、B之间没有相互包含的关系（即A不是B的子集，同时B也不是A的子集），则事件A和B是相互独立事件。

a∈A且a∉（A∩B），也就是说A发生的时候B没有发生；c∈（A∩B），也就是说A发生的时候B也发生了；这两点合起来就可以说事件A发生与事件B是否发生没有直接的关系。（注：图示的方法清楚、直观，但图在这里显示不出来）

同理，我们可以得到事件B发生与事件A是否发生没有直接的关系的结论。也说是事件A和事件B是相互独立事件。

综上所述，集合A、B间只要没有相互包含的关系，那么事件A、B就是相互独立的。

下面用一个常见的练习题来说明此判定方法。

例：一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A={一个家庭中既有男孩又有女孩}，B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形，讨论A与B的独立性：

（1）家庭中有两个小孩；

（2）家庭中有三个小孩。

解析：家里有两个孩子时，基本事件就是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）等四个事件，事件A也就是集合A={（男，女），（女，男）}，事件B也就是集合B={（男，男），（男，女），（女，男）}，这时集合A是B的子集，事件A发生时事件B一定发生，那么事件A和事件B就不是相互独立事件。

家里有三个孩子时，基本事件是（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（女，女，男），（女，男，女），（男，女，女），（女，女，女）等8个基本事件；为了方便，我们将这8个事件依次记为1，2，3，4，5，6，7，8；事件A也就是集合A={2，3，4，5，6，7}，事件B也就是集合B={1，2，3，4}，集合A∩B={2，3，4}≠Ф，集合A、B之间也没有相互包含的关系，所以事件A与B是相互独立事件。

（二）

我把上面写的发到几个微信群里，我的大学同学师亚萍和刘明等提醒我结论有问题，我的同事刘玉记老师也提出是不是可以证明这样的结论，他们的提醒促使我做了进一步的思考。

在某一古典概率问题中，我们把所有的基本事件构成的集合记为全集U，A、B分别表示由若干个基本事件构成的集合，我们将集合A、B也称为事件A、B.

设card(A∩C_UB)=a，card(B∩C_UA)=b，card(A∩B)=c，card(C_U(A∪B))=d，则card（U）=a+b+c+d.

１、当a、b、c、d均不为0时，也就是说A、B是非空集合，且A、B交集非空.

则P（A）=（a+c）/(a+b+c+d)，P（B）=（b+c）/(a+b+c+d)，P（A∩B）=c/(a+b+c+d).

如果事件A、B独立，则有P（A∩B）=P（A）P（B），化简得ab=cd.

如果B发生不影响A发生，则由P（A∣B）=c/(b+c)=P（A）=（a+c）/(a+b+c+d)，也可得ab=cd.

如果A发生不影响B发生，则由P（B∣A）=c/(a+c)=P（B）=（b+c）/(a+b+c+d)，也可得ab=cd.

也就是说，在我们设定的问题条件下，如果事件A、B相互独立，就有ab=cd，否则，事件A、B就不是相互独立的.

在（一）中所举的事例中，家里有三个孩子时，a=c=3,b=d=1,刚好满足ab=cd的数量上的要求，所以，用课本给出的相互独立性的定义来检测，事件A、B就是相互独立的.

２、当A、B的交集是空集时，c=0；按我们的直觉，A、B应该是相互独立的，由条件概率的定义P（A∣B）=P（A∩B）／P（B）＝0，这时，若要P（A∣B）＝P（A），须a=０.这与由ab=cd＝０所得的结果a=０或b=０是吻合的，但这与题目的条件是不符的.

3、当A是B的子集时，A∩B=A，card(A∩B)=card(A)，即a=c；P（A∣B）=a/b，P（A）=a/(b+d),这时只要满足d=0即集合B=U的要求，就有P（A∣B）=P（A），这个时候再讨论相互独立事件已经没有什么意义了；但是，如果d≠0，即B是全集U的真子集时，就不会有P（A∣B）=P（A）成立，即A、B不会是相互独立事件。

（三）

我提出（一）中的利用集合间的关系来判断两个事件是否相互独立的问题有三个原因。

一是教材中的一句话：“在实际中，我们判断两个事件是不是相互独立靠直觉”，但各人的直觉是不同的，用直觉判断两个事件是不是相互独立很不靠谱。唯物辩证法的普遍联系的理论告诉我们，任何两个事物之间都是有联系的，也就是说不会是相互独立的，所以此办法并不可靠。

二是辅导材料中的解法，他们给出的解法是利用教材给出的定义，即满足P（A∩B）=P（A）P（B）的即为相互独立事件，但是，初学的学生对这样的计算不是很熟悉，所以此法并不好用。

三是教材中对于相互独立事件的解释，事件A是否发生与事件B是否发生之间没有直接的关系，这一点在（一）的表达中应该是清楚的。

从（二）中的计算我们发现，只要满足ab=cd这样的数量关系，就能由教材给出的定义得出事件A、B是相互独立的结论，这是为什么？

我们再看看教材中的另一个例子。

一副扑克牌去掉大、小王有52张，红桃有13张，Q有4张，红桃Q有1张，我们从这样的52张扑克牌中任意抽取一张，求抽到红桃Q的概率是多大？

我们用事件A表示抽取一张红桃，事件B表示抽取一张Q，则P（A）=1/4，P（B）=1/13，抽到红桃Q的概率即P（A∩B）=P（A）P（B）=1/52.

上面的算法利用了抽取红桃与抽取Q是相互独立的，求得的结果与我们的感觉也是一致的，我们自然就会认可这样的结论。

用我在（二）中的方法重新看一下这个问题，该问题中a=12，b=3，c=1,d=36，刚好满足ab=cd的要求。

将此副扑克牌稍做改动，比如将黑桃8改成黑桃Q，这时问题中的a=12，b=4，c=1,d=35；又P（A）=1/4，P（B）=5/52，P（A∩B）=1/52，这时P（A∩B）≠P（A）P（B），也就是说，因为一张牌引起的小小的改动就导致了事件A、B不再是相互独立的结果。

但是，我们的直觉是从改动后的扑克牌中抽到红桃Q的概率仍是1/52.

（四）

为什么会有这样的结果？难道事件A、B相互独立需要依赖于数据本身吗？这明显是不合理的。

我想，对于我们设定的有关古典概率的问题，应该是两个相互独立的事件满足ab=cd这样的数量要求，而不是满足这样要求的两个事件是相互独立事件；也就是说，满足ab=cd数量要求是两个事件是相互独立事件的必要条件，按我的感觉，应该不是充分条件。

上述的结论与独立性检验的结果也是一致的。

将（二）中讨论的集合中的数量关系转译成如下的2╳2列联表：

如果满足ab=cd的要求，则K²=0，也就是说事件A、B是无关联的，是相互独立的。

如果ab与cd的值差异不大，即K²的值很小，按照独立性检验的结论，我们就可以在很大程度上认为事件A、B是相互独立的，当然，这不是完全意义上的相互独立事件。

那么，ab=cd能不能作为两个事件相互独立的充分条件？

对于两件我们认为相互独立的事件，稍微改动一下其中的数据，就能使其不满足ab=cd的要求，成为不是相互独立的事件，就象上述例子中改动扑克牌一样；对于两个不是相互独立的事件，我们也可以通过改动数据使其满足ab=cd的要求，这样改动数据后的问题中的事件会不会是相互独立的？

连事件是什么我们都不知道，我们如何判断两个事件是不是相互独立的？

看来，条件ab=cd是不能作为两个事件相互独立的充分条件，只能是必要条件。

有没有两个事件相互独立的充分条件？如果有，是什么？