现证明对于任意的A₀∈a、B₀∈b，线段A₀B₀的中点C₀都在平面C₁C₂C₃内.

连接A₁B₀，点C₀、C₄分别是线段A₀B₀A₁B₀的中点，连接C₀C₄、C₁C₄，线段C₀C₄、C₁C₄分别是△B₀A₀A₁、△A₁B₀B₁的中位线，则a∥C₀C₄，b∥C₁C₄，所以a∥平面C₁C₀C₄，b∥平面C₁C₀C₄，因为直线A₁B₁是异面直线a、b的公垂线，所以A₁B₁与平面C₁C₀C₄和平面C₁C₂C₃都垂直，而过点C₁与直线A₁B₁垂直的平面有且只有一个，所以平面C₁C₀C₄和平面C₁C₂C₃重合，即C₀在平面C₁C₂C₃内.

这样就证明了“所有端点分别在两条异面直线上的线段的中点在过这两条异面直线的公垂线段的中点且与这两条异面直线都平行的平面上”.

下来我们证明“过两条异面直线的公垂线段的中点且与这两条异面直线都平行的平面上的任意一点都是端点分别在这两条异面直线上的线段的中点”.

如图（2）、图（3）所示，A₁B₁是异面直线a、b的公垂线段，平面β是经过线段A₁B₁的中点C₁且与a、b分别平行的平面，过点A₁作直线b₀∥b，过点B₁作直线a₀∥a，a和b₀确定的平面为α，a₀和b确定的平面为γ，在平面β内过点C₁作直线a₁、b₁，使得a₁∥a，b₁∥b，设P是平面β内任一点.

（1）如果点P在直线a₁或b₁上，如图（2）所示，不妨设P∈a₁，因为直线a、a₁、a₀共面，所以B₁P的延长线必于a₀相交，设交点是P₀，则PC₁为△A₁B₁P₀的中位线，所以点P为B₁P₀的中点.

（2）如果点P不在直线a且不在b上，过点P作直线m与β垂直，则m⊥α，m⊥γ，垂足分别是D₁、D₂.

如图（3）所示，连接C₁P并延长至E，使PE=C₁P，过点E分别作EF₁∥a₁，EG₁∥b₁，则四边形C₁F₁EG₁是平行四边形，因为P是对角线C₁E的中点，故P在对角线F₁G₁上.

设由直线F₁G₁和直线m所确定的平面为θ，平面θ交平面γ于F₂G₂，F₂∈b，G2∈a₀；平面θ交平面α于F₃G₃，F₃∈b₀，G₃∈a，易知四边形F₂F₃G₃G₂为一矩形，直线D₁D₂是矩形F₂F₃G₃G₂的一条对称轴，点P在D₁D₂上，且P是线段D₁D₂的中点，所以点P在矩形F₂F₃G₃G₂的对角线F₂G₃上，且P为线段F₂G₃的中点，注意F₂∈b，G₃∈a.

由（1）、（2）可知，对于平面β上任一点P，都能在异面直线a、b上分别找到一点，使点P为这两点的中点.

综上所述，端点分别在两条异面直线上的线段的中点的轨迹是一个平面，该平面与这两条异面直线都平行，且到这两条异面直线的距离相等.

由上述证明过程可知，这个平面上的点与端点分别在两条异面直线上且以该点作为中点的线段是一一对应的.

此结论还可以推广为“端点分别在两条异面直线上的线段的定比分点的轨迹是一个平面，该平面与这两条异面直线都平行，且到这两条异面直线的距离之比等于等比分值”.

注：此文是我1999年8月完成的.当时纯手工“打造”.