看到这个题目，读者一定会猜想：“这是在夸奖一个人?”“还是夸奖一件东西？”其实这是今天数学课堂上由一位学生发出的对另一位同学解答完的问题的评价。但当时的评价，似乎并不是发自内心的真诚的评价。怎么回事呢？

期中考试结束后，数学开始新的一章——因式分解。前几节课主要学习了因式分解的意义和提公因式法。本节课是学习平方差公式因式分解。这节课我编写的导学案内容如下：

课题  §4.3-1 运用公式法（1）

【教材】北京师范大学出版社义务教育教科书数学八年级下册．

【学习目标】

1.了解运用公式法分解因式的意义．

2.会用平方差公式进行因式分解．

3.进一步理解因式分解与整式乘法的互逆关系,体会化归的思想方法．

【学习重、难点】用平方差公式进行因式分解．

【预习导学】

一．自主预习，请仔细阅读教材P99，勾画出知识要点．

二．预习检测：

1.将下列多项式化成a²–b²的形式：

（1）a²b^{2- m2}n²=                ；（2）0.25q² -121p²=                   ．

2.   -x² -25y²能化成a²–b²的形式吗？为什么？

3.判断正误：

 （1）x²+y²=（x+y）(x–y) ；                       (    )

 （2）x²–y²=（x+y）(x–y)；                       (    )

（3）–x²+y²=–（x+y）(x–y) ；                   (    )

 （4）–x²–y²=–（x+y）(x–y)．                    (    )

4.若m-n=2，m+n =5，则m ²- n ²的值为            ．

【家长签字】　　      　　　　　　　　         　　

【合作探究】

探究活动一 

1.计算下列各式：

（1）（x+3）（x–3 ）=                 ；

（2）（4x+y）（4x–y）=               ；

（3）（1+2x ）（1–2x）=               ；

（4）（3m+2n）（3m–2n）=              ．

2.根据上面的算式进行因式分解：

（1）x²–9=                          ；

（2）16x²–y²=                            ；[来源:学#科#网]

（3）1–4x²=                            ；

（4）9m²–4n²=                            ．

3.平方差公式：a²–b²=（          ）（          ）．

探究活动二

1.自学课本P99例1，谈谈自己对用平方差公式因式分解的体会.

（1）被分解的多项式是     项式，且这两项     号，并且能写成a²–b² 的形式；

（2）分解的结果是两个底数的     乘以这两个底数的      的积的形式.

2.讨论：若把 4x²–y²，x²–9y² ，4x²–9y² ，(x+y)²–(x-y)² 因式分解，其中的a,b分别相当于什么式子？试一试用平方差公式因式分解.

3.学习例题.

【达标测评】

1.把下列各式因式分解：

（1） a²-81；       （2） m²-9n²；（3）9a²p²- b²q²．

2.把下列各式因式分解：

（1）(m+n)² - n² ；      （2）49（a-b）²-16（a+b）²；

（3） (x² +y²)²- x² y²  ； （4）3ax² -3ay⁴．

3.课本P101“问题解决”（选做）．

【课外作业】整理本节导学案并完成下一节导学案中的预习．

【课堂小结】

1.运用平方差公式的条件：（1）要分解的多项式是        式；（2）两项的符号      ；（3）每项都能化成         的形式．

2.平方差公式中的a和b可以是单项式，也可以是           ．

3.因式分解时，若各项都有公因式，一般先              ，再用公式因式分解．

 

学情分析

我所教的两个班学生程度不同，一个是重点班，另一个是普通班，两个班数学学习成绩相差非常大，所以我采取分层教学：重点班教师引导学生自主学习、合作探究，充分激发学生自主能动性，让学生成为学习的主人。而普通班学生数学基础过差，自学能力很难在较短时期调动起来，小组合作学习效果也不好，所以课堂教学我启发引导的作用更多一些。今天上课前，根据学生早读前交的预习作业，我欣喜地发现重点班大多数学生不但能独立完成预习学案，而且主动解决探究环节的问题和课后的检测题；但更让我苦恼的是重点班的个别数学学困生和普通班整体学生都存在对因式分解的意义没有完全理解，自学环节不能准确把握平方差公式 因式分解的特点，解决问题能力很差。 

