作者：一条大河波浪宽

二、波动(volatility)

    首先讲点题外话，由于本人只是初学者，所以很多名词的中文翻译不是很准确，而且就算在网上找到的中文译名也感觉不是很好，这样文中出现的中文译名可能会让人误解，所以我会在以后每个专有名词后面用英文注明，也希望能有高手能统一这些衍生品的中文名字。

    现在我们已经接触到了几个期权，有心的同学可以注意到这些期权里有一个共同的因素在影响它们的价值，那就是载体商品(underlying)的波动(volatility)。我们回到BS公式：

期权价格 = 函数(载体的价格，价格波动率，市场利率，到期时间，执行价)

    从上面的公式可以看到，要计算一个期权的价格，需要知道上面括号里的五个参数的值，其中除了价格波动率，其它的都很容易在市场上观察到。可见波动这个东西需要我们仔细研究一下。

    在金融工程学里面，有很多种波动，其定义也完全不同，为了不让大家迷惑，我们先假定只有一种波动 ，简记为vol。回到我们的江西铜业，假如我们手上有其过去一年 (今年六月一号到去年五月31日)每天(假如有251个交易日)的收盘价，也就是251个股价，那么我们可以计算出江西铜业去年全年的波动(vol)如下:

    1, 计算出一个平均值，也就是去年全年江西铜业的平均股价，

    2，然后用251个股价分别减去这个平均值，得到251个差值，

    3，算出251个差值的平方和

    4，将这个平方和除以250，再开平方，即得到江西铜业去年全年的波动率(vol)

    当然，在计算期权时需要的波动率和这个稍有不同，为了简单起见，我们暂时先用上面的计算方法，等到我们后面开始计算信用评级的时候再更正。另外，习惯上我们说的波动，都是指年波动率，所以大家看到上面对于这两者我都用(vol)来指代。有了年波动率，其他时间长度的波动率就很容易计算:

其他期间波动率 = vol x 平方根(期间交易天数/251)

    比如日波动率就是1/251的平方根，再乘以年波动率vol。四年的波动就是两倍的vol，等等。当然，不同国家不同的市场每年有不同的交易天数，大家可以用实际的交易天数换掉上面的251。

    波动vol是金融工程里最重要的概念和变量，几乎所有金融模型的设计，都是在绞尽脑汁想办法预测它。这个也不奇怪，金融市场上只关心两个概念，一个是回报(return)，另一个就是风险(risk)。所谓风险，就是来自不可预测的市场波动，信用波动以及其他波动。金融机构(financial institute)里的风险管理也就相应的分为市场风险管理(market risk management)，信用风险管理(Credit risk management)，和运营风险管理(operational risk management)。金融工程学就是运用数学模型来进行风险管理的学科。

    回到我们的BS期权公式，我们现在有了过去一年江西铜业(今年六月一号到去年五月31日)的年波动率(vol)，但是这个数字还是不可以放到BS公式里面，因为期权公式里的波动，是指未来(六月一号以后一直到九月一号)这三个月的波动率。显然，过去三个月的波动率绝不等于未来三个月的波动率。那么金融市场是如何得到这个未来的波动呢？

    答案是引申波动(implied vol)，在一个成熟的金融市场里每天会有很多期权报价，假定A股现在已经和欧美股市一样成熟了，关于江西铜业市场上已经有了标准的一个月和半年的看涨和看跌期权(call and put)报价，那么我们可以用BS公式倒推(imply)出江西铜业一个月和半年的引申波动(implied vol)，那么对于我们需要的三个月期权价，就可以根据一个月和半年的波动率，用上面波动率的公式，插值算出江西铜业未来三个月的引申波动，再带入BS公式，来得到其三个月的期权价格。

    对于一般的使用者来说，知道对于所有期权的计算都是上面这个流程就可以了。大家真正需要理解的是另一个公式：

期权价格 = 内在价值(intrinsic value)   时间价值(time value)

    回到我们六月一号的江西铜业的看涨期权，其内在价值(intrinsic value)，就是六月一号其股价和该期权的执行价(strike)的差，即(20-19) = 1元。对于执行价20元的看涨期权，其内在价值(intrinsic value)就是零。对于执行价21元的看涨期权，其内在价值(intrinsic value)就是-1元。对于看跌期权，其内在价值就是执行价减去当时的股价，那么对于上面路人乙买的19元的看跌期权，其内在价值就是-1元(=19-20)。

    对于内在价值(intrinsic value)为零的期权，我们称之为平值(at-the-money, ATM)。对于内在价值(intrinsic value)大于零的期权，我们称为价内(in-the-money, ITM)。对于内在价值(intrinsic value)小于零的期权则称为价外(out-of-the-money, OTM)。内在价值(intrinsic value)也可以用价值状态(moneyness)来衡量，价值状态(moneyness)定义为股价/执行价。而ATM，ITM，OTM的看涨期权则分别对应价值状态(moneyness)等于1，大于1，小于1的情况。

