中小学数学中有很多规定，比如分数（和分式）的分母不能等于0、两条平行直线所成的角等于0度、零向量的方向是任意的、空集是任意集合的子集，等等；我们不仅要记住这些规定，最好搞清楚为什么会有这样的规定？为什么要这样规定？

数学中的规定多数是为了数学理论的完善，与实际情况没有什么关系。我们都知道分数（和分式）的分母不能为0，或者说如果分母为0，分数或分式就无意义；与此相关的问题在中学生的学习中经常见到，考试中更是频繁出现，但现实中就不可能有分母等于0的情况。例如，一个单位有工作人员3人，工资总额9000元，则人均工资为3000元，这个问题很容易理解；如果某单位有0个人，发了9000元工资，问人均工资多少？这样的问题就没法想象，一个单位怎么可能有0个人？0个人怎么可能领取9000元的工资？这不见鬼了嘛。

分数有分子和分母，分子可以取任意实数，分母可以取除0之外的任意实数，这就是一个规定，当然这样的规定很有道理。如果分数的分母为0，若分子也为0，因分子和分母相等，分数的值应为1，但这与“0乘任何数等于0” 矛盾；如果分子不为0，那么不论这个分数的值等于什么都会与“0乘任何数等于0”矛盾；所以我们就只能规定分母不能为0。

这本来只是一个理论问题，没有什么实际意义，但因为数学练习题和数学考试中经常出现，就成了我们必须考虑的问题，而我们中小学的考试几乎是必考这样的问题，让很多考虑问题不周全的学生吃了大亏。

再比如，我们规定零向量的方向是任意的，实际上我们也可以把这句话理解成零向量没有方向，但不能这样说，因为向量的定义是“既有大小又有方向”的量，如果规定零向量没有方向，就与向量的定义矛盾了。中学数学教材中还有一个规定是零向量与任意向量平行（或共线），那么零向量与零向量也是平行（或共线）的，讨论这样的问题有意义吗？在教学过程中，有学生问“零向量是不是与任意向量垂直” 这样的问题，有些教材中没有与此相关的规定，我们就自己规定“零向量与任意向量垂直”，因为这与“两向量垂直，则这两个向量的数量积为0”是相容的。好在现在的考试，命题时已经很少再出现这样的问题了，多是讨论非零向量的问题。

数学中的很多规定都与0有直接的关系。比如三角函数中，我们规定直角的正切值无意义，这个规定是分数的分母不为0的直接结果；与此相关，在平面解析几何中，我们规定如果一条直线与坐标横轴垂直，则这条直线的斜率不存在；直线的斜率是其倾斜角的正切值，一条直线与坐标横轴垂直，则这条直线的倾斜角为直角，它的斜率无意义，当然，这条直线本身也不“斜”，斜率不存在与人们的认识是一致的。

0是一个很神奇的数字。0表示没有，没有也是一种存在的状态，就象我们说“真空”是类似的；如果我们说“我有0元钱”，在逻辑上就矛盾了。我们中国的传统数学里没有表示零的数字，但我们有十进位置制，书写时如果某位数是0，我们处理这个问题的办法是空出一个位置以表示这里是数字0，这与0表示没有是一致的。如果运算的工具是算盘，自然就很清楚；过去中学教材中有多项式的除法，对于缺少的项就用空出来的办法处理；如果是用文字来表达的，也很清楚，比如我们要表达108，我们就写或读成一百零八，或一百又八，说书的人说《水浒传》里梁山的英雄好汉有一百单八将，注意，这里用的是汉字“单”，应该是个习惯的用法，对此我没有专门考证过。

但引用阿拉伯数字表示数时，我们发现数字0使用起来很方便，表示的也清楚，现在我们已经习惯于用0来表示没有。

空集是一个让刚进入高中初学集合的部分学生很头疼的问题。如果一个集合中没有元素，或者说集合中元素的个数为0，我们就说这个集合是空集，这是为了理论的完善，比如，如果两个集合没有公共元素，那么这两个集合的交集就是空集，如果没有空集的概念，这样的问题就不好表达了。有的学生

纠结：没有元素怎么会有集合？实际上，没有元素也是一种状态，将其表示出来就是空集；不太理解的人头脑中的疑惑与“我有0元钱”的问题类似。

空集由符号Φ来表示，但集合{Φ}不是空集，是有一个元素的集合，这个元素就是空集，有些初学的人难以理解这样的问题，为了说明这个问题，我讲了我们生活、工作中的一个问题。我们对某一问题的态度有赞成、反对，这是两种明显不同的态度，但我们还可以既不赞成也不反对，这也是一种态度，不能说我们没有态度，我们的态度就是“既不赞成也不反对”。这种态度可以是因为我们不了解情况，没法做出判断，也可以是了解了情况之后难以做出决断。

上述的说明问题的方法很重要。有些数学问题，用数学本身的知识很难说明白，有时甚至是越说越让人不明白，那么我们借用数学知识之外的与此相关、与此类似的问题等等来说明，数学教学时常用此方法，其它学科的学习也是这样的。罗素当年为了说明集合论中的矛盾，用了“理发师悖论”，就是这样的方法。