教材分析

因式分解是整式乘法的逆变形，与整式乘法有着密切的联系，是代数式的一种恒等变形。内容设置上起着承上启下的作用：（1）为学生后续学习做准备，是学习分式和解高次方程的基础；（2）学习因式分解对于化归的能力、逆向思维的能力起到一定的作用。（3）在发展学生运算能力，培养逆向思维品质方面有着重要的教育价值。

学法指导：自主预习 引导法 合作探究。

 

数学课程标准指出：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。第一节我在普通班上课，因为学生已经预习过课本，所以我首先用一句简洁的语言引出平方差公式：

“把乘法公式（a+b)(a-b)= a²–b² 逆用就得到a²–b² =（a+b)(a-b)  ，这就是因式分解。”然后以预习检测第1小题作为情境提出问题，让学生观察体会a²–b² 中a,b的意义。但学生似乎并不理解，不会将代数式变形为a²–b² 的形式。于是我这样启发学生：“你能用什么图形形象地表达平方差公式中的a,b呢？”学生激动地说：“圆形，三角形，正方形，……。”我高兴地点点头，说：“很好，那我就参照你们的想法，把平方差公式形象地写作: 圆形²–正方形² =（圆形+正方形)(圆形-正方形)。请大家也参考对应记在课本平方差公式的下面。”

接下来解决学生预习检测中出现的错误和困惑。问题2： -x² -25y²能化成a²–b² 的形式吗？为什么？专心听讲的学生马上喊出来：“不能。因为公式中两项符号不同，这个式子两项符号相同。”听到这些学生的回答，我很高兴，但没有立即说“对！”因为我注意到大多数学生还是眼神困惑。我就继续启发：“请对比我们用形象的方法记的平方差公式，你同意刚才同学的观点吗？”这时大多数学生都仔细地将问题与公式进行了比较，逐渐说出“同意。”此时我也肯定了学生的观点。问题3：判断正误题，学生渐渐进入状态，基本看出平方差公式的特点，判断出（1）错，（2）对，（4）错。但对于第（3）个变形–x²+y²=–（x+y）(x–y)，学生意见分歧。于是我问：“如果提出负号，括号里的式子是什么形式？能用平方差公式分解吗？请大家在练习本上试一试。”结果很快就有学生回答：“老师，那个变形是对的。提出负号后，可以再用平方差公式的。所以第（3）个变形对。”

