（二）完全平方公式的妙用

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课题负责人   王颖妮

在学习整式乘法和分解因式时，学生常常混淆平方差公式和完全平方公式，在作业练习中会经常出现﹙a＋b﹚²  = a²＋b² 、 ﹙a－b﹚²= a²－b²。反复强调，有些学生总是写错，原因是根本没弄懂公式的推导过程，没有抓住公式的特征。

在初中数学教学中，完全平方公式被广泛应用。不仅要求学生掌握它的特点，会顺用和逆用，而且要重视公式的变形技巧，灵活运用公式解决问题。

一、完全平方公式和完全平方式

1、分解因式中的完全平方公式

a²＋2ab＋b²=﹙a＋b﹚²    

a²－2ab+b²=﹙a－b﹚²

公式特点：等号左边是两个数（整式）平方和，加上（或减去）这两个数（整式）积的2倍.，等号右边是这两个数（整式）的和（或差）的平方。

2、整式乘法中的完全平方公式

﹙a＋b﹚²= a²＋2ab＋b^{2  、} ﹙a－b﹚²= a²－2ab+b²

公式特点：等号左边是两个数（整式）的和（或差）的平方，等号右边是这两个数（整式）平方和，加上（或减去）这两个数（整式）积的2倍.。

 3、完全平方式

形如 a²＋2ab＋b² ,  a²－2ab＋b²的式子叫完全平方式。

 二、利用完全平方公式分解因式

1、直接利用完全平方公式分解因式

例如：25x ²－20xy＋4y ²＝﹙5x﹚²－2·5x·2y＋﹙2y﹚²＝﹙5x－2y﹚²

解析：此类题目，可以直接把多项式改为完全平方式的形式，再套用公式进行分解。

2、先提公因式再利用完全平方公式分解因式

例如：3ab ²＋6ab＋3a＝3a﹙b²＋2b＋1﹚＝3a﹙b＋1﹚²

3、先提负号，再分解因式

例如：－x ²－4y ²＋4xy＝－﹙x ²－4xy＋4y ²﹚＝－﹙x－2y﹚²

三、利用完全平方公式求值

1、配方思想

例如：（1）已知 x ²＋y ²－2x－4y＋5＝0   求x  、 y的值。

解析：等号的右边为0，给等号的左边二次项x ²，一次项－2x，配上1就构成完全平方式；给二次项y ²，一次项－4y，配上4也构成完全平方式。而常数5刚好可分成1和4，于是得到两个完全平方式的和等于0，从而可求出x 和y的值。

解：x ²＋y²－2x－4y＋5＝0

﹙x ²－2x＋1﹚＋﹙y ²－4y＋4﹚＝0

﹙x－1﹚²＋﹙y－2﹚²＝0

即x－1＝0   y－2＝0

解得，x＝1    y＝2

﹙2﹚当x为何值时，多项式 x ²＋2x＋3有最小值，最小值是多少？

解析：通过观察，给x ²＋2x配上1就构成完全平方式。可以加上1，再减去1 。（.或者从3中分出1）

解：x ²＋2x＋3＝﹙x ²＋2x＋1﹚－1＋3＝﹙x＋1﹚²＋2

因为：﹙x＋1﹚²≥0

﹙x＋1﹚²＋2≥2

所以，当x＋1=0，x=－1时，x ²＋2x＋3有最小值，最小值是2。

2、完全平方公式的变形技巧

a ²＋b ²＝﹙a＋b﹚²－2ab＝﹙a－b﹚²＋2ab

﹙a＋b﹚²＝﹙a－b﹚²＋4ab

﹙a－b﹚²＝﹙a＋b﹚²－4ab

例如: 已知﹙a＋b﹚²＝16,   ab＝2

求：（1）﹙a－b﹚²       (2)   3﹙a ²＋b ²﹚

解：（1）﹙a－b﹚²＝﹙a＋b﹚²－4ab＝16－4×2＝8

（2）3﹙a ²＋b ²﹚＝3[﹙a＋b﹚²－2ab]＝3×﹙16－2×2﹚＝36

四、利用完全平方公式判断三角形的形状

  已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 a ²＋b ²＋c ²＝ab+bc+ac ，试判断△ABC的形状。

分析：本题给出了三角形三边之间的关系，移项后，给两边同乘以2，可构成三个完全平方式，此时利用完全平方公式，得到﹙a－b﹚²＋﹙a－c﹚²＋﹙b－c﹚²＝0即可判断三角形的形状。

解：由题意可得：a ²＋b ²＋c ²—ab—bc＝0

-两边同乘以2，得 2 a ²＋2b ²＋2c ²－2ab－2bc－2ac＝0

﹙a ²－2ab＋b ²﹚＋﹙a ²－2ac＋c ²﹚＋﹙b ²－2bc＋c ²﹚＝0

﹙a－b﹚²＋﹙a－c﹚²＋﹙b－c﹚²＝0

所以a－b＝0,    a－c＝0    b－c＝0

即a＝b＝c

所以△ABC为等边三角形

以上是自己在教学中的一些积累，希望对学生更好的掌握完全平方公式有所帮助。