刚进入高中，数学课首先学习的知识是集合及元素。集合是数学中的原始概念，是不定义的，也是没有办法定义的，所以，教材中给了一个描述性的说明：所研究对象的全体构成集合。

集合和集合中的元素是相互确定的，因此，我们首先要明确什么是元素的确定性。元素的确定性是指，对于给定的集合，某一元素是否属于这个集合是确定的，要么属于，要么不属于，也就是说，一个给定的元素和给定的集合之间只有两种关系，没有第三种关系，不能是有时属于、有时不属于，也不能是一部分属于另一部分不属于，也不能是有些人认为属于，有些人认为不属于，或其它情况，等等。

如果所给的一组对象不能满足元素确定性的要求，则这组对象就不能构成集合。比如，“学习好的同学”就不能形成集合，因为对于某一同学来说，是不是“学习好”是不能确定的。

完全意义上的确定性在数学问题中表现的很明显，但在生活、在其它领域表现的就不是那么明显，对于那些处在边缘状态的问题我们就不好确定。比如我们判断一个学生是不是学习好就不好把握，因为标准不明确，但当我们说他某次考试数学是不是及格了就很清楚，因为标准是明确的；如果我们规定数学考试成绩90分以上的学生就是数学学得好的学生，那么，下一次考试某位同学数学成绩如果是89分的话，这位同学还不能算作是数学学得好的学生，但在我们日常的认识里，我们一般不会认为这位同学数学学得不好。

不是所有的问题都可以用集合来表示的，因为现实中更多的问题界限是模糊的，是不确定的，也因此，在学习集合这一部分内容时，一般只有在开始的时候会引用一些数学课之外的例子，此后用的都是数学问题的例子。

函数和映射是学生进入高中后数学学习的一个难点，很多同学觉得映射和函数的定义不好理解，他们难以理解“对于于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应”这样的表达。

映射的定义核心意思是“确定”，就是根据集合A中的元素我们能确定集合B中的元素。A、B两个集合间元素的对应关系有四种，一对一，一对多，多对一，多对多，其中的一对一、多对一都是“确定”的，即我们可以根据集合A中的元素确定集合B中的元素，而一对多、多对多这两种对应就不能根据集合A中的元素唯一地确定集合B中的元素。例如，独生子女家庭中孩子的父母和孩子之间的亲子关系就是多对一的对应关系，由孩子的父亲或母亲都可以找到唯一确定的一个孩子；在学校，学生出了问题，老师就找家长，不论找孩子的父亲或母亲都行，既然都行，意思就是不确定，如果老师让学生叫家长，老师就不知道来的到底是孩子的父亲还是母亲。

函数就是两个变量x和y之间有确定的关系，通常我们说y是x的函数，意思是给定x的值，y就有唯一确定的值，这样我们就可以根据x的变化来确定y的变化。函数的值域是研究函数值y变化的范围，函数的单调性研究自变量x增大（或减小）时，函数值y是增大了还是减小了。函数的奇偶性研究当自变量x变为相反数时，函数值的变化情况，如果函数值不变，我们就说这个函数是偶函数，如果函数值变成了相反数，我们就说这个函数是奇函数；前述的两种情况不成立，我们就说这个函数没有奇偶性。函数的周期性是指当给任一自变量x加（或减）一个非零的常数T时，如果函数值没有改变，我们就说这个函数是以T为周期的函数。

在中学学习的这些函数问题，简单来说，就是根据自变量x的变化情况来确定函数值的变化，根据一个量的变化来确定另一个量的变化，这样我们就可以根据一个量的变化来控制另一个量的变化，这是典型的“由此及彼”，是控制理论的基础。

但是，现实世界中事物的变化更多的是不那么确定的，所以，我们还要学习和研究概率与统计的问题。概率与统计研究的问题更贴近于我们的生活，对于我们认识和理解世界更有帮助。

我们常给学生讲“努力学习就会有好成绩”，努力学习与取得好成绩之间的关系是不确定的，是高相关的关系，意思就是不是所有努力学习的学生都会取得好成绩，但大多数努力学习的学生会取得好成绩，并且学生努力的程度与其取得的成绩之间是基本一致的，那些学习很努力但成绩不好的学生人数很少。影响学生学习成绩的因素很多，学习努力与否只是影响学生学习成绩的一个重要因素，对于某一个学生来说，当然这是很重要的因素，并且几乎是我们可以控制的唯一因素，所以老师讲的话没有错，不能根据个别学生的表现来否定这句话的积极意义。

对于两个变量x和y间的不确定关系，我们用相关关系来表达，相关关系分为正相关和负相关，如果y随x的增大而增大，我们就说y和x之间是正相关关系，如果y随x的增大而减小，我们就说y和x之间是负相关关系，如果x的变化与y的变化之间没有什么关系，我们就说它们是非相关的，非相关就是我们常说的没有关系，比如学生的身高与学习成绩之间就是非相关的。对于相关关系我们还可以用相关系数来量化它们之间相关的程度，如果相关的程度高，相关系数的绝对值就接近于1，如果相关程度低，相关系数的绝对值就接近于0。

用举例的方法来论证，要求所举的事例要有代表性、典型性，用不具有代表性和典型性的事例说明问题是没有说服力的。“某某人没有多少文化但事业有成”，再加上“某某人名牌大学毕业但混的一塌糊涂”，正反两方面的事例是否可以说明“知识无用”？有多少人会相信这样的说明？不是这样的或类似的说理把我们说服了，而是我们本来就相信那个结论，这样的举例只是强化了我们的认识而已。

我们怎么能知道所列举的事例是有代表性的？用统计的数据说明所举的事例在总体中所占的比例（当然还有其它的统计数据能帮助我们说明和认识事物），如果所占的比例很大，那就几乎相当于枚举法，如果所占的比例很小，那就几乎相当于反证法，这样的说明当然很有说服力。

概率和统计的知识可以帮助我们更好的认识世界，避免被极端和偶然的事件误导，从而帮助我们更好的判断和选择。