在探索与交流中，建构数学模型

     ——《三角形的面积》教学设计

                                                     广东省佛山市三水区西南中心小学   邓广汉

【教材分析】：

三角形面积的计算是学生在充分认识了三角形的特征以及掌握了长方形、正方形、平行四边形面积的计算的基础上进行学习的，同时它又是学生以后学习梯形、组合图形的面积计算的基础。学生只有领会了基本的数学思想和方法，才能有效地应用知识解决问题，形成能力。本节课再次利用转化的思想方法引领学生探索三角形面积的计算公式。因此，转化方法的习得和转化思想的应用仍然是本节课教学的重要目标。教材的编排是为学生提供两个完全一样的三角形，让他们尝试拼成已学会面积计算的图形进行面积公式的推导。

【学情分析】：

五年级的学生初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算，学过运用折、剪、拼、量、算等方法来探究有关图形的知识，能与同伴合作并交流想法，对图形的相互转化有了初步的感知，具有一定的自学和合作交流的能力，这是五年级学生的共性。

我的学生关于三角形面积又知道些什么呢？课前我和部分学生进行了交谈，下面是我与其中一位学生的对话：

师：你知道三角形的面积计算公式吗？ 生：知道。 师：你是怎样知道的？ 生：是在补习班学习时，一个高年级的哥哥教我的。 师：你估计有多少人知道。 生：反正不止我一个。

 

 

 

 

 

 

 

在信息时代迅速发展的今天，学生并不是一无所知地走进课堂，课本已不是他们获得知识的唯一渠道，他们获得知识的渠道是多元，关于三角形面积计算方法，部分学生是有所了解的，但他们只是停留在文字的堆砌或生活经验上，不一定能讲清数学算理，思维也不严密。

【教学策略分析】：

由自己十多年的教学经验得知，在这部分内容的学习中，部分学生对三角形面积计算方法只是机械记忆，但对三角形面积为什么有“底×高”这个条件及用三角形的“底×高”求出的是什么图形的面积理解不深，对为什么要除以2更是懵懂不知。究其原因，原因一是教师所关注的是公式的熟练掌握和变式练习，忽略了让学生亲身经历三角形面积公式的形成过程；原因二是常规教法是运用两个完全一样的三角形拼成平行四边形，给学生留下的印象是乘2，而中下生在拼的过程中往往把注意力放在“怎么摆才能拼成一个平行四边形”，分散了对图形底、高关系的关注，随着时间的流逝，计算公式的推导过程逐渐忽略淡忘，就会让学生产生不易察觉的认知障碍。

怎么突破这个认知障碍呢？我尝试运用直观教学法，自主探究法，让学生在“拼”的基础上运用拆分法来推导三角形面积公式，把一个平行四边形沿对角线分成两个完全相同的三角形，通过三角形的面积与平行四边形的面积比较，更直观且更容易让学生发现三角形的底、高和面积与原平行四边形的底、高和面积的的关系，得出三角形的面积是与它等底等高的平行四边形面积的一半，从而推导出三角形的面积计算公式，能有效地解决学生忘记÷2的问题。同时，对于后面的多边形的拆分也有启发性。

基于以上认识，有了质疑课本，挑战教材的想法，因此，创新设置教材，用拆分法来推导三角形面积公式，并把本节课的教学目标定位为：

【教学目标】：

知识与技能目标

探索三角形面积的计算方法，运用所学知识解决简单的实际问题。

过程与方法目标：

1、通过观察、想象、验证，经历三角形面积公式的推导过程，进一步领会转化的数学思想，积累数学经验，发展学生的空间观念。

2、通过课堂自主探究和合作交流，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。

情感与态度目标：

激发学生学习兴趣，发展自主探索、合作交流能力，感受数学知识的内在联系的逻辑美，感受数学与生活的密切联系。

【教学重点】：

探索并掌握三角形的面积计算方法，能正确应用公式解决的实际问题。

【教学难点】：

三角形面积公式的推导过程。

【教学方法】：

直观演示、自主探究、讨论交流

【教学手段】：

多媒体课件、导学单、直角、钝角、锐角三角形学具各一套。

【教学过程设计】：

一、教学流程设计：

 