为了加强对公式的理解，我组织学生合作完成探究活动一，感受因式分解与整式乘法互为逆变形，并再次归纳平方差公式。虽然教学由整式乘法逆变形得到因式分解的过程很顺利，但我一直担心：我现在面对的是普通班，很大一部分学生是数学困难生，回答的声音并不代表真正会用平方差公式。只有继续引导学生练习，才能使大多数学生学明白。于是我在黑板上写出探究活动一出现的4个代数式让学生进行因式分解：（1）x²–9；（2）16x²–y²；（3）1–4x²；（4）9m²–4n²。我先请4位学生板书，结果只有第一小题学生因式分解正确，其他三道题学生都没有变对，原因还是数学基础很差，上课听讲不够专心，不能理解公式的特点。怎么办呢？我改变了策略，先不纠错，让学生自学课本例题1，自学完以后自由说说平方差公式的特点 。我这样引导学生：“公式左边的代数式是几项？”学生答：“二项。”师再问：“这二项是同号还是异号？”学生答：“异号。”“分解的结果是两个底数的（  ）乘以这两个底数的（  ）的积的形式？”学生依次回答 “和”与“差”。在老师的层层设问下，很多平常相对沉默的学生都变的更加活跃，积极参与到学习探究的活动中。我趁热打铁，再次提问学生：“谁愿意上来纠正黑板上同学因式分解的错误？或者重新做？”在我环视学生的举动点名时，意外地发现小婷（化名）同学，一位数学特别差、考试总是十几分的女孩既羞怯又勇敢地举起了手。我赶紧点她的名字，请她来试一试。更令我惊喜的是，她做的是第（4）小题，我觉得这道题对她来说很难，她居然做对了！我当时难以抑制心中的激动，就鼓励全体同学把掌声送给她。但令我吃惊的是，这个班的学生虽然学习基础整体不好，心态上似乎还不服气同学的出色表现。他们宠辱不惊，无动于衷！我没有料到学生有这样的心态。我控制住心中的不快，反问他们：“你们同意她的解题过程吗？”“同意！”“如果同意，让我们把掌声送给她，也送给你们自己！”这时教室响起热烈的掌声，同时还从一个角落传来“真--漂--亮”的“赞扬声”，原来是小翔（化名）。小翔平常上课不注意听讲，思想经常开小差，但他脑子不笨，偶尔会努力听课。我从小翔的音调中感到这句赞扬不够真诚。为了培养这个班学生具有良好的道德素养，我说：“小翔，为了让大家把掌声也送给你，把‘真漂亮’ 送给你，老师再出一道题，你来做吧！”我在黑板上写出：25m²–16n².请小翔进行因式分解。小翔走到黑板前，对着问题作出思考状，看的出来，他没有专心听。但我不想让他丢面子，就引导他对比平方差公式体会公式中的a,b，再写做两数和与两数差的积的形式。这时，下面的部分学生不忍心看到自己的好伙伴丢面子，提醒他写出了正确的变形结果。我由衷地赞扬小翔: “此刻小翔听的很专心，因式分解正确，让我们把掌声送给他，并且夸夸他‘真--漂--亮’。” 小翔羞涩地笑了。我们的课继续进行，我引导学生自主学习课本例题，交流学习中的疑惑，并讲授学生有困难的例题2。布置完作业，下课的铃声响了，这节平方差公式因式分解课在师生的共同努力下顺利结束了。

 

教学反思

数学课程标准指出：课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系。下课后，我重新回顾在普通班上的这节课的整个过程，虽然我上的很辛苦，但心中的甜蜜与感动是无法描述的。我感激学生的努力，感动学生的积极参与。德国哲学家雅斯贝尔斯认为：教育是“一朵云推动另一朵云，一棵树摇动另一棵树，一个灵魂唤醒另一个灵魂”。我们教育的目标是为了唤醒学生。虽然学困生的进步很小，反应到成绩可能不明显，但我相信，我的教学方式一定有利于学生的成长和发展。这节课成功之处有以下几点：

1.教学活动注重对学生的启发和引导，使学生学会主动观察、比较、思考平方差公式的特点，调动学生的学习积极性，使大多数学生参与到探究和应用平方差公式的学习活动中，把话语权归还给学生。教师起到知识的引导作用，启发引导学生成为数学活动的主人。教学活动并不是传统的单一的教师讲授为主，而是以培养学生专心听讲、积极思考、大胆探究、主动训练等能力为主。

2.教师能够积极研究学生的学情，尊重学生的个体差异，从学生已有的经验和知识出发，创设情境，并引导学生通过形象的方法理解平方差公式。教师作为学生学习的组织者、引导者与合作者，激发学生学习的兴趣和学习的主动性，进而培养学生独立解决问题的能力和探究合作的能力。

3.对于学困生富有爱心和耐心，留给学生思考的时间，善于分析学生的学情，根据学生结构特点为学生创设了充分的想象空间，发展学生的思维，唤起学生观察、探究、发现数学规律的欲望，为学生学习新知作铺垫，使学生顺利进入下个环节的学习。

通过这节课，我认识到数学教学活动要把学生的需求放在第一位，教育是教师与学生一起成长，共同享受幸福。在今后的教学中，我将继续探究更切合我校学生特点的教学方法，使不同的学生在数学学习上有不同的发展。