一元二次方程

课堂教学实录

                    王秀忠

 

教学实录：

I．知识回顾

师：前面我们已经学习了一元二次方程的有关知识，并用它来解决了一些简单的实际问题，今天我们来下面的几道题为基础对本章进行复习．

我们先一起来看两个问题，做完的请示意：

问题1．写出一元二次方程2x(x－1)=3(x＋5)－4.的二次项系数、一次项系数及常数项．

2．（10·山东）根据下列表格的对应值：

判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解x的取值范围是（     ）

A． 3．23    B． 3．23．24    C． 3．24．25    D． 3．25．26

（学生积极演算，2分钟后大都示意完成）

师：我们请生1说一下第1题．

生1：一元二次方程2x(x－1)=3(x＋5)－4.可整理为 2X2-5X-11=0，所以这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项分别为2，-5，-11．

师：好，请坐．答案是这个的请举手！（全都举手）

师：很好．我们再请生2说一下第2题．

生2：第2题选C．因为根据图标发现，在这个区域，ax2+bx+c随着x的增大而增大．

师：好，请坐．答案是这个的请举手！（全都举手）

师：非常好，看来同学们对基础知识掌握不错．我们接下来再看三个题目，时间6分钟．

问题3．用适当方法解下列方程．

（1）5x 2-45=0 ；             （2）x 2+2x-1=0 ；

（3）（x-2)(3x-5)=1  ；       

4．一个直角三角形的斜边长为5cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，求两条直角边的长度．

5．某电脑公司2005年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％，该公司预计2007年经营总收入要达到2160万元，且计划从2005年到2007年，每年经营总收入的增长率相同．问2006年经营总收入为多少万元？

（学生独立思考并解决学案中问题3～5，其中生3板演第3（1）、（2）题，生4板演第3（3）、（4）题，生5板演4题，生6板演第5题．6分钟后大部分学生示意完成．）

师：我们请板演的同学依次把解决问题的思路讲一讲．

（生3～生6依次讲解）

生3：对于第（1）题我可以直接开平方得到 X1=3 ，X2=-3 ．第（2）题我是利用了求根公式法，当然这道题也可以利用配方法来解．

生4：第（3）题我是去括号移项后化成一般形式后，利用了求根公式法解

生5：设两条直角边中较短的为 Xcm，则由题意得X2+(X+1)2=25 ，解得 X1=-4（舍去）X2=3，

所以 ，所以两直角边分别为3cm、4cm．

生6：我们要用一元二次方程来解决这个问题，首先我们要根据题意把这个实际问题转化成数学模型——一元二次方程．（很自信的）我认为在这个问题上应明白：年收入增长的百分率＝年增加的收入/年收入．设每年的增长率为x，则

这样，我们就得到了满足题意的等量关系1500(1+X)2=2160．

．解得X1=0.2，X2=-2.2 （舍去）， ．

所以 1500(1＋x)＝1500×1．2＝1800(万元)．因此，2003年经营的总收入为1800万元．

师：下面以组为单位，一起交流总结解决以上问题时所运用的主要知识点、方法及规律，对本题（章）问题解决的认识和方法，比一比哪个小组总结的快、总结的完整．

生7：我们小组通过交流，认为从一元二次方程的整体结构看，本章的主要知识点有三部分：

（1）一元二次方程的定义：包括①定义：含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的方程叫做一元二次方程．②一般形式：．第1题即是考查这一知识点；

（2）一元二次方程的解法：①近似解：②精确解：求一元二次方程的解的常用方法有：配方法、公式法、分解因式法．第2、第3题是对这一知识点的考查；

（3）一元二次方程的应用．显然第4、第5题就是对这一知识点的考查．

生8：我们小组经过讨论交流，认为（1）在应用一元二次方程的概念解题时，首先要充分理解概念，记住构成一元二次方程的三个条件：①整式方程；②一个未知数；③未知数的最高次数是2次，特别要注意 这个条件；

（2）在解一元二次方程时，首先要熟练掌握配方法、公式法、分解因式法解方程的方法和步骤，能够根据题目特点，灵活选用适当的方法解方程．

（3）在应用一元二次方程解决实际问题时，首先要认真读题，只有理解了题意，才能从情景中获取必要的信息，然后通过分析、处理从而转化为数学问题，列出方程求解，最后要检验其解是否符合实际意义．