 

 

导学反馈

预习导航

设计意图： 1、培养学生的自学能力。 2、使学生在感性中初步感受模型。

设计意图： 1、检查学生自学情况，凸显学生的主体地位，感悟转化的数学思想，顺势引出问题。 2、让学生尝试练习中再现模型。

交流收获，再现模型

聚焦“问题串”， 构建模型

设计意图： 1、让学生经历三角形面积公式的推导过程（验证模型），领悟转化思想，完成三角形面积公式模型的构建。 2、培养学生自主探究的意识。

归纳积累

设计意图： 1、使学生学会反思性学习。 2、利用板书完成知识的梳理、总结，完成知识网络图的建构。

布置作业

设计意图： 分层设计作业，应用转化思想解决问题，体现不同的人在数学上得到不同的发展。

应用模型，拓展延伸

设计意图： 1、设计有一定梯度的练习，让学生应用模型解决实际问题，提升能力。 2、培养学生的观察、分析能力，渗透对应数学思想，让学生感受等积变换的方法，积累数学活动经验。

考查提升，内化模型

设计意图： 设计形式不同的课堂小测，让学生内化知识，提高学生反思学习和解决问题的能力。同时，了解教学效果，及时调整教学。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

二、教学过程设计：

教学 环节	教学内容	教师活动	学生活动	设计意图
一、 预习 导航 预计 时间 4分 钟	1、明确目标，感知转化思想 课件出示学习目标及活动一的学习提示： 2、交流收获，初步感受模型 学生在小组内交流预习情况。	把学生分成12个4人小组进行交流汇报	4人小组交流预习情况，小组长收集记录预习情况	1、充分发挥教材的导学功能，巧妙地设计了一份既体现了阅读方法的引领，又紧紧围绕着本课重难点的预习导航，让学生通过自学课本解决相关的问题，培养学生的自学能力。 2、通过交流，使学生从感性上大体对三角形面积计算公式有初步认识。
二、 导学反馈 预计 时间 26分钟	（一）交流收获，再现模型 1、小组汇报，感悟转化思想 师：我们通过课前的预习，关于三角形，你已经知道了什么？   2、尝试练习，再现模型 让学生根据三角形面积计算公式，独立完成例2。 3、诱导学生提出问题 师：同学们都会求三角形的面积了，那课上到这是不是可以下课？	教师结合学生的汇报，随机板书	小组长汇报预习收获   学生完成后集体订正，并让学生说说是怎样想的   学生提出不懂的问题	1、创设一个畅谈收获的平台，让学生通过动手拼摆与展示交流活动，让学生体验将三角形转化成平行四边形的过程和方法，直观感受了转化的思想方法，为下一步发现三角形与原平行四边形的关系提供了形象的支撑，也彰显了学生在学习中的主体地位。 2、放手让学生独立完成，目的一是为了检查学生的预习情况，其二是顺势让学生提出不懂的问题创造条件。
	（二）聚焦“问题串”， 构建模型 1、探究三角形面积为什么有“底×高”这个条件。 （1）让学生在教具上指出三角形和平行四边形底边上对应的高。 （2）课件出示活动二的学习提示，明确小组活动要求。 （3）学生动手操作、交流，验证模型 让学生利用学具观察、拼比验证想法，再通过组内的交流，得出：用三角形的“底×高”求出的是与它等底等高的平行四边形的面积。 （4）小结：把三角形重叠在平行四边形上，三角形的底和高与原平行四边形的底和高都重合在一起。因此，三角形底等于在原平行四边形的底，三角形的高等于原平行四边形的高。用三角形的底×高求出的是与它等底等高的平行四边形的面积。 2、拆分平行四边形，理解三角形面积为什么要“÷2”。 （1）教师先沿对角线平分平行四边形，然后提出问题： 用三角形的“底×高”求出的是与它等底等高的平行四边形的面积， 一个三角形的面积怎样求？为什么是除以2？ （2）课件出示活动三学习提示，教师明确活动要求。 （3）学生利用手学具验证想法，然后小组讨论交流，深化对三角形的面积=底×高÷2的认识。 （4）小结：我们通过拆分、重合的方法，发现了一个平行边形沿对角线可以分成两个完全一样的三角形，一个三角形的面积是原平行四边形面积的一半，所以用平行四边形的面积÷2求出的就是一个三角形的面积，也就是底×高÷2。 3、提炼探索过程，完成模型构建 我们以锐角三角形为例，研究了锐角三角形与原平行四边形的关系，那么，直角三角形、钝角三角形也同样具有这种关系，那就是三角形底等于在原平行四边形的底，三角形的高等于原平行四边形的高，用三角形的底×高求出的是与它等底等高的平行四边形的面积。