集合是现代数学的语言，是学生进一步学习数学的基础性的知识，高中数学课本的第一章就是《集合》，这部分内容比较抽象，不容易理解，很多学生因为对于集合这样的数学语言没有掌握好，从而影响了后续的学习。

    这部分内容的教学过程中还有许多集合之外的关于数学的知识要给学生介绍，这也涉及到对数学到底是什么的思考。比如，数学中有很多不定义的概念如集合、自然数、点、直线、平面等，这些都是数学的最为基础的概念，我们是用它们来定义数学中的其它的概念的，比如有了自然数的概念之后，我们就可以定义有理数、负数和实数等，这些基础的概念是没有办法定义的，其它的学科知识中也有类似的情况，比如“人”是没有办法定义的，到现在为止，没有能让所有人接受的对“人”这个概念的定义。当然，在说明这个问题之后，要让学生明白，数学其实是在一些基础的不加定义的原始概念基础之上发展起来的由定义、公理、公设、规则等构成的理论体系，所以在数学学习的过程中，要特别注意对于定义的学习和理解，要反复揣摩数学的思想和方法，而不是只知道天天做题。

    课本给出了关于集合的一个描述性的定义：由所研究对象的全体构成集合，它不是集合的定义，但它可以帮助我们来理解集合，同时这个定义也可能会对学生的学习产生影响。实际上集合与元素是相互确定的，所以集合中的元素的确定性是最为核心的，所给的研究对象能否形成集合，我们任选一研究对象，在或不在集合中只能居其一，不能模棱两可，是似而非是不行的。在讲述元素的确定性时，少选用数学之外的例子，多用学生在小学、初中所学的数学知识的例子，或者说我们帮助学生用集合的语言把此前所学的部分数学知识整理一下，在整理的过程中，让学生对集合与元素形成一个初步的认识，在学习和应用的过程中逐渐理解，毕其功于一役的想法是不现实的。事实上，我们对于基础概念的学习都是在学习的过程中逐步认识清楚的，比如，在开始学习平面几何时，我们并不需要明确地知道“点是没有大小和形状的”这样知识的。

    在学习集合的表示时，描述法对于多数学生来说是这容易理解的，首先学生不大理解“集合中元素的一般形式”这个说法，集合中元素的一般形式是对集合中元素的本质的理解，是集合中的元素到底是什么的问题，比如，一元方程的解集是由实数组成的集合，集合中的元素是实数，或者说方程的解是能使方程的两边数值相等的实数，方程2x-4=0的解是实数2，不是x=2，严格来说x=2仍是一个方程，但学生从开始学习方程以来，解的呈现形式就是如此，所以很多学生就会认为x=2是方程2x-4=0的解；既然一元方程的解是实数，所以一元方程的解集的一般形式就可以用一个字母来表示。我们可以让学生来判断集合{x∣4x+2=0}和集合{a∣4a+2=0}是不是相等的？集合{x∣2a+x+2=0}和集合{a∣2a+x+2=0}是不是相等？通过这样的简单的练习题来检测学生理解的情况，对于理解不到位的学生要做解释和说明。

    在类似的问题的学习过程中，我们要引导学生复习过去所学的数学概念的定义，慢慢转变学生数学学习的方法，把学生从“数学就是做题”这样的对数学不正确的认识中慢慢扭转过来，转变到让学生注意对数学中的定义、法则的理解上来，做练习题是必要的，但做练习题的目的是为了理解数学的基本概念和法则，是为了理解数学本身，只有对数学本身有一个正确的认识，数学学习才可能达到比较高的水平，否则，学生就会被异化为解题机器。

    《集合》这一章的内容分成以下几个部分：集合与元素的关系，元素的确定性是核心；集合的表示方法，对描述法的学习和运用是关键，描述法与列举法的互化（主要是把描述法表示的集合表示为列举法）；集合与集合的关系，这部分内容对后续学习影响很大，要特别注意；集合间的运算，也就是求交集、求并集和求补集，求补集的前提条件是要知道全集，集合间运算的结果一定是集合。

    这一章的内容实际上很庞杂，涉及的问题很多，想一次解决问题不现实，也做不到，对于集合的学习随着数学知识的学习不断深入，不断有新的问题需要我们学习和掌握。对高一新生的教学，我们可以先把一部分问题搞清楚，我在进行这部分内容的教学时，要求学生重点学习一元方程或方程组的解集、一元不等式的解集、二元方程或方程组的解集等基本的常用的知识，在此基础之上，再慢慢扩展。

    用集合的语言把过去所学的数学知识表达出来，既是对新学习知识的应用，也是对过去所学知识的复习和整理，是一个很好的选择。比如我们可以用“{平面四边形} 、 {平行四边形} {矩形}（或{菱形}）、 {正方形}”这样的序列来表示这些集合间的包含关系，来整理这些平面图形间的关系，在这个过程中重新认识平面几何中给出定义的方法，这对以后的学习是很有帮助的；我们可以让学生写出“{等腰三角形}∩{直角三角形}={等腰直角三角形}”或类似的表达式。

    把新学习的知识建立在已有知识的基础之上，沟通新旧知识间的关系，是学习的好方法。