§2.2　向量的减法

一、教学目标

1．理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．

2．掌握向量减法的几何意义．

3．能熟练地进行向量的加、减运算．

二、教学重点难点

1.重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.

2.难点：减法运算时方向的确定.

三、教学设计

(一)自主学习

 1．在平行四边形ABCD中，→AC－→AD等于(　　)

A.→AB      B.→BA    C.→CD    D.→DB

答案　A

2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)

A.→AB－→DC＝0   B.→AD－→BA＝→AC

C.→AB－→AD＝→BD   D.→AD＋→CB＝0

答案　C

3．在平行四边形ABCD中，→BC－→CD＋→BA－→AD＝______.

答案　0

4．已知→OA＝a，→OB＝b，若|→OA|＝12，|→OB|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________.

答案　13

（二）：合作探究

探究一　向量的减法

思考1　a的相反向量是什么？－a的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？

思考2　我们知道，在数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？如何理解向量的减法呢？

思考3　向量a加上向量b的相反向量，叫作a与b的差向量，求两个向量的差的运算叫作向量的减法，对于向量a，b, c，若a＋c＝b，则c等于什么？ 

探究二　向量减法的法则

思考1　由于a－b＝a＋(－b)．因此要作出a与b的差向量a－b，可以转化为作a与－b的和向量．已知向量a，b如图所示，你能利用平行四边形法则作出差向量a－b吗？

思考2　向量减法的三角形法则是什么？

思考3　请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a与b的差向量a－b？若a＋b＝c＋d，则a－c＝d－b成立吗？

探究三　|a－b|与|a|、|b|之间的关系

思考1　若a与b共线，怎样作出a－b?

思考2　通过上面的作图，探究|a－b|与|a|、|b|之间的大小关系？

（三）例题精讲 

例1　如图所示，已知向量a、b、c、d，求作向量a－b，c－d.

解　如图所示，在平面内任取一点O，作→OA＝a，→OB＝b，→OC＝c，→OD＝d.

则→BA＝a－b，→DC＝c－d.

方法小结　根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．

例2　化简下列式子：

(1)→NQ－→PQ－→NM－→MP；

(2)(→AB－→CD)－(→AC－→BD)．

解　(1)原式＝→NP＋→MN－→MP＝→NP＋→PN＝→NP－→NP＝0.

(2)原式＝→AB－→CD－→AC＋→BD＝(→AB－→AC)＋(→DC－→DB)

＝→CB＋→BC＝→CB－→CB＝0.

方法小结　向量减法的三角形法则的内容是：两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点字母为终点．

例3　如图，ABCD中，→AB＝a，→AD＝b，你能用a，b表示向量→AC，→DB吗？

解　由向量加法的平行四边形法则，我们知道→AC＝a＋b；

同样，由向量的减法，知→DB＝→AB－→AD＝a－b.

方法小结　(1)用已知向量表示其他向量时，关键是利用向量加法的三角形法则及向量减法的几何意义．

(2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为：

观察待表示的向量位置；寻找相应的平行四边形或三角形；运用法则找关系，化简得结果．

（四）当堂检测

1　如图所示，在正五边形ABCDE中，A→B＝m，B→C＝n，C→D＝p，D→E＝q，E→A＝r，求作向量m－p＋n－q－r.

2　化简：(1)(→BA－→BC)－(→ED－→EC)；

(2)(→AC＋→BO＋→OA)－(→DC－→DO－→OB)．

解　(1) →DA. (2) 0.

3　如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设→AB＝a，→DA＝b，→OC＝c，试用a，b，c表示向量→OA.

解　b＋c－a＝→OA.

（五）课堂小结:

   1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－→AB＝→BA就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．

2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

3．以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量→AB＝a，→AD＝b，则两条对角线表示的向量为→AC＝a＋b，→BD＝b－a，→DB＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握．

（六）作业：

（七）教学反思