因此，可以用底×高÷2求任何一个三角形的面积。 （三）应用模型，拓展延伸 师：利用公式计算三角形的面积，一般要知道哪些条件？下面我们运用三角形的面积计算公式来解决一些具体问题。 （课件出示学习目标二：应用三角形的面积计算公式解决简单的实际问题） （1）课本第86页第一题。 （2）求出下图三角形的面积。（单位：cm） 学生明确方法后，课件出示相应的条件。 （3）下面三角形的面积是多少平方厘米？你是怎样想的？ 课件出示学习提示： 先让学生根据学习提示小组讨论，然后指名回答。 （四）考查提升，内化模型 学生独立完成小测卷，完成后小组内交流算法。	教师在教具上分别作出三角形和平行四边形的底边上对应的高。       教师巡视并指导学生解决问题。   教师结合教具、课件演示小结并完成板书。       教师将平行四边形教具沿对角线掰开，拆分成两个三角形。             教师巡视并指导学生解决问题。   教师结合课件小结           教师结合课件总结三角形面积计算公式推导过程。                               教师巡视辅导中下学生                                     教师巡视完成情况，收集错例进行有针对性讲评。	学生分4人小组操作学具，组内交流，达成共识完成活动二。   小组长汇报学习成果。                                                 学生分4人小组利用学具验证想法，组内达成共识后完成活动三。   小组长汇报学习成果。   学生边听讲边思考，内化三角形面积公式的推导过程。                 学生独立完成后集体订正。                                               学生对错题进行辨析。	1、在自主操作的基础上，结合课件演示，让学生通过观察、思考与交流等的学习方式，一方面，让学生自主发现三角形与平行四边形之间的密切联系，从中领悟到转化思想，促进对三角形面积公式的理解；另一方面培养学生探索发现能力、推理能力。                       2、引导学生自己去操作实践、思考探索、交流讨论，形象的拆分平行四边形，使三角形面积为什么要“÷2”，给每一个学生都留下了深刻的印象，理解和掌握三角形面积计算公式的来龙去脉，促进学生思维能力的发展。                                           1、让学生利用三角形面积计算公式解决问题，既是对三角形面积计算公式的巩固，也是让学生感知到数学与生活的联系，体会三角形面积计算公式的应用价值，同时渗透安全教育。       2、练习紧扣三角形的面积计算公式，一方面让学生理解三角形面积计算公式中底与高的对应关系，在进一步强化三角形面积计算公式理解的同时，进行三角形面积计算的练习；另一方面学生在观察与操作中获得等底等高的三角形的面积相等的认识，感受等积变换的方法，积累数学活动经验。               设计形式不同的课堂小测，使各个层次的学生能有一个合理评价，让学生及时回顾整理本节课所学的知识，提高学生反思学习和解决问题的能力。同时，了解教学效果，及时调整教学。
三、 归纳 积累 预计 时间 9分 钟	1、教师总结全课 这节课，我们利用了转化的数学思想方法，把三角形转化成平行四边形，利用已学过的旧知识推导出三角形的面积计算公式，从而解决了问题。通过这节课的学习，你有什么收获？在利用公式计算三角形面积时，你会提醒你的同伴注意什么？ 2、引导学生看板书进行梳理归纳。	教师讲解点化并完成板书。	学生组内交流，内化知识。	学生述说自己的收获环节，一是引导学生对学习过程的“回头望”，学会反思性学习；二是引发学生挑明自己的具体收获，并让学生观察板书，利用学生的表达来完成知识的梳理总结，形成清晰的知识网络图。
四、 布置作业 预计时间1分钟	1、作业 Ａ层： （１）完成课本第86页第2、3题。 （２）在家里试试别的推导方法 Ｂ层：完成课本第86页第2、3题。 2、预习	教师布置作业		合理地分层设计作业，满足不同层次学生的要求，体现了教学的扎实，让学生进一步巩固三角形面积计算公式的灵活运用，体现了不同的人在数学上得到不同的发展的课标理念，让学生进一步领会转化的数学思想解决问题，同时为下节课学习铺路。