生9：我们组给出的本章的知识结构：

师：每个小组说的都太棒了，生8的整理把握住了这章知识的整体结构，对每一种情况还结合我们的题目举例给予了说明，理解得更加深刻．大家以后再进行整理总结时要向她们学习．这里，我也对这一章的知识进行了归纳整理，现在大家可以看一看．（用多媒体展示，结果与同学的比较，还不如生8总结的好）．同学们可以看出，老师整理的还不如你们整理的好，同学们比老师还聪明．其实只要大家勤于思考，多动脑、动手，一定会有重要的发现和收获的．

（学生情不自禁的鼓起掌来）

II.综合运用

师：（点评，肯定上一环节各组学生的表现，予以鼓励）刚才每位同学、各个小组表现得都非常棒，我相信，下面的问题大家一定会表现的更出色的！

问题1：解方程,你想到了哪些方法？

（生独立思考完成后，组内进行交流，然后小组代表发言）

生10：我是用的配方法，

生11：我是利用公式法求得．

生12：我把方程左边展开解得 ．

【师：问题2．（1）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握手66次，这次会议到会的人数是多少？

（2）如今，E-mail已经成为我们联系的一种工具，我班同学假期中部分同学相互通信一次，经统计，一共通信132次，假期中相互通信的同学人数有多少？

（生独立思考完成后，组内进行交流，然后小组代表发言）

生13：这两道题是一种类型，由于其中均有重复计算，所以都要除以2.以第一题为例：设这次会议到会的有x人，则X(X-1)=132 ，解得X1=12，X2=-11 （舍去）， .所以这次会议到会的有12人.

生14：我们组不同意这一说法.这两题并非一种类型，第（1）题有重复计算，但是写信并无重复计算.

（课堂中出现许多顿悟的声音，至此，课堂气氛掀起了一个小高潮.）

师：（针对以上两题引导学生进行解题后的反思.）

生15：通过解第1题，我们可以看到很多题目有多种解法，一题多解可以提高我们的解题能力.

生16：在第1题中，我是和我们组的其他同学交流后才知道有多种方法的，所以我觉得要经常与别人合作.

生17：通过第2题我们感觉到生活中处处都有数学，无处不用数学.

师：一题多解，更要优解.多解可以发散我们的思维，而优解可以提高我们的思维品质.同时我们还要注意“生活数学化，数学生活化”，这有利我们的解题，让我们享受成功的体验.

师：问题3．填空：

（1）方程 的根为x1=        ，x2=        ，x1+ x2=        ，x1·x2=        ；

（2）方程 的根为x1=        ，x2=        ，x1+ x2=        ，x1·x2=        ；

（3）方程 的根为x1=        ，x2=        ，x1+ x2=        ，x1·x2=        ．

由（1）（2）（3）你能得出什么猜想？你能证明你的猜想吗？

（师引导学生反思交流：1．题目解决所使用的知识点及解决问题的策略；2．用本章知识点解决问题时容易出错的问题；3．从本组、其他组同学那里你学到了什么？自己的表现如何？）

III.矫正补偿：

1．判定下列方程是不是一元二次方程：

（1）x 2 -1 =（x+2）2；（2）（a-1)x 2+bx+c =0； （3）3（x+1) 2=2x 2-5

2．用估算的方法解决以下问题：为进一步美化临沂城，要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽4m的绿化带，使余下的部分面积为100m2，求原正方形广场的边长（精确到1m）．

3．用适当的方法解下列方程：

（１） 5x 2-45=0       (2)  x 2+2x-1=0    （3）（x-2)(3x-5)=1           ( 4 )   (x+3)(x-1)=x+3    （5） x 2 -10x+24=0

 

4．某商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价1元，其销售量就减少10件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？

5．某商场第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入资金继续进行经营．

（1）如果第一年的年获利为m万元，则第一年年终总资金可用代数式表示为        万元；

（2）如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点，第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．

（说明：第4、5题任选一题完成即可）

（生独立完成以上题目，当堂批改）

IV.完善整合

师：请大家反思一下，你是否真正达到了本课时要达到的目标？

（学生回顾反思，部分学生做全班交流，教师适时补充、鼓励，以完善本章所复习的知识、方法、规律）

1、主要知识点：

2、方法：

3、知识结构：

 

4、课后请同学们独立完成一份小结，谈谈到目前为止对方程学习的感受以及困惑．由小组互相交流评价，与同学方案的优劣，从而取长补短．