代数问题中的全称命题、特称命题多数情况下都转化为最大值或最小值（最大值换作上确界、最小值换作下确界，这样表达更准确一些，下面就不再说明）的问题。比如“对于定义域内的任意的x，函数f(x)的值都大于实数a”，这个问题就转化为函数f(x)的最小值大于实数a；“存在定义域内的x，使得函数f(x)的值大于实数a”就转化为函数f(x)的最大值大于实数a。

       如果对类似的抽象问题不好理解，可以利用生活中的一些常见现象来帮助我们理解。比如高三（1）班的每一个同学都比王同学高，意思就是高三（1）班的个子最低的同学比王同学高；如果高三（1）班的每一个同学都比王同学低，意思就是高三（1）班的个子最高的同学比王同学低。

      对于含有两个变量的比较大小的代数问题，也是转化为最大值或最小值的问题。比如对于定义在集合D上的函数f(x)和定义在集合E上的函数g(x)（为了叙述的方便，函数f(x)和g(x)在给定的集合上都有最大值和最小值）。（1） 如果对于任意的实数s∈D和任意的实数t∈E，都有f(s)≥g(t)，这样的问题转化为函数f(x)的最小值大于或等于g(x)的最大值；（2） 如果对于任意的实数s∈D，存在实数t∈E，都有f(s)≥g(t)，这样的问题转化为函数f(x)的最小值大于或等于g(x)的最小值；（3） 如果对于存在实数s∈D，对于任意的实数t∈E，都有f(s)≥g(t)，这样的问题转化为函数f(x)的最大值大于或等于g(x)的最大值；（4） 如果存在实数s∈D，存在实数t∈E，有f(x)≥g(x)成立，这样的问题转化为函数f(x)的最大值大于或等于g(x)的最小值。

上述的象绕口令一样的问题，对于很多人来说不容易理解，可以利用下面的例子帮助我们理解这些问题。比如高三（1）班的任意一个同学都比高三（2）班的所有同学个子高，这是任意对任意，即全称对全称的命题，我们将其转化为高三（1）班个子最低的同学要比高三（2）班个子最高的同学还要高，意思就是高三（1）班的个子最低的同学比王同学高，也就是最小值大于最大值的问题；如果高三（1）班有一个同学比高三（2）班的任意一个同学都高，这是一个存在对任意的命题，即特称对全称的命题，我们将其转化为高三（1）班的个子最高的同学比高三（2）个子最高的同学还要高，也就是最大值大于最大值的问题。其它问题与此类似，就不再说明了。

问题的形式多种多样，在叙述的时候也有不同的表达形式，比如恒成立、方程或不等式有解等形式，还有一点，就是有的函数在给定的取值范围内没有最大值或最小值，这都是需要我们考虑的问题。不论问题如何变化，有一点是确定的，就是全称、特称这样的问题最后都转化为最大值和最小值比较大小的问题了。

平时对这些问题多想一想，研究清楚了，应用的时候就比较容易了。

在上面的说明中，反复提到所要讨论的函数要有最大值或最小值，如果所给的函数没有最大值或最小值，比如在问题“对于定义域内的任意的x，函数f(x)的值都大于实数a”中，如果函数f(x)没有最小值，那么这个问题中的实数a就不存在，这样的问题本身是有问题的。

生活中类似的表达也很多，当我们说“不论你做什么我都支持你”的时候，意思是说你做再坏的事情，我都会支持你的；但这句话的含义并不等同于字面上的表达，你所做的事情应该是有底线的，我说这句话是我在对你人品了解的基础之上所做出的承诺，但如果你做事没有底线，那么我的承诺就不能兑现了。有些人对于类似于“不论你做什么我都支持你”这样的话理解有误，真的认为不论自己做什么事情，作了承诺的人都会兑现承诺，当人家不能兑现承诺的时候就认为人家说话不算数，反过来谴责人家，这就不对了。