把我们所学的知识用一个问题“串”起来，是一种很有效的学习和研究方法．

   我把最近几次数学课堂的教学做了整理，在整理的过程中也做了一些思考．

（一）

直线和平面平行的判定定理、性质定理以及在此之前课本所学的知识，可以用下面的问题很好的串起来．

如图1所示，点P是四面体ABCD的棱AB（不含端点A、B）上任一点，作PQ∥AC，交棱BC于点Q．

因为PQ∥AC，所以直线PQ∥平面ACD（直线和平面平行的判定定理）．

点R为棱CD上任一点（不含端点C、D），因直线PQ与直线CD为异面直线（经过平面BCD外一点P和平面BCD内一点Q的直线PQ与平面BCD内不经过点Q的直线CD是异面直线，这是异面直线的判定定理，但现在的教材删掉了），故点R不在直线PQ上，所以由点R和直线PQ可确定一个平面（公理1之推论1），记为平面PQR．

平面PQR与平面ACD有一个公共点R，所以这两个平面相交（公理2），设其交线为RS，如图2所示．

平面PQRS经过直线PQ且与平面ACD相交于直线RS，此前已证，直线PQ∥平面ACD，所以直线PQ∥直线RS（直线和平面平行的性质定理）．

又PQ∥AC，故AC∥RS（公理4）．

四边形PQRS可能是梯形，也可能是平行四边形，这取决于点R的位置．

如果BQ∶BC=DR∶DC，则RS=PQ，这时四边形PQRS就是平行四边形；除此之外点R在棱CD上的其它位置，四边形PQRS都是梯形．

当四边形PQRS是平行四边形时，直线PS∥直线QR；那么，直线PS∥平面BCD（直线和平面平行的判定定理），如图3所示．

    平面ABD是经过直线PS且与平面BCD相交于QR的平面，由直线和平面平行的性质定理可知：PS∥直线BD．

当然，QR也平行于BD．

设BQ∶BC=DR∶DC=k（0），这是表示点在线段（也可以是直线，以后还要继续学习）上的位置的重要方法，当然也可以用BQ∶QC=m来表示点Q在棱BC上的位置，不过这时m的取值范围就是（0，+∞）．

设AC的长为a，BD的长为b，则PQ= ka．

又QR∶BD=CQ∶CB=（CB-BQ）∶CB=1-（BQ∶BC）=1- k，所以QR=（1-k）b．

那么，平行四边形PQRS的周长L(k)=2[ka+(1-k)b]=2[b+(a-b)k] ．

可以看出，当a=b时，平行四边形PQRS的周长是一个定值；当a>b时，平行四边形PQRS的周长L随k的增大而增大，也就是说，点P越接近于点A，四边形PQRS的周长越大，点P越接近于点B，四边形PQRS的周长越小，其周长的取值范围是区间（2b,2a）．

而当b>a时，也可得到类似的结论．

由上面周长的解析式还可以看出，当点P在棱AB上移动时，平行四边形PQRS的周长是一个关于k的一次函数；而当点P的位置确定时，周长只与棱AC和BD的长有关系，而与四面体其余四条棱的长没有关系。

我们知道棱AC和棱BD所在的直线为异面直线，当∠RQP为锐角或直角时，∠RQP就是异面直线AC和BD所成的角，当∠RQP为钝角时，其补角为异面直线AC和BD所成的角．

若∠RQP=θ（0°<θ<180°），则平行四边形PQRS的面积为：

S（k）=k(1-k)absinθ．

这是一个关于k的二次函数，当k=1/2即点P为棱AB的中点时，四边形PQRS的面积最大，当点P由棱AB的中点M向端点A或B移动时，四边形PQRS的面积都会减小，其面积的取值范围是（0，0.25absinθ] ．

后面这一段对于面积的研究，课堂上没有进行，因为高一的学生没有学习相关的三角形面积公式，在这里整理出来是为以后的学习做个准备。

（二）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

图4所示四棱锥P-ABCD为阳马，从平面PAC处将阳马剖开，得到两个三棱锥P-ABC（图5）和三棱锥P-ACD（图6），这两个三棱锥均为鳖臑．

阳马和鳖臑均可从长方体中截得，图7所示即为图4、图5、图6中的阳马和鳖臑．割补法是立体几何中一种很重要的问题处理方法，“能割善补”者必为高手．

鳖臑是一个很好的研究线面垂直关系的几何载体．如图8所示，四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，CB⊥AB，CB⊥PB，四面体PABC即为一鳖臑．

由已知可得PA⊥平面ABC，CB⊥平面PAB，所以，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，平面PCB⊥平面PAB．

   二面角P-BC-A的平面角为∠ABP，显然∠ABP为锐角，所以平面PBC与平面ABC不垂直．

二面角C-PA-B的平面角为∠CAB，显然∠CAB为锐角，所以平面CPA与平面BPA不垂直．

平面APC和平面BPC不垂直，为什么？                                       

方法一，假设平面APC⊥平面BPC，交线为PC．如图9，作BE⊥PC于点E，由平面和平面垂直的性质定理可知BE⊥平面APC．

 作BF⊥AC于点F，因为平面PAC⊥平面ABC，交线为AC，由平面和平面垂直的性质定理可知BF⊥平面APC．

由直线和平面垂直的性质定理可得BE∥BF，这与BE和BF相交矛盾，所以假设不成立，即平面APC和平面BPC不垂直．

方法二，如图10所示，作AS⊥PC，交PC于点S；作AT⊥PB，交PB于点T，连接ST．

       因为BC⊥平面PAB，所以BC⊥AT；又AT⊥PB，所以AT⊥平面PBC，所以

AT⊥PC；又AS⊥PC，所以PC⊥平面AST，则有ST⊥PC，所以∠AST是二面角A-PC-B的平面角．

因为AT⊥平面PBC，所以AT⊥ST，所以∠ATS为直角，则在△AST中，∠AST为锐角，所以二面角A-PC-B不是直二面角，即平面APC和平面BPC不垂直．

此方法中也可以作AS⊥PC，交PC于点S；再作ST⊥PC，交PB于点T，连接AT，再证AT⊥平面PBC．