                     

板书设计：

 

解决

推导

转化

三角形

三角形面积=底×高÷2

平行四边形面积=底×高

平行四边形

旧知

一半

 

 

 

 

 

S=ah÷2

                （对应）          （等底等高）

 

 

本教学设计的创新之处

1、本设计以“非线性”教学策略为指导，对课堂教学中主导和主体关系进行定位，从课堂组织结构、教学内容呈现、课堂学习模式和课堂互动模式四个维度来优化课堂教学，以“非线性”的教学实现对“线性”教学的超越，充分体现学生在学习中的主体作用。

2、与以往的教学三角形的面积相比，过去学生在教师的指令下实验，完成三角形面积公式的推导的，实验报告也是形同虚设，问题一看就知道，用不着小组合作，对数学思想方法缺乏必要的引导。本设计恰恰可以解决上述问题，以“问题串”为引领，运用拆分法来推导三角形面积公式，让学生在体验探索中领会转化的数学思想，能有效地解决学生忘记÷2的问题，让数学知识与数学方法两条主线在数学课堂中齐头并进。

3、“非线性”小组合作学习，其教学资源源于学生，生成于课堂，具有开放性和实践操作性的特点，是培养、提高学生自学能力的行之有效的途径。

 

附：

《三角形的面积》导学案

组别：       姓名：       组评：    自评：    

【学习目标】

1．应用转化的数学思想，探索三角形面积公式的推导过程。

2．应用三角形的面积计算公式解决简单的实际问题。

【合作探究】

学习目标一：应用转化的数学思想，探索三角形面积公式的推导过程。

活动一：课前预习课本第84页

学习提示：

（1）课本介绍了用两个完全一样的三角形拼成一个（            ）来推导三角形的面积。

（2）用手上的两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。

（3）我发现：三角形面积=___________________，用字母表示S=__________________

（4）同桌说说你的其他发现，想想有什么问题还没弄懂。

    我还没弄懂的问题：____________________________________________________

__________________________________________________________________________

活动二：用三角形的 “底×高”求出的是什么图形的面积？

学习提示：

（1）三角形的底与原平行四边形的底有什么关系？

（2）三角形的高与原平行四边形的高有什么关系？

我们发现：三角形的 “底×高”求出的是                         形的面积。

 

活动三：为什么要除以2？

学习提示：

（1）把平行四边形分成两个完全一样的三角形。

( 2 )一个三角形的面积与原来的平行四边形有什么关系？

我们发现：三角形的面积等于与它        _____     的平行四边形面积的   ____   。

 

学习目标二：应用三角形的面积计算公式解决简单的实际问题。

练习一：完成课本第86页第一题。

练习二：求出下图三角形的面积。（单位：cm）

我们发现：求三角形的面积要注意找出       的底和高。

练习三：

学习提示：

（1）还记得吗？平行线间的距离处处（　　　　）。

（2）仔细观察这些三角形的底和高各是多少厘米？

我们发现：            的三角形面积相等。

 

 

 

 

 

 

课堂小测：

1．求出下面三角形的面积。

                                

 

 

 

 

 

2．判断。

①两个三角形可以拼成一个平行四边形。（    ）

②三角形的面积是平行四边形面积的一半。（    ）

3．解决问题。

有一块三角形的玉米地，底长48米，高20米，这块玉米地的面积是多少

 

课后作业（预习新课）：