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图7  欧式看涨期权价值图解

    图中蓝绿红线分别对应该期权执行价为15元，19元和25元的价值变化。比如，25元的ITM期权在六月一号，八月一号和九月一号的价值就是红线分别和细实线，细虚线和点粗线的交点，对于九月一号的该期权，粗点虚线对应的就是价内(ITM)的执行价，粗短虚线对应的是价外(OTM)执行价的期权。两线的交叉就是ATM。而蓝，绿，红三线位于九月一号线以上的部分，就是这三个期权在六月一号的时间价值(time vale)。在八月一号和九月一号线的部分就是它们在八月一号时的时间价值。我们可以看到，随着到期时间的减少，其期权价值随着时间价值的减少而减少。到了九月一号，这些期权的时间价值都是零。我们也可以看到，在图形的左端，也就是非常价外(deep out of the money)的地方，比如执行价为1元的看涨期权，它的内在价值是-19元，但它的期权价值还是大于零的，因为有三个月的时间价值，毕竟三个月内江西铜业摘牌的机会还是有的，虽然非常小。

    回到BS公式，对于所有期权的计算，都需要先找到所需的引申波动，然后才能计算该期权的价格。每一天晚上各个金融机构的数据部门都会呆到很晚来收集从各个数据提供商那里拿到的当天每个市场的收盘价和引申波动表(vol surface)。这个波动表(vol surface)实际上就是一个个由各种市场上流动性很好的各种期权的不同执行价(strike)以及不同期间(maturity)所引申出来的波动，有了这些表(vol surface)，第二天交易员们和风险管理员们就可以算出所需期权和其他衍生品的价格。

    假如A股市场上江西铜业的期权流动性(liquidity)很好。那么我们可以每天用上面的方法拿到一个波动图如下。

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图8  股票期权波动的微笑(smile)

    图8就是一张典型的股价期权的波动曲线，可以看到越靠近ATM的地方(20元)，波动越小。越往两头走波动越大，所以市场上一般把波动图叫做”微笑”(smile)。对于股票期权的波动图，一般是左边的波动大于右边的波动，如上图，因为股票市场上往往有雪崩效应，也就是说，如果一支股票下跌到一定程度，会引起人们的恐慌抛售，往往会产生不正常的巨大波动。

    而在外汇市场上，则要对称一些，比如大家可以回忆一下井大在某期周报里给出的美元的蒙娜丽莎的微笑。当然，外汇市场上的期权波动也不是完全对称的，其扭曲程度(skewness)是由外汇期权市场上流动性最好的期权之一风险逆转期权(risk reversal)决定的，这个我们以后再谈。

    这样，大家就看到了金融模型运作的基本方式: 首先从市场拿到波动，再引申出所需的波动，最后再算出价格。对于普通的期权和其它衍生品，这种模式工作得似乎不错。比如，在正常的市场里(即没有金融危机并且流动性很充足)对于很多股票，如果画出过去一年的(在执行价等于当时市场价)引申波动和真实波动(realized vol)，就会发现它们的走势会很吻合。比如比较上面江西铜业今年六月一号时期间为三个月执行价为二十元的引申波动和到了九月一号回头算出的其三个月的真实波动，在正常情况下应该会是很接近的。

    大家可能注意到我一直强调"正常"和流动性好"。换句话说，就是流动性不好的时候这些模型的可靠性是很可疑的，比如三年多前的金融危机，以及平常市场里交易量不是很大的产品，比如伦敦鲸所交易的CDS指数。

    这里解释一下金融市场上流动性的概念，所谓流动性(liquid)是指一个金融产品，比如某种CDS，一般的交易员到市场上都很容易拿到买价和卖价(bid和ask)，并且这个买卖价差(spread)很小，和一般的交易费(transaction fee)比相差不大。这也解释了我们前面提到的两个原则: 所有的金融模型都是错的，只有在其符合市场共识(market consensus)的时候才可以工作。只有市场才永远是对的。

    上面提到，当金融危机或者市场恐慌的时候，几乎所有的模型都不能正常工作，也就是说这个市场是有正常和不正常两种状态，所以很多指标就被构造出来作为观察市场是否正常的指标。比如有名的VIX指数，依据标普500指数的波动构建的。当VIX指数大于30往往就表示市场恐慌。

    讲到这里，顺便提一下井兄提出的risk on/off 的概念，我想如果能找到一些有代表性的指标，比如AUD/JPY的引申波动，或者其他能反应市场避险情绪的指标的波动，就可以做一个类似VIX的risk on/off 的开关。

    下节我们来讲讲信用评级。